精品解析：2025年山东省青岛市西海岸新区自主招生数学试卷

2025年山东省青岛市西海岸新区自主招生数学试卷 一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为(　　) A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为的形式，进而确定的值． 【详解】解：对于一元二次方程， 将常数项移到等号右边，得：； 一次项系数为2，其一半为，在方程两边同时加上，得：， 配方为， ∴． 2. 实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用和是与相邻的平方数，得出在4和5之间，再得到的范围；结合、是连续整数且满足，确定、的值；最后计算的结果即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 又∵，是连续整数，且， ∴，， ∴． 3. 已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别解出两个一元一次不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集；再根据“不等式组有三个整数解”这一条件，找出对应的三个整数解，最后通过分析边界情况确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有三个整数解，即，，， ∴： 若，则不等式组的整数解会包含，此时共有四个整数解，不符合题意；若，则不等式组的整数解少于三个，也不符合题意． 故选：B． 4. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A的横坐标为，连接，，．若，的面积为6，则k的值为（　　） A. B. C. -4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作轴于C，过点B作轴于D，先求出，再由结合勾股定理得到，则，，最后根据反比例函数的系数k的几何意义可得：，根据图中面积的关系可知：，列方程可得结论． 【详解】解：过点A作轴于C，过点B作轴于D，过点A作于E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，点A的横坐标为， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 整理得，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆．从直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设扇形半径为，求出扇形的面积；再通过连接辅助线，利用半圆的直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形的判定，确定交点的位置及线段相等关系，进而通过割补将阴影部分面积转化为直角三角形的面积，最后代入计算得到所求概率． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形的圆心角为直角， ∴． 设以、为直径的两个半圆的另一个交点为，连接、、， ∵以、为直径作半圆， ∴，点在上， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴将弓形，绕点旋转后可分别与弓形重叠， ∴， ∴所求概率． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分．每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 6. 二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. 方程有两个不相等的实数解 D. 当时，m的取值范围为或 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，则利用交点式表示出抛物线解析式为，即，所以，，接着利用可对A选项进行判断；则，从而可对B选项进行判断；结合函数图象，直线与抛物线有两个交点，从而可对C选项进行判断；由于当时，，所以为，然后结合函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围得到当时，，从而可对D选项进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴抛物线解析式为， 即， ∴，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项符合题意； 根据函数图象，直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解，故C选项符合题意； 当时，， 即， ∵， ∴， 即， ∵抛物线与x轴相交于，， ∴当时，， ∴当时，m的取值范围为，故D选项不符合题意． 综上所述，结论正确的有BC． 7. 如图，在菱形中，，交的延长线于点．连接交于点，交于点，延长交于点．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则下列结论正确的有(　　) A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 为的垂直平分线， ． 四边形为菱形， ，， 在和中， ， ， ， ． ∴A选项正确； 同理：， ，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴B选项正确； 四边形为菱形， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ． ∴C选项不正确； ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． ∴D的结论正确． 综上，结论正确的有：ABD． 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 8. 在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得建筑物顶端的俯角为，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 【答案】 【解析】 【分析】设交距水平地面的水平线于点，根据，求出，再根据，求出可得结论． 【详解】解：如图，延长交距水平地面的水平线于点，过作地面于点， ，， ， ， ， ， ， ． 9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形两条对角线长分别为、．利用根与系数的关系和菱形面积公式得到相关等式．再结合勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为、． ∵,是一元二次方程的两个实数根． ∴由根与系数的关系得 ． ∵菱形面积为． ∴．解得 ． ∴菱形的边长为 ． 10. 如图，在中，，为边的中点，为边上一动点．若的最小值为，则的面积为_______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先找出点在何处时，的最小值为，然后根据勾股定理的逆定理求出的形状，再根据三角形中位线和直角三角形斜边的中线与斜边的关系，求出的长，由勾股定理可以求得的长，最后根据三角形面积即可计算出的面积． 【详解】解：作点关于直线的对称点，交于点，连接，如图所示，则就是的最小值，此时， 点为的中点，， ， ∴， ∴， ∴ 是直角三角形，， 点为的中点， ， ， 作于点，则， ， ， 的面积为：． 11. 如图，正方形的边长为，点是的中点．将沿翻折至．延长交于点，延长交于点，则的长为__________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，证，设，在中，利用勾股定理列出方程，解方程可得，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图， 正方形的边长为， ． 点是中点， ． 四边形是正方形， ． 由折叠可知：， 则，，． ． 在和中， ， ． ， 设，则，， 在中， ， ． 解得：， ， ，， ， ， ， ． 12. “剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和定理，一元一次不等式的应用和规律探究，解题关键是得到每剪一次所有多边形总内角和增加，其余多边形最小内角和至少为，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意，每剪一刀，所有多边形的内角和共增加． 设一共剪了刀，则共得到个多边形，所有多边形的内角和总和为． 已知共有7个十一边形，根据多边形内角和定理，7个十一边形的内角和总和为 根据题意得， 不等式两边同除以，得 整理得． 故至少要剪刀． 四、解答题（本大题共4小题，共45分） 13. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求两个交点的坐标； （2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且仅有一个公共点，求的值． 【答案】（1）两个交点的坐标为和； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据所给函数解析式进行计算即可； （2）根据题意，结合方程思想进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题知，， 解得，， 当时，；当时，， 所以两个交点的坐标为和； 【小问2详解】 由题知，将直线向下平移个单位长度后所得函数的解析式为． 因为平移后的函数图象与反比例函数的图象有且仅有一个公共点， 则， 整理得，， 所以， 解得或． 14. 甲、乙两地相距a千米，现在甲、乙两地之间建一仓储站丙（甲、乙、丙三地在同一条直线上），丙与甲的距离为x千米．已知从甲到丙的运货费用为20元/千米，从乙到丙的运货费用为15元/千米，两地到丙的总运货费用为1000元． （1）用含x的代数式表示a； （2）从甲到丙改进运输工具，使得运货费用降低2元/千米，从乙到丙运货费用保持不变，两地到丙的总运货费用减少40元，求甲乙两地的距离； （3）在（2）的条件下，若从乙到丙也更换运输工具，使乙到丙的运货费用与这两地距离的平方成正比，当丙在甲、乙两地中点时，两地到丙的运货费用相等，则当甲、丙距离为多少时，两地到丙的总运货费用最少？ 【答案】（1） （2）千米 （3）当甲、丙距离为45千米时，两地到丙的总运货费用最少 【解析】 【分析】（1）可得方程，把方程变形即得； （2）可得新方程，再把（1）中a的表达式代入，解得，进而求得； （3）由（2）知，，甲到丙费用单价18元，设乙到丙总费用为（k为比例系数），由丙在中点时运费相等，得，，得​，总运货费用函数表达式为，展开整理得 ，这是开口向上的二次函数，最小值在顶点． 【小问1详解】 解：（1）根据甲到丙的运费+乙到丙的运费， 可得：， 展开并整理：， , 两边同时除以5：， ； 【小问2详解】 解：甲到丙费用降低 2 元 / 千米：元 / 千米 乙到丙仍 15 元 / 千米 改进后总运货费用减少40元：元 ， 由（1）知，， 代入，得， 解得，． 将代入， 得（千米）． 故甲乙两地之间的距离为60千米． 【小问3详解】 解：设乙到丙的运费为（k为比例系数）， 由（2）知， 当丙地在甲、乙两地中点时，， 此时甲到丙运费＝乙到丙运费： ∴， 解得，， 总运费为， 展开并整理，得， 这是一个二次函数， ∵， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为， ∴当时，总运费y最小． 故当甲、丙距离为45千米时，两地到丙的总运货费用最少． 15. 如图，四边形为正方形，，对角线，相交于点，点是边上一个动点，与相交于点．将线段绕点按逆时针方向旋转至线段，交于点，连接，延长交于点． （1）若，求的长； （2）请直接写出的最短长度． 【答案】（1）； （2）的最短长度为 【解析】 【分析】（1）由旋转性质得、，结合正方形推得等角，作垂线构造全等三角形，利用等腰直角三角形与勾股定理算出相关线段，再通过相似三角形的比例关系求出的长度． （2）延续全等构造思路，设，，借助勾股定理建立的函数表达式，配方后根据二次函数性质求得的最短长度． 【小问1详解】 解：如图，过作于，过作于， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转至线段， ∴，，即， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形，，， ∴，， ∵正方形中，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：如图，当点落在正方形外边时，过作于，过作于， 同（1）可证． 设， ∵四边形为正方形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 化简配方得， ∵， ∴当时，取得最小值， 即的最短长度为． 16. 如图，以为圆心，为半径的与轴交于，两点，与轴的负半轴交于点，抛物线经过，，三点．点为射线上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的函数解析式，并直接写出抛物线与的另一个交点的坐标； （2）当，，三点共线时，求点的坐标； （3）当位于线段上时，设的面积为，求的最大值； （4）以为圆心，的长度为半径作，若与一条坐标轴相切，请直接写出的半径． 【答案】（1），点的坐标 （2） （3） （4）的半径为或或6 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，，的坐标代入解析式求出，，得出抛物线的函数解析式，利用抛物线与圆的对称性写出点的坐标； （2）求出直线，的解析式，，，三点共线时，就是两条直线的交点为，即得到点的坐标； （3）设出，点的坐标线段最长时，得到的面积为最大值； （4）分类讨论分别与，轴相切时的半径． 【小问1详解】 解：以为圆心，为半径的与轴交于，两点，与轴的负半轴交于点， ， ，，， ， ， 解得， 抛物线的函数解析式：， 把代入解析式得出， ， ，关于直线对称， 点的坐标； 【小问2详解】 分别设直线，的解析式为：，， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 由， 解得， 当，，三点共线时，； 【小问3详解】 设点，则点． ， 的面积为：， ， 抛物线开口向下， 时，的面积最大； 【小问4详解】 为圆心，的长度为半径作，若与一条坐标轴相切，点为射线上的一个动点， 由（3）知， ，或 当圆与轴相切时，若点在第四象限即时， ， 解得，则， 若点在第一象限即时，，无解， 当圆与轴相切时，， 若点在第四象限即时， ，解得， ， 若点在第一象限即时， ，解得， ， 综合得的半径为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省青岛市西海岸新区自主招生数学试卷 一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为(　　) A. B. 1 C. D. 2. 实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A. B. C. D. 3. 已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A. B. C. D. 4. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A的横坐标为，连接，，．若，的面积为6，则k的值为（　　） A. B. C. -4 D. 8 5. 如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆．从直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分．每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 6. 二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. 方程有两个不相等的实数解 D. 当时，m的取值范围为或 7. 如图，在菱形中，，交的延长线于点．连接交于点，交于点，延长交于点．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则下列结论正确的有(　　) A. B. C. D. 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 8. 在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得建筑物顶端的俯角为，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 10. 如图，在中，，为边的中点，为边上一动点．若的最小值为，则的面积为_______________ ． 11. 如图，正方形的边长为，点是的中点．将沿翻折至．延长交于点，延长交于点，则的长为__________________ ． 12. “剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 四、解答题（本大题共4小题，共45分） 13. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求两个交点的坐标； （2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且仅有一个公共点，求的值． 14. 甲、乙两地相距a千米，现在甲、乙两地之间建一仓储站丙（甲、乙、丙三地在同一条直线上），丙与甲的距离为x千米．已知从甲到丙的运货费用为20元/千米，从乙到丙的运货费用为15元/千米，两地到丙的总运货费用为1000元． （1）用含x的代数式表示a； （2）从甲到丙改进运输工具，使得运货费用降低2元/千米，从乙到丙运货费用保持不变，两地到丙的总运货费用减少40元，求甲乙两地的距离； （3）在（2）的条件下，若从乙到丙也更换运输工具，使乙到丙的运货费用与这两地距离的平方成正比，当丙在甲、乙两地中点时，两地到丙的运货费用相等，则当甲、丙距离为多少时，两地到丙的总运货费用最少？ 15. 如图，四边形为正方形，，对角线，相交于点，点是边上一个动点，与相交于点．将线段绕点按逆时针方向旋转至线段，交于点，连接，延长交于点． （1）若，求的长； （2）请直接写出的最短长度． 16. 如图，以为圆心，为半径的与轴交于，两点，与轴的负半轴交于点，抛物线经过，，三点．点为射线上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的函数解析式，并直接写出抛物线与的另一个交点的坐标； （2）当，，三点共线时，求点的坐标； （3）当位于线段上时，设的面积为，求的最大值； （4）以为圆心，的长度为半径作，若与一条坐标轴相切，请直接写出的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $