2026年中考数学二轮复习重难题型：相似三角形 强化训练

2026届中考数学二轮复习重难题型：相似三角形 强化训练（参考答案） 一、选择题 1.如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F． S△AEF＝3，则S△FCD为（　　） A.6 B.9 C.12 D.27 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AE：EB＝1：2， ∴AE：CD＝1：3， ∵AB∥CD， ∴∠EAF＝∠DCF， ∵∠DFC＝∠AFE， ∴△AEF∽△CDF， ∵S△AEF＝3， ∴， 解得S△FCD＝27． 故选：D． 2.如图,在中,,若,则下列结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵, ∴, 又∵, ∴,故A错误; ∴,故B错误; ∴,;故C错误． 故选:D． 3.如图，在矩形ABCD中，若AB＝6，AC＝10，AE＝2，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AB＝6，AC＝10， ∴BC8， ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， 故选：C． 4.如图，点D在△ABC的边BC上，∠BAD=∠C，BD=2，CD=4，则AB等于（　　） A.3 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【解析】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， ∴=， ∵BD=2，CD=4， ∴BC=6， ∴=， ∴AB=2或AB=-2（负值舍去）， ∴AB=2. 5.如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝3，则△ABC的面积为（　　） A.6 B.12 C.9 D.8 【答案】B 【解析】∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE＝3， ∴△ABC的面积为12， 故选：B． 6.如图，，都与轴垂直，垂足分别为，，点在双曲线上．若，，，则的值为（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，都与轴垂直，垂足分别为，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在双曲线上， ， ， 反比例函数的图像位于第二象限， ， 故选：． 7.如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　） A.AB∥CD B.∠A＝∠D C. D. 【答案】D 【解析】A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意． 故选：D． 8.如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9.如图，，，，，则的长为（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 故选：A． 10.如图，在△ABC中，DE∥BC，已知，则的值是（　　） A. B. C. D.3 【答案】B 【解析】∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 11.如图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A．若∠CDG＝α，则∠AHF＝　　；若AH＝3，GC＝2，则△EFH的面积为 　　． 【答案】（1）90°﹣α；（3）3． 【解析】（1）根据已知可得：∠B＝∠C＝∠AFH＝∠FGD＝90°， ∵∠BHG+∠HGB＝90°，∠HGB+∠DGC＝90°， ∴∠BHG＝∠DGC， ∵∠CDG＝α， ∴∠BHG＝∠DGC＝90°﹣α， 又∵∠AHF＝∠BHG， ∴∠AHF＝90°﹣α， 故答案为：90°﹣α；’ （2）设AB＝x， ∴HB＝x﹣3，BG＝x﹣2， ∵∠BHG＝∠DGC，∠B＝∠C， ∴△BHG∽△CGD， ∴， ∴， ∴x＝4，即：正方形的边长为4， ∴HB＝1，BG＝2， ∴HG， ∴DG2， ∴EF＝DG＝2， 连接EH，如图： ∵∠B＝∠AFH，∠AHF＝∠BHG， ∴△AFH∽△GHB， ∴， ∴， ∴HF， ∴S△EHFEF•HF23， 故答案为：3． 12.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长 　　． 【答案】cm． 【解析】由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm， ∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°， ∴∠CEF＝∠GFI， ∵∠ECF＝∠FIG＝90°， ∴△GIF∽△FCE， ∴， 即， ∴CE＝4FI， 在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2， 即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202， 解得FI或FI＝0（舍去）， 故答案为：cm． 13.如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，当∠ADE＝　　°时，△ABD∽△DCE． 【答案】60． 【解析】当∠ADE＝60°时，△ABD∽△DCE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE． 故答案为：60． 14.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AB＝1.2，CD＝0.9，AB与CD间的距离为2.1，则点O到AB的距离为 　    　． 【答案】1.2． 【解析】过点O作EF⊥CD于点E，交AB于点F， ∵AB∥CD，AB与CD间的距离为2.1， ∴EF＝2.1，∠OFA＝∠OED＝90°， ∴OE＝2.1﹣OF，OF⊥AB， ∵△AOB∽△DOC，AB＝1.2，CD＝0.9， ∴， ∴OF（2.1﹣OF）， 解得OF＝1.2， ∴点O到AB的距离为1.2， 故答案为：1.2． 15.如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AD边的中点，连接BD、CE，BD与CE相交于点F，则DF的长为 　    　． 【答案】． 【解析】∵正方形ABCD， ∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠EDF＝∠CBF，∠DEF＝∠BCF， ∴△DEF∽△BCF， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 三、解答题 16.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以点A为中心将△ABC顺时针旋转一定的角度，得到△AED，连接BE，CD． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）当CD＝时，求BE的长． 【答案】（1）证明：由旋转的性质得到：△ABC≌△AED， ∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAB＝∠DAE， ∴， ∵∠CAB+∠BAD＝∠DAE+∠BAD， ∴∠CAD＝∠BAE， ∴△ACD∽△ABE； （2）∵△ACD∽△ABE， ∴， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∴AC＝AB， ∴=， ∵CD＝， ∴BE＝2． 17.如图（图1），△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一点．取结PB交CD于点F，过点P作PB的垂线交AB边于点E． （1）求证：△PAE∽△BCF； （2）当P是AC边的中点，时，如图2，求的值； （3）当P是AC边的中点．，请直接写出的值． 【答案】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠PCF+∠BCF＝90°，∠CPF+∠CBP＝90°， ∵BP⊥PE， ∴∠BPE＝90°， ∴∠CPF+∠APE＝90°， ∴∠CBF＝∠APE， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠PCF+∠A＝90°， ∴∠BCF＝∠A， ∴△PAE∽△BCF； （2）如图所示：过点P作PO⊥AC交AB于点O， ∴∠APO＝∠ACB＝90°， 由（1）可知：∠CBF＝∠APE，∠BCF＝∠A， ∴∠AEP＝∠BFC，∠OEP＝∠PFC， ∵∠EOP+∠A＝∠PCF+∠A＝90°， ∴∠EOP＝∠PCF， ∴△EOP∽△FCP， ∴， ∵P为AC中点，OP∥BC， ∴OP是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）可知，当，理由如下： 过点P作PO⊥AC交AB于点O，如（2）中的图， ∴∠APO＝∠ACB＝90°， 由（1）可知：∠CBF＝∠APE，∠BCF＝∠A， ∴∠AEP＝∠BFC，∠OEP＝∠PFC， ∵∠EOP+∠A＝∠PCF+∠A＝90°， ∴∠EOP＝∠PCF， ∴△EOP∽△FCP， ∴， ∵P为AC中点，OP∥BC， ∴OP是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 18.如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连结AD、AC，CD，线段AD与直径BC相交于点E． （1）若∠ACB＝60°，求sin∠ADC的值． （2）当时， ①若CE，2，求∠COD的度数． ②若CD＝1，CB＝4，求线段CE的长． 【答案】解：（1）∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠B＝30°， ∵， ∴∠ADC＝∠B＝30°， ∴sin∠ADC＝sin30°， 答：sin∠ADC的值是； （2）①∵CE，2， ∴， ∵∠BAC＝90°， ∴cos∠B， ∴∠B＝45°， ∵， ∴∠CAD∠B＝22.5°， ∴∠COD＝2∠CAD＝45°， 即∠COD的度数为45°； ②∵， ∵∠ADC＝∠COD，∠OCD＝∠DCE， ∴△OCD∽△DCE， ∴， ∵BC＝4， ∴OC＝2， ∴， ∴CE， ∴线段CE的长为． 19.如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB=8，AC=6，DE=4. （1）证明：△ABC∽△DEB； （2）求线段BD的长. 【答案】（1）证明　∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A=∠CBE=∠D=90°， ∴∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°， ∴∠C=∠DBE， ∴△ABC∽△DEB. （2）解　∵△ABC∽△DEB， ∴=， ∴=， ∴BD=3. 20.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心. （1）特例感知：如图1，已知边长为2的等边三角形ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积； （2）性质探究：如图2，已知△ABC的重心为点O，请判断，是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； （3）性质应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M. ①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； ②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积. 【答案】解　（1）如图，连接DE， ∵点O是△ABC的重心， ∴AD，BE分别是BC，AC边上的中线， ∴点D，E为BC，AC边上的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE=AB， ∴△ODE∽△OAB， ∴==， ∵AB=2，BD=1，∠ADB=90°， ∴AD=，OD=， ∴S△OBC===， S△ABC===. （2），均为定值.理由如下： 由（1）同理可得=，是定值. ∵点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1∶3， ∴△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比， ∴=，是定值. （3）①∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB，AB=BC=CD=4， ∴△CME∽△AMB， ∴=， ∵点E为CD的中点， ∴CE=CD=2， ∴BE==2， ∵=， ∴=， ∴EM=. ②∵S△CME=1， 且=， ∴S△BMC=2， ∴==， ∴S△AMB=4， ∴S△ABC=S△BMC+S△ABM=2+4=6， 又∵S△ADC=S△ABC， ∴S△ADC=6， ∴正方形ABCD的面积为6+6=12. 21.如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=∠B. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AB=5，BC=6，BD=2，求点E到BC的距离. 【答案】（1）证明　∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE， ∴∠BAD=∠CDE， ∴△ABD∽△DCE. （2）解　如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥BC于点M， ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴BH=CH=3， ∴AH= ==4， ∵BD=2，BC=6， ∴DC=4，=BD·AH=4， ∵△ABD∽△DCE， ∴==， ∴=， ∴×4×EM=， ∴EM=， ∴点E到BC的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届中考数学二轮复习重难题型：相似三角形 强化训练 一、选择题 1.如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F． S△AEF＝3，则S△FCD为（　　） A.6 B.9 C.12 D.27 2.如图,在中,,若,则下列结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 3.如图，在矩形ABCD中，若AB＝6，AC＝10，AE＝2，则（　　） A. B. C. D. 4.如图，点D在△ABC的边BC上，∠BAD=∠C，BD=2，CD=4，则AB等于（　　） A.3 B.2 C.2 D.4 5.如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝3，则△ABC的面积为（　　） A.6 B.12 C.9 D.8 6.如图，，都与轴垂直，垂足分别为，，点在双曲线上．若，，，则的值为（    ）    A. B. C. D. 7.如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　） A.AB∥CD B.∠A＝∠D C. D. 8.如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（    ） A. B. C. D. 9.如图，，，，，则的长为（    ）    A. B. C. D. 10.如图，在△ABC中，DE∥BC，已知，则的值是（　　） A. B. C. D.3 二、填空题 11.如图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A．若∠CDG＝α，则∠AHF＝　　；若AH＝3，GC＝2，则△EFH的面积为 　　． 12.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长 　　． 13.如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，当∠ADE＝　　°时，△ABD∽△DCE． 14.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AB＝1.2，CD＝0.9，AB与CD间的距离为2.1，则点O到AB的距离为 　    　． 15.如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AD边的中点，连接BD、CE，BD与CE相交于点F，则DF的长为 　    　． 三、解答题 16.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以点A为中心将△ABC顺时针旋转一定的角度，得到△AED，连接BE，CD． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）当CD＝时，求BE的长． 17.如图（图1），△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一点．取结PB交CD于点F，过点P作PB的垂线交AB边于点E． （1）求证：△PAE∽△BCF； （2）当P是AC边的中点，时，如图2，求的值； （3）当P是AC边的中点．，请直接写出的值． 18.如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连结AD、AC，CD，线段AD与直径BC相交于点E． （1）若∠ACB＝60°，求sin∠ADC的值． （2）当时， ①若CE，2，求∠COD的度数． ②若CD＝1，CB＝4，求线段CE的长． 19.如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB=8，AC=6，DE=4. （1）证明：△ABC∽△DEB； （2）求线段BD的长. 20.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心. （1）特例感知：如图1，已知边长为2的等边三角形ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积； （2）性质探究：如图2，已知△ABC的重心为点O，请判断，是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； （3）性质应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M. ①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； ②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积. 21.如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=∠B. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AB=5，BC=6，BD=2，求点E到BC的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $