7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系式，涵盖平方关系、商数关系及“知一求二”等核心知识点。通过“尝试与发现”从三角函数定义出发推导关系式，衔接上节课三角函数线知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，如例5通过作差法、化归法等多种方式证明恒等式，培养数学思维与推理能力。分层设计巩固与提升练习，如齐次式化简、方程思想应用，助力学生掌握符号运算与问题解决，教师可直接利用丰富例题与分层资源提升教学效率。

第七章 三角函数 7.2.3同角三角函数的基本关系式 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1. 核心公式（教学重点） 平方关系sin2α+cos2α=1 商数关系tanα=​(cosα≠0) 2.sinα±cosα、sinαcosα知一求二 3.已知正弦求余弦、已知正切求正弦余弦（三者可之一求二） 4.常用题型：已知 tanα，求齐次式的值 化简三角函数式 证明三角恒等式 尝试与发现 同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 我们已经知道，如果P(x,y)是α终边上不同于坐标原点的点，记r=，则 sinα= ，cosα= ，tanα= 由此可看出 sin2α+cos2α=1 tanα=​ 这两个关系式也可以从三角函数线得到，一般被称为同角三角函数的基本关系式(上节课的练习B我们已经用三角函数线得到）. 探究新知 例1 已知sinα=，且α是第二象限角，求角α的余弦和正切. 由sin2α+cos2α=1，得+cos2α=1，所以cos2α=.因为 a是第二象限角， cosα<0，所以 cosα=−=− tanα==−. 探究新知 例2 已知：tanα=- 分析 我们把sina和cosa看成两个未知数，这样只要列出关于sin a 和cosa的两个独立的关系式，通过解关于这两个未知数的联立方程组，就可以求出sina和cos a. 解 由题意和同角三角函数的基本关系式，有 sin2α+cos2α=1 ① =- ② 由②得sinα=-cosα，代入①整理得6cos2α=1，所以cos2α= 因为α是第二象限角，所以cosα=- ，代入②式得 sinα=-cosα=-×-= 探究新知 例3 已知sinα−cosα=- 解  由题意和同角三角函数的基本关系式，有 sinα−cosα=-, sin2α+cos2α=1. 消去sinα，得5cos2α−cosα-2=0，解得 cosα=或cosα=− 当cosα=时，可得sinα=，此时tanα== 当cosα=−时，可得sinα= ，此时tanα==2 探究新知 例4 化简 ==cos 探究新知 例5 求证： （1）sin4α−cos4α=2sin2α−1;   证明 （1）原式左边=（sin2α+cos2α）（sin2α−cos2α） =sin2α−cos2α =sin2α−(1-sin2α) =2sin2α−1=右边 因此 sin4α−cos4α=2sin2α−1. 微提醒 从例5（1）可以看出：证明一个三角恒等式，可以从它的任意一边开始，推出它等于另一边； 探究新知 例5 求证： （2）tan2α−sin2α=tan2αsin2α; 证明 （2）原式右边=tan2α(1-cos2α) =tan2α-cos2α =tan2α−sin2α=左边 因此 tan2α−sin2α=tan2αsin2α. 微提醒 从例5（2）可以看出：证明一个三角恒等式，可以从它的任意一边开始，推出它等于另一边； 探究新知 例5 求证：（3）= 证明 （3）（方法一） 因为 -===0 所以 = 微提醒 从例5（3）可以看出：证明一个三角恒等式，也可以用作差法，证明等式两边之差等于零； 探究新知 例5 求证：（3）= 证明 （3）（方法二） 由题知≠0，因而，即从而 = ==右边 因此 = 巩固练习 1.已知 sinα+cosα=​，求 sinαcosα。 将等式两边同时平方，得 (sinα+cosα)2=()2 展开： sin2α+2sinαcosα+cos2α=​ 将 sin2α+cos2α=1代入上式，得 1+2sinαcosα= sinαcosα=- 巩固练习 2.已知在 △ABC 中，sinA+cosA=​，判断 △ABC 是锐角三角形还是钝角三角形。 解析： ∵sinA+cosA=，两边平方，得 1+2sinAcosA=​， ∴sinAcosA=−​<0， 由 0<A<π，可知 sinA>0，∴cosA<0， ∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形。 巩固练习 3.sinα=，α 为第二象限角，求 cosα,tanα。 ∵α是第二象限角， ∴cosα<0 由sin2α+cos2α=1，得： cosα=- =- =- tanα= = =- 巩固练习 4.已知 sinα=−​，且 α∈(π,​)，则 tanα= . 解析：由 α∈(π,​)，得 cosα<0，又 sinα=−​，所以 cosα=−​=−​​，所以 tanα=​​=​​ 巩固练习 5.若α是第四象限角，tanα=−​​，则 sinα= . 解析：因为tanα==−​​​，sin2α+cos2α=1，所以 sinα=±​.因为 α是第四象限角，所以 sinα=。 巩固练习 6. 已知 cosα=−​，求 sinα 和 tanα. 解析：sin2α=1−cos2α=1−(−​)2=(​)2，因为 cosα=−<0，所以 α 是第二或第三象限角。 当 α 是第二象限角时，sinα=​，tanα=​=−​； 当 α 是第三象限角时，sinα=−​，tanα=​=​。 7.化简 由sin2α+cos2α=1，得1−sin2α=cos2α； 又tanα=​，则tan2α=​。 代入原式： ​=cos2α·​=​ 巩固练习 8.化简 巩固练习 原式====1. 巩固练习 9.已知 tanα=2，求 。 分子分母同时除以cosα（cosα≠0）： ​=​​​=​​ 代入tanα=2： =3 ∴=3 微提醒：齐次式，分子分母同时除以cosα 提升练习 1.已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ−2cos2θ=______。 sin2θ+sinθcosθ−2cos2θ= =​ =​ = 提升练习 2.如果tanθ=2，那么1+sinθcosθ的值是______。 1+sinθcosθ=1+ =1+ =1+ = 提升练习 3．已知sinαcosα＝，且<α< ，则cosα－sinα的值为(　　) A．－B． C．－ D． B (cosα−sinα)2=cos2α−2sinαcosα+sin2α 根据三角恒等式sin2α+cos2α=1，代入得： (cosα−sinα)2=1−2sinαcosα将sinαcosα＝代入得： (cosα−sinα)2= 已知在<α< 范围内，sinα<0，cosα<0，且sinα<cosα 所以，cosα－sinα>0,即cosα−sinα= 提升练习 4．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________. 已知角α的终边交单位圆于P(a,b)，根据单位圆的性质：a2+b2=1 又已知a+b=​，对这个等式两边平方：(a+b)2=(​)2 解得2ab=​，所以ab= 微提醒：因关系式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα 所以， sinα±cosα、sinαcosα知一求二 提升练习 5.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________. 若角α的终边与单位圆交于点(x,y)，则角β的终边与单位圆交于点(−x,y) 根据正弦函数的定义： sinα=y,sinβ=y 因此sinβ=sinα 已知sinα=​，所以sinβ=​ $