河北石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一）数学试题

2026年石家庄市普通高中毕业年级教学质量检测（一） 数学答案 一、单选题： 1-4 ADBC 5-8 DACB 二、多选题： 9.AC 10.ACD 11.BCD 三、填空题： 1 12. 13.√5+1 14.2 6 四、解答题（仅提供一种或两种答案，其他答案请教研组参照评分细则商议决定）： 15.(1)△4BC中，由正弦定理得 bca =3 sin B sin C sin A 2 …2分 3 .sin B= 3,sin C=c …4分 3 ∴.sinB.sinC= bc 4 339 …6分 (2)△MBC中，由余弦定理得coSA= b2+c2-a2、2bc-a2 …8分 2bc 2bc 2头分2-当组仪当h02时，等号成立，…10分 :4e(0,π，A的最大值为 …11分 又a=b=C=2,.△4BC为等边三角形.…13分 16.(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，连接BD,交AC于 点F,连接EF,…1分 因为四边形ABCD为菱形，所以F为BD的中点， .E为PB的中点，∴.EF∥PD,…3分 又PDt平面ACE,EFC平面ACE, ∴.PD∥平面ACE …5分 (2)取AB的中点O,连接OD,OP, 四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120P, .△ABD为正三角形，.OD⊥AB, .△PAB为正三角形，∴.OP⊥AB, …6分 :平面PAB⊥平面ABCD 平面PAB∩平面ABCD=AB, ODC平面ABCD,且OD⊥AB, .OD⊥平面PAB.… …8分 以O为坐标原点，OP,OB,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 Oxyz, AB=8,A0,-4,0),B0,4,0),D0.0,43,P4V3,00, .AD=04,43,AP=(43,4,0, …10分 设平面PAD的法向量为n=(x,y,z), .AD=0[4y+43z=0 则3 ，即 n-Ap=04V3x+4y=0 令x=1,则y=-√3，z=1,n=l,-5,l …12分 假设存在点E,使得点E到平面PAD的距离为西 设PE=PB=43,4,0=（4V3,42,0,∈[0,1，点E到平面PAD的距离为d, 则d= nPE上43-43列_ V1+3+1 解得1=∈[0,1， …14分 P 所以存在点E,当能时，点E到平面PAD的宽高为西 …15分 BE 7 解法二：取AB的中点O,连接OD,OP, 四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120P, △ABD为正三角形，∴.OD⊥AB, .△PAB为正三角形，∴.OP⊥AB, …6分 :平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,ODC平面ABCD, 且OD⊥AB, .OD⊥平面PAB.…8分 又OPc平面PAB,.DO⊥OP, :△ABD,△PAB为等边三角形，边长为8，DO=PO=4V5 ∴.在△DOP,DP=VOP2+DO2=46, 又DA=PA-8,可以求得Soip=8V15… …10分 =8…12分 3 *8v5x5 53 5 Vr-=Vo=SDO=SE 3 3 S4pe=25,…13分 S性= A.PE.sin60 2 23 PE 1 S.APB ,可得PE1 PA.PB.sin 60 165’ PB 8' BE 7 2 .存在点E,当 7时，点E到平面PAD的距离为V西 PE 1 …15分 BE 7 17.(1)该样本中学生分数为优秀的频率p=(0.010+0.015)×10=0.25,…1分 故优秀的人数为100×0.25=25人；…2分 (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行 0.010 座谈，其中分数在[90,100]的人数为 ×11=2.…4分 0.015+0.030+0.010 若从座谈名单中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0,1,2. C828 P(X=0)=C-51 CC224 PX=)-答-器PX=2)-品 则X的分布列为： X 0 1 2 P 器 24 3 5 …7分（每种情况1分) 28 24 36 所以E(X)=0×需十1X需+2X需品 …9分 (3)由题意知，Y~B(50,0.25), 则PY=k)=C(0.25)(1-0.25)0-, …11分 ◆P(Y=k+l_C0.25)0.75)50-k P(Y=k) C%(0.25)0.75)0-t 3(k+1) 50-k>1,解得k≤1.75 当3k+) .13分 因为k∈N,所以k≤11时，PY=k)<PY=k+1), 当k212时，PY=k)>Py=k+1), 所以当k=12时，PY=k)最大.… …15分 2b=2, 18.(1)依题意可知 …1分 1a2-b2=1. 解得a=2.b=1.椭圆C的标准方程为号+y2=1.…3分 (2)（i)设A(xy),B(x,2),D(2), 依题意 22得m+2+2m-1=0,4分 △=4m2+4m2+2)=8m2+1>0, -2m -1 乃+y2= m2+2’hy= (米)，… …6分 m2+2 ko=-上，直线DB的方程为：y=-(x-2)+y①. 2-2 x2-2 由图形的对称性可知，若动直线DB过定点，则定点一定在x轴上，所以令y=0代入①， 可得 x-2=-4 支-2=-y,+)-2-m+, …8分 y2-y y2-乃 由(*)得m水=2+ 1 所以x-2= …10分 2- y2-y 2 得x=2 所以直线DB恒过定点可，0 …11分 (ii)由(i)可知直线DB恒过定点H 30 所以sow=Soao+5 oy+与og=oMy-为 -子0+%-4 …13分 将(*)代入得 SAOBD= -2m2 43V8m2+1_32Vm2+1 …15分 4m2+2m2+24m2+2 2m2+2 设t=Vm2+1e[l,+o), 则SSORD== 351=3510.35 …17分 2P+12t+1 1 4 19.)当n=2时，f(-=方式-8加x,定义线为(Q+o) f()=x-8.+22x-2w5) …2分 当x∈0,22)时，(x)<0,故函数f(x)单调递减： 当x∈22，+60)时，∫(x)>0,故函数f(x)单调递增.…4分 所以函数f八x)的减区间为0,2√2)：增区间为(22，+∞)： …5分 2)(i)当xe0+w)时，)=x-2n_c+2n-2 令f(x)=0,解得x=V2n, 函数fx)在区间0，V2n上单调递减，在区间(W2n,+∞上单调递增，故 x=2m,yn=2+V2h.… …7分 x=V2e(1,2）, 故[x]=1:x2=2V2≈2.828∈(2,3)，故[x]=2: x3=32≈4.242e(4,5),故[x]=4；x=4v2≈5.656e(5,6),故[x]=5: 片=2+V2e(3,4), 故[y]=3:2=4+22e(6,7), 故[y2]=6. 故1,2,4,5∈P,3,6∈2.… …9分 (iⅱ)先证明：P∩Q=☑ 假设存在正整数m,n满足[V2m]=[2n+V2n]=2n+[V2m]=k, 记√2m=k+5,2n+V2n=k+2,其中5,5∈(0，)，且片+5≠1 若片+5=1，则2n+V2(m+n)=2k+5+5=2k+1,即V2(m+m)=2k+1-2n,显然 等式右侧为整数，左侧为无理数，故片+？≠1. 故m=+5∈ kk+1 n=k+∈k k+1 22 2+2(2+2'2+V2 …10分 故m+ne(k,k+1),与假设矛盾，故假设不成立， 因此P∩Q=☑；… …12分 再证明：PUQ=N 解法一：由(1)知≤6时成立，设任意一个大于6的正整数为M,一定存在正整数k,k2 满足[x]sM<[x][y]sM<[] 即证明1,2,3，·，M的整数中有k个在集合P中，有k2个在集合Q中，k+k2=M,只需 证明k+k2=M即可.…14分 824+b+k<w1国k-[后 M+17 L2+V2 …15分 又因为M41-1<k<M,M+-1<k< M+1 √2 √2’2+√2 …16分 2+√2 即M-1<k+k2<M+1,故k+k2=M,又P∩Q=,于是原结论成立，综上知，集 合P,Q是正整数集的一个“互补覆盖”…17分 解法二：由(1)知≤6时成立，假设存在一个大于6的正整数为M,不存在正整数k,k2 满足[x]sM<[x][y]sM<[y%], √2（化+1）=M+1或(2+√2)k,+1)=M+1时，无理数等于有理数，显然不成立， 2k<M .(2+2)k2<M 所以} …13分 V2(k+1)>M+1(2+V2)k+1)>M+1 ~② <1- 所以M2 且 M 2 …14分 k+1、V2 k2+1 M+12 M+1 >1② 2 所以+<1且+6+2 >1…16分 M M+1 化简得M-1<k+k2<M,显然不成立 故假设不成立，所以原命题得证 …17分2026届石家庄市普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） 数学 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.若复数z满足z=2-3i,则|z= A.√13 B.13 C.5 D.5 2.已知集合A={x2≤8，B=(-1,4],则AUB= A.[3,4] B.(-1,3] C.(-1,3) D.(-0,4] 3.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,点A(4,y)在抛物线C上，则AF= A.42 B.4 C.3 D.5 4.已知平面向量a,b满足|a=2,1b=1,且|a+2b=2W3,则a与b的夹角为 A君 B.牙 c. D 1 5.已知数列{@，}是等比数列，公比g>0,前n项和为S,满足4=2，且8+8=28+1， 1 则q= A. B.4 c D.2 6.已知keZ,则“a=元+2kπ”是“sina=1+cosa”的 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高三数学第1页（共4页） 7.已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x-2),且当x∈[0,2]时，f(x)=e-1 若a=f(-3),b=f(4),c=flog27),则a,b,c的大小关系为 A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 8.、已知A(1,0),B(4,0),若圆C:(x-a)2+Oy-a-1)2=8上总存在点P满足IPA=√21PB1,则 实数a的取值范围是 A.(-∞，0] B.[0,6] C.(0,6) D.(-oo,0]U[6,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f)=ar2-1,aeR,f0)=-子，则 A.a=1 B.函数f(x)的零点为2 C曲线y=f(网上任意-点处切线的倾斜角不小于写 D.若x<x2,且x,x2≠0，则f(x)<f(x2) 10.下列说法正确的是 A.设一组样本数据x,x2,xn的方差为2，则数据2x-3,2x2-3,,2xn-3的方差为8 B.10个样本数据5,6,7,4,5,7,8,3,9,4的第60百分位数是6 C.用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D.已知随机变量X的概率分布为P(X=川=2m-l2n+D （n=1,2,3,…,8),则实数 a的值为号 11.已知三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均为2，AA⊥BC,记∠AAB=(0<B<π)，则 A.当B=元时，AC⊥B,C 2 B.当日=元时，三棱柱ABC-AB,C的体积为2W3 C.当6=号时，直线BB与平面4C所成角的余弦值为5 D.当日=C时，三棱锥A-ABC的外接球的球面与侧面BB,CC的交线长为元， 3 高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机事件4，B满足P④=号，Pe周=子，则Pr4 1B.已知0为坐标原点双曲线C:若卡=1的左右焦点分别为5e,0、EG0,M为 双曲线右支上一点，满足⊥M,且△MOR的面积为5c,则双曲线C的离心率 4 为 14.已知数列a,}满足4≥，当≥2时，1≤a,≤ n-1 ,若数列{an}中存在连续5项 n ak,ak+1,ak+4构成等差数列，则k的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2,bc=4. (0若细4-号求s血Bs血C的值： (2)求角A的最大值，并判断此时△ABC的形状， 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABP是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=8, ∠ABC=120°，点E是棱PB上的一点 (1)若E为棱PB的中点，求证：PD∥平面ACE; (2)若平面PAB⊥平面ABCD,是否存在点E,使得 点日到平面PAD的距离为否若存在，求出品的值 若不存在，请说明理由. 17.(本小题满分15分) 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活 动满分为100分，得分不低于80分为优秀.为了解 频率 本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同 组距 0.030 学中随机抽取了100名学生的分数组成样本，并按 0.020 0.015 分数分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…， 0.010 [90,100],统计结果如图所示 0次 405060708090100得分 高三数学第3页（共4页） (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； ②)从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进 行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在[90,100]的人数为X,求X的 分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50 人，这50名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为Y,当P(Y=k)最大时，求k的值. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C二+=@>>0的右焦点F0,短轴长为2 (1)求椭圆C的方程； (2)记O为坐标原点，直线x-my-1=0与椭圆C交于A,B两点，过点A作直线x=2的 垂线，垂足为D. (i)求证：直线DB恒过定点； (ⅱ)求△ODB面积的取值范围 19.(本小题满分17分) 已知函数f()=分x2-2m2nx,其中n∈N. (1)当n=2时，求函数f(x)的单调区间； (2)记函数f(x)的极小值点为xn,若y,满足yn-x。=2n,设集合P={lt=[xn],n∈N}, 2={ss=[y],n∈N},其中[x)表示不大于x的最大整数. (1)求xn和yn的表达式，并判断1,2,3,4,5,6与集合P,2的关系（参考数据：√2≈1.414）片 (i)定义：若集合A,B满足：A∩B=☑，且AUB=N,则称集合A,B是正整数集的一个 “互补覆盖”.求证：集合P,Q是正整数集的一个“互补覆盖”. 高三数学第4页（共4页）