精品解析：浙江省金华海亮外国语学校2021-2022学年九年级下学期第一次学情检测数学试题

金华海亮外国语学校九年级学情检测卷 九年级 数学学科 试题卷 1、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔答题． 2、答卷前请将座位号、班级、准考证号、姓名写到试卷的左上角． 3、答题时字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用． 4、本卷共24小题，总分为120分，大题时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（ ） A. y=x+m B. y=m（x-1） C. y=m（1+x） D. y=m（1-x） 3. 一个不透明的袋子中只装有1个黄球和3个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，下列说法正确的是( ) A. 摸到黄球是不可能事件 B. 摸到黄球的概率是 C. 摸到红球是随机事件 D. 摸到红球是必然事件 4. 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中任选一个，选中的恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷95次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（ ） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定 6. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 7. 二次函数的图象如何移动就得到的图象（　　） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 8. 二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 轴 C. 直线 D. 直线 9. 如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间(不包含端点)，顶点的坐标为．则下列结论： ①；②；③对于任意实数，总成立； ④关于的方程没有实数根．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ） A. 点B坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是______． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 13. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 14. 一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为__________． 15. 小芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面朝上的概率为______． 16. 图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯．防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示．若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为_____米． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 17. 已知二次函数，当时，；当时，．求这个二次函数的表达式． 18. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为． （1）求的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 19. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 20. 如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． （1）求A，B两点的坐标； （2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值． 21. 把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线的函数关系式； （2）动点能否在拋物线上？请说明理由； （3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由． 22. 疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个． （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？ （3）设该厂每天可以生产的口罩W个，请求出W与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？ 23. 如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 24. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华海亮外国语学校九年级学情检测卷 九年级 数学学科 试题卷 1、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔答题． 2、答卷前请将座位号、班级、准考证号、姓名写到试卷的左上角． 3、答题时字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用． 4、本卷共24小题，总分为120分，大题时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，对称轴为，顶点坐标为． 2. 某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（ ） A. y=x+m B. y=m（x-1） C. y=m（1+x） D. y=m（1-x） 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出函数关系式即可，先求得第一年的利润m（1+x），再求得第二年的利润为m（1+x） 【详解】根据题意，某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，每年增长的百分数都是x，则, 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意、掌握增长率问题是解题的关键． 3. 一个不透明的袋子中只装有1个黄球和3个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，下列说法正确的是( ) A. 摸到黄球是不可能事件 B. 摸到黄球的概率是 C. 摸到红球是随机事件 D. 摸到红球是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式和必然事件、随机事件及不可能事件逐一判断即可得. 【详解】解：A．摸到黄球的概率是，有可能摸到黄球，此选项错误； B．摸到黄球的概率是，此选项错误； C．摸到红球的概率是，属于随机事件，此选项正确； D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是，有2种可能，此选项错误； 故选C. 【点睛】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m/n. 4. 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中任选一个，选中的恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由在“正三角形、正方形、正五边形、正六边形”中，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的是“正方形、正六边形”，利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：在“正三角形、正方形、正五边形、正六边形”中，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的是“正方形、正六边形”， ∴恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概是：． 故选：C． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷95次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（ ） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的意义分析即可． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币是随机事件，正面朝上的概率是 ∴抛掷第100次正面朝上的概率是 故答案选：B 【点睛】本题主要考查概率的意义，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． 6. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 7. 二次函数的图象如何移动就得到的图象（　　） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数“左加右减，上加下减”的移动规律解答． 【详解】解：二次函数的图象向右移动1个单位，向上移动3个单位得到的图象，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象移动的规律：左加右减，上加下减，熟记规律是解题的关键． 8. 二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 轴 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 9. 如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间(不包含端点)，顶点的坐标为．则下列结论： ①；②；③对于任意实数，总成立； ④关于的方程没有实数根．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据所给函数图象，得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点， 所以． 又因为抛物线的顶点坐标为， 所以， 即， 所以． 故①正确． 由①知，， 又因为抛物线与轴的交点在点与点之间不包含端点， 所以， 即， 解得． 故②正确． 由函数图象可知， 当时，函数有最小值， 则对于横坐标为的抛物线上的任意一点， 其纵坐标不小于， 即， 所以． 故③正确． 方程的实数根可看成函数与直线的交点的横坐标， 由函数图象可知， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 所以方程有两个不相等的实数根． 故④错误． 故选：C． 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ） A. 点B坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可． 【详解】解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象上的点满足二次函数解析式是解题关键．将A、B、C代入求解即可． 【详解】解：，，为二次函数的图象上的三点， ，，， ， 故答案为：． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：根据图示，抛物线的图象开口向上，经过，对称轴直线为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当或时，， 故答案为：或 ． 13. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】由题意可分当a=0时，则函数与x轴满足只有一个交点，当a≠0时，则需满足，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 当a=0时，则函数解析式为，满足与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，则函数的图像与x轴只有一个公共点，需满足，即， ∴， 综上所述：当函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是0或1； 故答案为0或1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 14. 一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答. 【详解】解:根据题意得，＝0.3，解得m＝3. 故答案为:3. 【点睛】本题考查随机事件概率的意义，关键是要知道在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近. 15. 小芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面朝上的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，根据概率公式即可解答． 【详解】解：抛一枚硬币，有正面向上和反面向上2种等可能情况， ∴正面向上的概率为， 故答案为：． 16. 图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯．防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示．若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为_____米． 【答案】2.7 【解析】 【分析】由题意构造直角坐标系，设点A为坐标原点，由题意可知：防滑螺母C为抛物线支架的最高点，由图象中的数据，就可得到顶点A的坐标及点B的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，再根据灯罩D距离地面1.86米，茶几摆放在灯罩的正下方，将y＝1.86代入函数解析式求出x的值，就可得到茶几到灯柱的距离AE． 【详解】解：如图所示，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意可知：防滑螺母C为抛物线支架的最高点 ∴顶点C的坐标为：（1.5，2.5），B点坐标为（0，1.5）， 设抛物线的解析式为y＝a（x−1.5）2＋2.5， 将点B（0，1.5）代入得：a（0−1.5）2＋2.5＝1.5， 解之：a＝， ∴， ∵灯罩D距离地面1.86米，茶几摆放在灯罩的正下方， 当y＝1.86时， 解得：x1＝0.3，x2＝2.7， ∵茶几在对称轴的右侧 ∴x＝2.7， ∴茶几到灯柱的距离AE为2.7m 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 17. 已知二次函数，当时，；当时，．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，运用待定系数法列式求解即可． 【详解】解：二次函数，当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 18. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为． （1）求的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可； （2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1； （2）根据题意画出树状图如下： 所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率． 【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键． 19. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】 解：这个游戏对双方公平，理由如下： 如图， ∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种， ∴P（紫色）=， ∴这个游戏对双方公平． 【解析】 【分析】画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解． 【详解】略 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． 20. 如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． （1）求A，B两点的坐标； （2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值． 【答案】（1）A（-1，0），B（2，0）；（2）m的值为0或1． 【解析】 【分析】（1）解方程x2-x-2=0可得A，B两点的坐标； （2）把P（m，-2）代入y=x2-x-2得m2-m-2=-2，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：（1）当y＝0时，x2-x-2=0，解得x1＝-1，x2＝2， ∴A（-1，0），B（2，0）； （2）把P（m，-2）代入y=x2-x-2得m2-m-2=-2， 解得m1＝0，m2＝1， ∴m的值为0或1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 21. 把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线的函数关系式； （2）动点能否在拋物线上？请说明理由； （3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可； （2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上； （3）根据抛物线的增减性质即可解答． 【详解】（1）抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，2)， 根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线的函数关系式为：； （2）动点P不在抛物线上． 理由如下： ∵抛物线的顶点为，开口向上， ∴抛物线的最低点的纵坐标为． ∵， ∴动点P不在抛物线上； （3）． 理由如下： 由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小． ∵点都在抛物线上，且， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个． （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？ （3）设该厂每天可以生产的口罩W个，请求出W与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？ 【答案】（1） （2）应该增加5条生产线 （3）增加7或8条生产线，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个 【解析】 【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可； （2）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可； （3）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：； ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ，整理得：， 解得：，， ∵尽可能投入少， ∴舍去． 答：应该增加5条生产线． 【小问3详解】 解： ∴抛物线开口向下， ∴当时，w最大， 又∵x为整数， ∴当或8时，w最大，最大值为6120． 答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标（，）． 【解析】 【分析】（1）因为对称轴是直线x=-1，所以得到点A（-3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式． （2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0） 即：y＝a（x﹣1）（x+3） 把B（0，3）代入得：3＝﹣3a ∴a＝﹣1 ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3． （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴， ∴直线AB为y＝x+3， 作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M， 设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， ∴， 当时，，， ∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质． 24. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】 【详解】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式； （2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值； （3）存在四种情况： 如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D， 由对称性得：D（3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1， ∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3； （2）如图2，设P（m，m2-4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式为：y=x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m）， ∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG•AE， =+×3×（-m2+5m-3）， =-m2+m， =（m-）2+， ∵-＜0， ∴当m=时，S有最大值是； （3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2-4m+3）， 则-m2+4m-3=2-m， 解得：m=或， ∴P的坐标为（，）或（，）； 如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 则-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P的坐标为（，）或（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $