教材习题改编微专题01 6.3.3 例5 专项练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教材习题改编微专题-----第六章 平面向量及其应用 01人教A版必修二第6.3.3节的例5 专题结构： 1、 教材原题 2、 试题点评 3、改编方式： (1)数据不变追加问题； (2)数据不变深度设问； (3)数据不变情景改变； (4)数据改变问题不变； (5)数据改变及情景问题不变； (6)数据、情景及问题均改变 教材原题： 例5、如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标. 试题点评： 一、高中数学核心素养方面 本题以平行四边形为载体，聚焦坐标与向量运算，落实直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养。通过图形与坐标转化，培养几何直观；向量运算过程，强化严谨运算与逻辑推理能力，体现数形结合的本质。 二、夯实 “四基” 方面 本题全面覆盖基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。考查平行四边形性质、向量相等与运算法则等知识；强化坐标运算、向量分解等技能；渗透数形结合与化归思想，积累几何与代数转化的活动经验。 三、解题思想与方法方面 本题呈现一题多解，蕴含丰富数学思想。解法1利用向量相等体现方程思想与化归思想；解法2借助向量加法平行四边形法则体现向量思想，引导学生灵活选择策略，提升思维发散性与解题灵活性。 变式训练： 一、数据不变追加问题 1、（追加问题（2）考查投影向量）已知平行四边形（按A、B、C、D的顺序）的三个顶点A、B、C的坐标分别是. (1)求D的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 2. （追加问题（2）考查向量的模）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. (1)求D的坐标； (2)求中BD边上的中线长. 3．（追加问题（2）考查向量的数量积运算）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). (1)求D的坐标； (2)在x轴是否存在一点P，使得为直角三角形，求此时P点的坐标 4.（追加问题（2）考查平面向量基本定理）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. (1)求D的坐标； (2)若，求的值 二、数据不变深度设问 1．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若AC与BD交于N点，求的值 2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若E、F分别是BC，CD的中点，求的值 3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围. 三、数据不变情景改变 1、已知平面内平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标． 2．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q是线段BC上的动点，求的最值 四、数据改变问题不变 1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 2、已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，则顶点的坐标为 __________. 五、数据改变及情景问题不变 1、已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1,－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点． 2．已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，求第四个顶点D的坐标． 3．如图，已知点，求以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标. 六、数据及情景改变问题改变 1．如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 2．已知，向量，. (1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标； (2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标. 3．如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，. (1)求顶点的坐标； (2)求向量与向量所成角的余弦； (3)求向量与向量上的投影向量的坐标. 4．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是． (1)求顶点D的坐标； (2)求的面积． 5．如图，已知平行四边形的三个顶点､､的坐标分别是､､， (1)求向量； (2)求顶点的坐标. 6．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是． (1)用坐标表示； (2)求的模长； (3)求顶点A的坐标． 8．已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． (1)求点的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求平行四边形的面积． 9．已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为，，． (1)求点D的坐标； (2)求平行四边形ABCD的面积． 10．已知平行四边形的三个顶点分别为，，. (1)求顶点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 11．已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)求在上的投影向量的坐标. 12．在平面直角坐标系中，的顶点分别是平面内存在一点B使得四边形ABCD是顶点逆时针标注的平行四边形. (1)求B点坐标 (2)猜测AC与BD的位置关系并证明 13．已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且． (1)求顶点的坐标； (2)若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求． 14．已知梯形中，，，三个顶点. (1)求顶点的坐标； (2)求在上的投影向量. 15．已知菱形ABCD的三个顶点，，，求： (1)第四个顶点D的坐标； (2)菱形ABCD的面积． 16．已知直角梯形ABCD的三个顶点分别为，B(6，0)，C(7，5)，求顶点D的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二教材习题改编微专题-----第六章 平面向量及其应用 01 人教A版必修二第6.3.3节的例5 专题结构： 1、 教材原题 2、 试题点评 3、 试题变式 (1)数据不变追加问题； (2)数据不变深度设问； (3)数据不变情景改变； (4)数据改变问题不变； (5)数据改变及情景问题不变； (6)数据及情景改变问题改变 教材原题： 例5、如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标. 解析： 解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.因为，， 又，所以.即解得，所以顶点D的坐标为. 解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知 ，而.所以顶点D的坐标为. 试题点评： 一、高中数学核心素养方面 本题以平行四边形为载体，聚焦坐标与向量运算，落实直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养。通过图形与坐标转化，培养几何直观；向量运算过程，强化严谨运算与逻辑推理能力，体现数形结合的本质。 二、夯实 “四基” 方面 本题全面覆盖基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。考查平行四边形性质、向量相等与运算法则等知识；强化坐标运算、向量分解等技能；渗透数形结合与化归思想，积累几何与代数转化的活动经验。 三、解题思想与方法方面 本题呈现一题多解，蕴含丰富数学思想。解法1利用向量相等体现方程思想与化归思想；解法2借助向量加法平行四边形法则体现向量思想，引导学生灵活选择策略，提升思维发散性与解题灵活性。 变式训练： 一、数据不变追加问题 1、（追加问题（2）考查投影向量）已知平行四边形（按A、B、C、D的顺序）的三个顶点A、B、C的坐标分别是. (1)求D的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算即可； （2）根据投影向量的定义计算即可. 【详解】（1）易知，设顶点D的坐标为，则， ，即，解得，∴顶点D的坐标为. （2）由上可得，设向量在向量上的投影向量， 故. 2. （追加问题（2）考查向量的模）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. (1)求D的坐标； (2)求中BD边上的中线长. 【答案】(1)；(2) 【分析】设出，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出的坐标，即可求出的中点的坐标，从而求出的坐标及模，即可得解． 【详解】(1)设，，，，则，，又， ，解得，即， （2） 由(1)知的中点，所以， 所以，即中BD边上的中线长. 3．（追加问题（2）考查向量的数量积运算）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). (1)求D的坐标； (2)在x轴是否存在一点P，使得为直角三角形，求此时P点的坐标 【答案】(1)；(2)存在，或或或 【分析】先利用求出点坐标，再分A为直角顶点，D为直角顶点，P为直角顶点三种情况求解. 【详解】(1)设，，由得，解得，即. (2假设存在，设，当A为直角顶点时，，有，解得； 当D为直角顶点时，，有，解得； 当P为直角顶点时，，有，解得； 故或或或. 4.（追加问题（2）考查平面向量基本定理）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. (1)求D的坐标； (2)若，求的值 【答案】(1)；(2) 【分析】设出，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出的坐标，从而求出、、的坐标，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可． 【详解】(1）设，，，，则，， 又，，解得，即， （2）由已知及（1）可知，，，因为， 所以，所以，解得，所以。 二、数据不变深度设问 1．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若AC与BD交于N点，求的值 【答案】6 【分析】先求出N点坐标，再写出，最后按照数量积的坐标运算计算即可. 【详解】由AC与BD交于N点知N为AC中点，所以，即，，. 2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若E、F分别是BC，CD的中点，求的值 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再求点、的坐标，最后由向量数量积运算即可. 【详解】四边形ABCD为平行四边形，设，则，，而， 所以，解得，所以，则，，所以,, 所以. 3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围. 【答案】. 【分析】根据求出D点坐标，根据∥表示出P点坐标，根据即可求P横坐标的范围. 【详解】设，则， 四边形是平行四边形，，，解得，. 设，，，，，， ∵∥，∴，为锐角， 则， 解得或(舍)，∴P的横坐标范围是：. 三、数据不变情景改变 1、已知平面内平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标． 【答案】，或，或 【分析】可分别以为对角线构建平行四边形，根据一组对边对应的向量相等求解第四个顶点的坐标. 【详解】因为，所以. 设第四个顶点的坐标为．可分别以为对角线构建平行四边形， 如图1，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得.所以点的坐标为. 图1 如图2，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得.所以点的坐标为. 图2 如图3，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得.所以点的坐标为. 图3 所以，第四个顶点的坐标为，或，或. 2．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q是线段BC上的动点，求的最值 【答案】最小值 ，最大值57. 【分析】根据平行四边形，求出D点的坐标，分别求出的解析式，根据解析式求出最值，再综合考虑即可. 【详解】 依题意作上图，点D的位置有3个，分别为 ，下面分别求出这3个位置的坐标： 设 ，则有 ，解得； ，解得； ，解得； ∵点Q在BC上，设 ，则有 ， () ， ， ， ， ， ，当 时，取最小值=  ，最大值=11； ，当 时，取最小值= ，最大值=-11； ，当 时，取最小值=11，最大值=57； 所以在以A，B，C为顶点的平行四边形中， 的最小值为，最大值为57； 综上，最小值为，最大值为57. 四、数据改变问题不变 1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由，能求出顶点的坐标． 【详解】设，由平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，得到：，，，， ，解得，，则顶点的坐标为．故选：． 2、已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，则顶点的坐标为 __________. 【答案】 【分析】由平行四边形有，设，利用向量的坐标表示求坐标即可. 【详解】由为平行四边形，则，令，则， 所以，可得，故. 五、数据改变及情景问题不变 1、已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1,－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点． 【答案】D可能为或或． 【分析】根据四点构成平行四边形分别为ABCD时、ABDC时、ADBC时，利用向量的坐标表示即可求D的坐标. 【详解】设点D的坐标为(x,y)， （1）当平行四边形为ABCD时，即有，∴(4,6)－(3,7)＝(1,－2)－(x,y)， ∴，解得，∴． （2）同理，当平行四边形为ABDC时，，得． （3）同理，当平行四边形为ADBC时，，得． 综上，D可能为或或． 2．已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，求第四个顶点D的坐标． 【答案】，或． 【分析】根据平面向量共线（相等）的坐标表示即可求解. 【详解】顶点． ①若平行四边形四个顶点的顺序为A，B，C，D， 则，．由，得解得 故顶点D的坐标为． ②若平行四边形四个顶点的顺序为A，C，B，D， 则，．由，得解得 故顶点D的坐标为． ③若平行四边形四个顶点的顺序为A，B，D，C， 则，．由，得解得 故顶点D的坐标为． 综上，顶点D的坐标是，或． 3．如图，已知点，求以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标. 【答案】或或. 【分析】分三种情况①；②；③，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解. 【详解】如图所示，设点，以为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ②若四边为， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ③若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即. 综上可得，点的坐标为或或. 六、数据及情景改变问题改变 1．如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【分析】（1）利用和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的垂直表示建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）设，又、、，，.又四边形是平行四边形，所以，，即，解得，顶点A的坐标为. （2） 存在.由（1）可知，，，，设， 则.又，，解得， 即. 2．已知，向量，. (1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标； (2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解； （2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解. 【详解】（1）设点C的坐标为，因为，，，可得，则，若四边形OACB为平行四边形，可得，则，解得，故点C的坐标为. （2）设点P的坐标为，由（1）可知：，则， 若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则， 则，解得，故点P的坐标为. 3．如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，. (1)求顶点的坐标； (2)求向量与向量所成角的余弦； (3)求向量与向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）设.根据题中顶点，，的坐标可求得向量与的坐标，根据四边形是平行四边形，结合向量相等的坐标表示即可求解； （2）由（1）可知，，根据向量夹角的坐标表示即可求解； （3）根据投影向量的定义及向量数量积运算即可求解. 【详解】（1）设.∵，，，∴，. 又四边形是平行四边形，∴，∴，即，解得. ∴顶点的坐标为. （2）由（1）可知，， ∴向量与向量所成角的余弦为. （3）∵，， ∴向量与向量上的投影向量的坐标为. 4．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是． (1)求顶点D的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2)15 【分析】（1）方法一：根据求点坐标. 方法二：根据先求，再根据可求点坐标. （2）先求，判断的形状，再求其面积. 【详解】（1）法一：设顶点的坐标为，因为，， 又，所以，即，解得.所以点的坐标为． 法二：由向量加法的平行四边形法则可知，其中为坐标原点， ， 而，所以点的坐标为． （2）由（1）可知，，则，故， 因此是直角三角形．. 5．如图，已知平行四边形的三个顶点､､的坐标分别是､､，    (1)求向量； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由､的坐标可得的坐标； （2）设出的坐标，可得的坐标，再由，求解即可. 【详解】（1）四边形是平行四边形， 且顶点､的坐标分别是､，； （2）设，又，，又， ，即，解得，顶点的坐标为. 6．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算，可得结果； （2）用坐标表示，然后根据平面向量的夹角公式计算即可； （3）根据向量的数量积求出，进而求出，再利用平行四边形的面积公式求解. 【详解】（1）设顶点D的坐标为； ，， 又，所以，即，解得；所以顶点的坐标为； （2）由， 所以，所以； （3）， 所以，所以， 所以. 7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是． (1)用坐标表示； (2)求的模长； (3)求顶点A的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用终点坐标和始点坐标即可得解； （2）求出的坐标，由模长公式可得； （3）利用相等向量列方程组求解即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为， 所以， 所以，所以. （3）设点坐标为，则， 因为四边形为平行四边形，所以， 则，解得，即点坐标为 8．已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． (1)求点的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【详解】（1）由题意得， 设，则． 由，得得所以点的坐标为． （2）由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为． （3）由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为. 9．已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为，，． (1)求点D的坐标； (2)求平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和平面向量的相等向量的计算即可求解. （2）判断与的关系，可判断平行四边形ABCD为矩形，即可求解面积. 【详解】（1）设点D的坐标为． 由题意得，． 因为，所以得所以点D的坐标为． （2）因为，所以， 所以平行四边形ABCD为矩形．因为，， 所以平行四边形ABCD的面积为． 10．已知平行四边形的三个顶点分别为，，. (1)求顶点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及向量的坐标运算求解； （2）根据夹角公式先求出，从而得到平行四边形边上的高，进而得解. 【详解】（1）根据平行四边形性质，，设，即， 解得，故 （2），则， 又，则，于是到的距离为， 又， 则平行四边形的面积为 11．已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的相等满足的坐标关系即可求解， （2）根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】（1）设，由题意得，， 由可得得故点的坐标为. （2）由（1）得，则，， 所以在上的投影向量的坐标为. 12．在平面直角坐标系中，的顶点分别是平面内存在一点B使得四边形ABCD是顶点逆时针标注的平行四边形. (1)求B点坐标 (2)猜测AC与BD的位置关系并证明 【答案】(1) (2)与互相垂直，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，设，进而利用向量的坐标运算求解即可； （2）求得的坐标，进而计算与的数量积可得结论. 【详解】（1）因为四边形ABCD是顶点逆时针标注的平行四边形，所以， 设，又因为，所以， 所以，解得，所以B点坐标为； （2）猜测AC与BD互相垂直，理由如下：由（1）可知， 所以，所以，所以AC与BD互相垂直. 13．已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且． (1)求顶点的坐标； (2)若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据平面向量共线及垂直的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量的线性运算的坐标表示计算求模即可. 【详解】（1）设，因为，，， 则，，， 在直角梯形中，，且， 所以A，为直角，则，即， 解得，，所以顶点的坐标为； （2）    因为为线段上靠近点的三等分点，则， 设，则，所以，，所以， 又因为为线段的中点，则，所以，， 则，所以 14．已知梯形中，，，三个顶点. (1)求顶点的坐标； (2)求在上的投影向量. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）设顶点，利用即可求解； （2）利用向量的数量积公式求得的夹角为，再利用投影向量公式即可求解. 【详解】（1）设顶点，已知三个顶点, 所以.   因为且，所以， 即.所以，解得：.       即顶点的坐标为顶点. （3） 可求得，则 设的夹角为， 则． 设,  所以在上的投影向量为 或. 15．已知菱形ABCD的三个顶点，，，求： (1)第四个顶点D的坐标； (2)菱形ABCD的面积． 【答案】(1)；(2)2 【分析】（1）利用向量相等即求；（2）利用菱形的面积公式即求. 【详解】（1）设，由，得，解得，，所以点的坐标为. （2）∵，，，，∴， ∴菱形的面积. 16．已知直角梯形ABCD的三个顶点分别为，B(6，0)，C(7，5)，求顶点D的坐标． 【答案】或 【分析】设，应用坐标表示、、、，再根据直角梯形的性质，讨论、两种情况，结合平面向量垂直、共线的坐标表示求参数x、y，即可得D的坐标． 【详解】由题设，，，则，若，则，，∴当，时，有，可得， 当，时，有，可得或（舍）， 综上，或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $