21.3.2 菱形 课件2025-2026学年人教版 数学八年级下册

21.3.2 菱形 22051 21.3.2 菱形 课时1 菱形的性质 22051 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理. 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. 学习目标 22051 思考 如图①，我们知道当平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 如图②，如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，如图所示，这个特殊的平行四边形叫什么呢？ 图① 图② 新知导入 22051 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 归纳小结 22051 菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗? 新知讲解 22051 探究1 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢? 四边形 平行四边形 菱形 边 角 对角线 对边平行且相等 对边平行，四条边都相等 对角相等 对角相等 对角线互相平分 对角线互相垂直且平分 你能证明这些猜想吗？ 每一条对角线平分一组对角 新知讲解 22051 猜想1：菱形的四条边都相等. 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD， 求证：AB = BC = CD =AD. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC(平行四边形的对边相等) 又∵AB=AD， ∴AB = BC = CD =AD. 新知讲解 22051 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，点O是BD的中点， ∴AO⊥BD，即AC⊥BD. 已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O. 求证： (1)AC⊥BD； (2)AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC. 猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角. 新知讲解 22051 已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O. 求证： (1)AC⊥BD； (2)AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC. 猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角. 证明：(2)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，BO=DO， 又∵AO=AO，∴△AOB△AOD(SSS)， ∴∠BAO=∠DAO，同理可证∠BCO=∠DCO， 即AC平分∠BAD和∠BCD， 同理可证：BD平分∠ABC和∠ADC. 新知讲解 22051 菱形的四条边都相等. 矩形的特有性质1： 数学语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD， ∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA， ∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 矩形的特有性质2： 归纳小结 22051 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图）. 观察上面的操作，你知道其中的道理吗？菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴. 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 新知讲解 22051 探究2 比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形. 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积？ F M N E G A B C D O 新知讲解 22051 探究2 比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形. 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积？ 过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. A B C D E O 新知讲解 22051 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？尝试归纳你的发现. A B C D 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO + AC·DO = AC(BO+DO) = AC·BD O 归纳：菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 新知讲解 22051 例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 解：设AC，BD相交于点O. ∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°. 在Rt△ABO中，AO= AB= ×20=10， BO===10. ∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20 m，BD=2BO=20≈34.64(m). 花坛的面积S菱形ABCD=4×S△ABO = 4×AO·BO=200≈346.4(m2). 你还有其他求花坛面积的方法吗？ 例题讲解 22051 已知菱形的两对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 解：如图，∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6， ∴AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3， 在Rt△AOB中，AB===5， ∴C菱形ABCD=4AB=4×5=20， S菱形ABCD=AC·BD=×6×8=24. 小试牛刀 22051 菱形及其性质 定义 的平行四边形叫作菱形. 性质 边 菱形的 ； 角 菱形的 ； 对角线 菱形的 ， 并且 . 相关性质 菱形的面积等于 . 有一组邻边相等 四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直且平分 每一条对角线平分一组对角 对角线乘积的一半 课堂小结 22051 1.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5．若∠ABD=30°，则AC的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 B 当堂检测 基础 22051 2.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（   ） A．2 B．6−3 C．2 D．6−6 D 当堂检测 基础 22051 3.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（     ） A． B．6 C． D．12 A 当堂检测 基础 22051 4.如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AED=90°，DE=BD=×10=5(cm). ∴AE===12(cm). ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积为BD·AC=×10×24=120(cm2). 当堂检测 提升 22051 21.3.2 菱形 课时2 菱形的判定 22051 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 学习目标 22051 回顾菱形的概念和性质： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形性质 菱形的四条边都相等 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 判定 与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立. 除了菱形的定义，还有其他的判定方法吗? 复习导入 22051 我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？ 猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 如何证明这个猜想呢？ 新知讲解 22051 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC平分BD， 又∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 已知：在▱ABCD中，AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是菱形. 猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 新知讲解 22051 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的判定定理1： 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. 归纳小结 22051 思考：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ A C B 根据上述作法猜想，有什么条件可以判定一个四边形是菱形？并证明. 如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧， 两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD是菱形. D 猜想2：四条边相等的四边形是菱形. 新知讲解 22051 猜想2：四条边相等的四边形是菱形. 证明：∵AB=CD，BC=DA， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 新知讲解 22051 四条边相等的四边形是菱形. 菱形的判定定理2： 符号语言： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形. 归纳小结 22051 分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO. 例4 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 例题讲解 22051 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF. ∴∠1=∠2. 又∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴ △AOE△COF. ∴EO=FO. ∴ 四边形AFCE是平行四边形. 又AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形. 你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗? 例4 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 例题讲解 22051 证明二：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF，∴ ∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC， ∴AE=CE，AF=CF， ∴∠2=∠3，∴∠1=∠3. 由“等角的余角相等”得：∠AEO=AFO， ∴AE=AF，∴AE=CE=AF=CF， ∴四边形AFCE是菱形. 例4 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 例题讲解 22051 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH. 求证：四边形EFGH是菱形. 证明：如图，连接AC，BD. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD. ∵点E，F，G，H为各边中点， ∴EF=GH=BD，FG=EH=AC， ∴EF=FG=GH=EH， ∴四边形EFGH是菱形. 小试牛刀 22051 菱形的判定方法 定义 的平行四边形叫作菱形. 判定定理1 的平行四边形是菱形. 的四边形是菱形. 判定定理2 四条边相等 对角线互相垂直 有一组邻边相等 课堂小结 22051 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（    ） A．① B．② C．③ D．④ B 当堂检测 基础 22051 2.小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（     ） A．64° B．66° C．68° D．70° C 当堂检测 基础 22051 证明：连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC， 又∵AE=CF， ∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵BD⊥AC，即BD⊥EF，∴四边形DEBF是菱形． 3.如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB． 求证：四边形DEBF是菱形． 当堂检测 提升 22051 $