第八章一元二次方程专项训练 2025-2026学年鲁教版（五四制)(2012)数学八年级下册

第八章一元二次方程专项训练 一、单选题 1．已知是方程的一个根，则常数的值为（   ） A． B．9 C． D． 2．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 9．若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．9 10．某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 12．一元二次方程的解是________ 13．超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则______． 14．已知方程可以配方成的形式，那么a的值为_______． 15．为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为________． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 17．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：……① ，，，…………………② …………③ 方程无实数根．……………④ (1)嘉嘉解方程的方法是___________，他的求解过程从第_______步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 18．已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根满足，求的值． 19．某商家推出一款玩具，成本为40元/个．当售价定为70元/个时，平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个． (1)商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元； (2)该商家平均每天能否获利2300元？请说明理由． 20．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的20万人增加到2025年的万人．求该市这两年参加健身运动人数的年均增长率． 21．解下列方程： (1)； (2)． 22．用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． (1)若围成的花圃面积为，求的长； (2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程求解m． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念， 根据一元二次方程的定义求解即可，熟练掌握其概念是解决此题的关键． 【详解】A、该方程的未知数的二次项系数是，当时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，根据配方法的基本步骤：移项、配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方）、变形为完全平方式求解即可． 【详解】解： 移项得 即． 故选：D 4．A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， 与对比，得， ∴， 故选：A． 5．D 【分析】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程无实数根． 据此列出不等式并根据二次项系数不为0列式计算即可． 【详解】解：当时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 故选D． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 通过配方法将方程变形为的形式，确定和的值后计算． 【详解】解：将原方程的常数项移到右边，得 配方，得即 则，． 故 故选：D． 8．B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是根据篱笆用法正确表示平行于墙的边长． 设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，由题意，得：； 故选B． 9．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值． 先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴； 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 11．且 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 所以的取值范围为且． 故答案为：且． 12．， 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， 解得，． 故答案为：， 13． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得，（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为．即． 故答案为：． 14．4 【分析】本题考查配方法，将，展开，与原方程对应后，即可得出结果． 【详解】解：由展开得，即， 与原方程 比较，得，故． 故答案为：4． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据总利润单个利润销售个数，根据题意找出销售一个电子产品的盈利和销售电子产品的个数，即可解题． 【详解】解：由题可知，销售一个电子产品的盈利为：元， 该电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个， 销售电子产品的个数为：个， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 16．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ∴； （2）解：去括号，得， 移项并合并同类项，得，即， 这里， ， ， 即． 17．(1)公式法，②； (2)见详解 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键． （1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． 【详解】（1）解：依题意，嘉嘉解方程的方法是公式法， 则求解过程中，，，他的表示系数时错误， ∴从第②步开始出现错误， 故答案为：公式法，②； （2）解：依题意，， ，，， ， ， ，． 18．(1) (2) 【分析】（1）由方程求出判别式即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴． （2）解：由， ∵，， ∴原式即为：，整理得，， ∴解得（舍）或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和． 19．(1)每个玩具应降价12元 (2)商家平均每天不能获利2300元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程求解． （1）设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个，再由利润等于每个玩具的利润乘以销售量建立方程求解，然后根据“为了尽快减少库存”进行舍解即可； （2）设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个，同上建立方程，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 因为要尽快减少库存， 所以销量应尽可能大，即， 答：每个玩具应降价12元； （2）解：该商家平均每天不能获利2300元，理由如下： 设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元， 销售量为个，由题意得：， 整理得：， ， 原方程无实数根， 该商家平均每天不能获利2300元． 20． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，设该市2024，2025这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，结合从2023年的20万人增加到2025年的万人，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设该市2024，2025这两年参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意，得， 解这个方程，得， 经检验，不符合题意，舍去；，符合题意． 答：该市这两年参加健身运动人数的年均增长率为． 21．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）本题可通过因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解． （2）先将方程化为一元二次方程的一般形式，再利用公式法求解，也可通过配方法求解． 【详解】（1）解： 因式分解得 则或 解得，； （2）解：把方程整理为一般形式，其中，， ∴ ∴ 解得：， 22．(1)的长为； (2)不能围成花圃，理由见解析． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 【详解】（1）解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； （2）解：不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $