21.3.1 矩形 课件2025-2026学年人教版 数学八年级下册

21.3.1 矩形 22051 21.3.1 矩形 课时1 矩形的性质 22051 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系. 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. 学习目标 22051 思考 如图①，将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即▱ABCD，转动这个四边形使A′B′⊥B′C′，就得到一个特殊的平行四边形，如图②，你能说出平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？ 新知导入 22051 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形. 矩形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是矩形. 归纳小结 22051 矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象. 你还能举出一些例子吗？ 新知讲解 22051 探究1 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢? 四边形 平行四边形 矩形 边 角 对角线 对边平行且相等 对边平行且相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等且互相平分 你能证明这些猜想吗？ 新知讲解 22051 猜想1：矩形的四个角都是直角. 已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°. 求证：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等). ∵ AB∥CD(矩形的对边平行)， ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°， ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. B C D A 新知讲解 22051 猜想2：矩形的对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与BD相交于点O. 求证：AC=DB.. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB, ∴△ABC△DCB（SAS）. ∴AC=DB. B C D A O 新知讲解 22051 矩形的四个角都是直角. 矩形的特有性质1： 数学语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD. 矩形的对角线相等. 矩形的特有性质2： 归纳小结 22051 思考 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？ A B D C 矩形是轴对称图形. 它有两条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线. 新知讲解 22051 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分. ∴OA=OB. 又∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8. 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4. 求矩形ABCD的对角线的长. 例题讲解 22051 探究2 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. 在Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？ BO是Rt△ABC中斜边AC上的中线，根据矩形的性质，可得BD=AC，所以 猜想：BO = AC 新知讲解 22051 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线. 求证：BO = AC. A B C O D 证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD. ∵OA = OC，OD = OB， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD， ∴BO= BD= AC. 新知讲解 22051 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的性质： 符号语言： ∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线， ∴BO=AC. 归纳小结 22051 如图，△ABC中，AB=AC=10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（    ） A．5 B．5 C．8 D．5 A 小试牛刀 22051 矩形及其性质 定义 的平行四边形叫作矩形. 性质 边 矩形的 ； 角 矩形的 ； 对角线 矩形的 . 相关性质 直角三角形斜边上的中线等于 . 有一个角是直角 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线相等且互相平分 斜边的一半 课堂小结 22051 1.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AE=4，则CE的长为（ 　） A．1 B．5 C．2 D． D 当堂检测 基础 22051 2.如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(0，2)，▱OADE与矩形OABC周长相等，▱OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（    ） A．(3+，1) B．(3+，) C．(5，1) D．(3+，) A 当堂检测 基础 22051 3.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE=（      ） A．95° B．100° C．110° D．145° C 当堂检测 基础 22051 证明:∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠BAD=90°，AB=DC， ∴ ∠ABE=∠DCF=90°， 在△ABE和△DCF中， AB=DC，∠ABE=∠DCF，BE=CF， ∴ △ABE△DCF(SAS)； 4.如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF． 求证：(1)△ABE△DCF； 当堂检测 提升 22051 证明:∵ △ABE△DCF， ∴ ∠BAE=∠CDF， 又∵ ∠CDA=∠BAD=90°， ∴ ∠BAE+∠BAD=∠CDF+∠CDA， ∴ ∠EAD=∠FDA． 4.如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF． 求证：(2)∠EAD=∠FDA． 当堂检测 提升 22051 21.3.1 矩形 课时2 矩形的判定 22051 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. 2.能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题. 学习目标 22051 回顾矩形的概念和性质： 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形性质 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 判定 与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立. 除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗? 复习导入 22051 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形. 如何证明这个猜想呢？ 新知讲解 22051 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB//DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°. ∵AB=DC，BC=CB，AC=BD， ∴△ABC△DCB， ∴∠ABC=∠DCB=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 已知：在▱ABCD中，AC=BD， 求证：四边形ABCD是矩形. 你还有其他证明方法吗？ 猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形. 新知讲解 22051 证明二：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=BD， ∵AC=BD，∴OA=OB=OC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 已知：在▱ABCD中，AC=BD， 求证：四边形ABCD是矩形. 猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形. 新知讲解 22051 对角线相等的平行四边形是矩形. 矩形的判定定理1： 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 归纳小结 22051 思考：对角线相等的四边形一定是矩形吗？ 不一定，等腰梯形的对角线也相等. A B C D 矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 新知讲解 22051 应用 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？ 四边形 平行四边形 矩形 两组对边分别相等 对角线相等 新知讲解 22051 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？ 成立. C B A D 思考：至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C （有一个角是直角） A B D C （有二个角是直角） A B D C （有三个角是直角） 猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形. 新知讲解 22051 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. C B A D 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴ AD//BC， AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形. 新知讲解 22051 有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形的判定定理2： 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. C B A D 归纳小结 22051 例2 如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形. 分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形. 例题讲解 22051 例2 如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，∴∠BAD+∠ADC=180°. 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=(∠BAD+∠ADC)=90°. ∴ ∠F=90°. ∴∠FEH=∠AEB=90°. ∴四边形EFGH是矩形. 例题讲解 22051 矩形的判定方法 定义 的平行四边形叫作矩形. 判定定理1 的四边形是矩形. 的平行四边形是矩形. 判定定理2 有三个角是直角 对角线相等 有一个角是直角 课堂小结 22051 1.如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（     ） A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC A 当堂检测 基础 22051 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是 . 当堂检测 基础 22051 证明：∵点O为AB的中点，∴OA=OB， ∵AE∥BC，∴∠EAO=∠OBD，∠AEO=∠BDO， ∴△AEO△BDO(AAS)，∴AE=BD， ∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形. ∵ AB=AC，点D是BC边上的中点， ∴ AD⊥BC即∠ADB=90°， ∴ 四边形AEBD是矩形. 3.如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明． 当堂检测 提升 22051 $