8.2立方根第1课时立方根的概念 课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

8.2立方根 第1课时 立方根的概念 知识分点练 夯基础 知识点1 立方根的概念及开立方运算 1．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 2．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 3．的立方根是（    ） A． B． C． D． 4．下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 5．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 6．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点2 立方根的应用 7．体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 8．南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 9．小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的27倍，则小夏制作的正方体的棱长为_________． 10．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 易错点 混淆算术平方根、平方根、立方根的概念 11．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 12．下列说法中，正确的是 （    ） A．平方根等于本身的数是0和1 B．立方根等于本身的数是0和1 C．表示64的根的平方根 D．是3的一个平方根 能力综合练 练思维 13．下列说法错误的是（    ） A．中的可以取正数、负数、零 B．是的平方根 C．的立方根为 D．的算术平方根是 14．的平方根是________， 的立方根是______． 15．求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 17．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 拓展探究练 提素养 18．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 19．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2立方根 第1课时 立方根的概念 知识分点练 夯基础 知识点1 立方根的概念及开立方运算 1．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 【答案】D 【详解】解：0，的立方根等于本身． 2．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 3．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的性质求解． 【详解】解：， 故选：B． 4．下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义和性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，任何实数都有立方根，依次判断即可. 【详解】解：A、的立方根是，不是，所以 A错误； B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误； C、 的立方根是，不是，所以 C错误； D、 =， = ，∴ = ，故D正确. 【点睛】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 6．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和立方根的意义，解题的关键是掌握求一个数的立方根的法则． （1）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （2）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （3）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （4）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （5）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （6）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 知识点2 立方根的应用 7．体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：体积为27立方分米的正方体的棱长为． 故选：A． 8．南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键． 通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 故选：D 9．小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的27倍，则小夏制作的正方体的棱长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体体积公式的应用及立方根的运算，解题的关键是根据体积关系建立方程，利用立方根定义求解棱长． 先由正方体体积公式得小华正方体的体积，再求出小夏正方体的体积，通过体积公式建立棱长的方程，开立方得小夏正方体的棱长． 【详解】解：小华正方体的体积为，则小夏正方体的体积为， 设小夏正方体的棱长为，由体积公式得， 即，故． 故答案为：． 10．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 易错点 混淆算术平方根、平方根、立方根的概念 11．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是，故A选项错误； ∵ 表示的算术平方根， ∴ ，故B选项错误； ∵ 正数的平方等于时，是的算术平方根， ∴ 的算术平方根是，故C选项错误； ∵ ， ∴ 是的一个平方根，故D选项说法正确． 12．下列说法中，正确的是 （    ） A．平方根等于本身的数是0和1 B．立方根等于本身的数是0和1 C．表示64的根的平方根 D．是3的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念． 根据平方根和立方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：选项A：平方根等于本身的数是0，故A错误； 选项B：立方根等于本身的数是0和1和，故B错误； 选项C：表示64的平方根，故C错误； 选项D：是3的算术平方根，是3的一个平方根，故D正确； 故选：D． 能力综合练 练思维 13．下列说法错误的是（    ） A．中的可以取正数、负数、零 B．是的平方根 C．的立方根为 D．的算术平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的性质，解题关键是掌握平方根和立方根的性质．根据算术平方根、平方根和立方根的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、中的可以取正数、负数、零，说法正确，不符合题意； B、，故是的平方根，说法正确，不符合题意； C、，的立方根为，故该选项说法错误，符合题意； D、的算术平方根是，说法正确，不符合题意； 故选：C． 14．的平方根是________， 的立方根是______． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，解题的关键是先化简已知根式，再结合平方根、立方根的定义求解． 先计算的结果，再求该结果的平方根；先计算的结果，再求该结果的立方根． 【详解】解：①化简， 因为4的平方根是，所以的平方根是； ②化简， 因为8的立方根是2，所以的立方根是2． 故答案为：①；②． 15．求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同时除以，再开立方，即可作答． （2）先移项，再开立方，即可作答． （3）先开立方，再移项，即可作答． （4）先移项，方程两边同时除以，再开立方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 16．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数： （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是1， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 17．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 拓展探究练 提素养 18．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 19．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $