21.2.3 三角形的中位线 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.3 三角形的中位线 22051 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 学习目标 22051 转化成几何问题就是把这个三角形四等分，你会吗？ 如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何分？ 情境导入 22051 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 新知讲解 22051 思考1 一个三角形有几条中位线? 三条 新知讲解 22051 思考2 三角形的中位线和中线一样吗? 不一样，三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段， 三角形的中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段. 新知讲解 22051 探究 观察图形，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗?度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 猜想：DE//BC 且 DE = BC 新知讲解 22051 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半. 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点. 求证：DE//BC，DE=BC. DE//BC，DE=BC DF BC 四边形DBCF是平行四边形 四边形ADCF是平行四边形 转化 转化 转化 ∥ ＝ 新知讲解 22051 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵AE=EC，DE=EF，∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∴CF DA. 又 D是AB的中点，∴ CF BD. ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴ DF BC. 又 DE=DF， ∴DE//BC，且DE=BC. 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点. 求证：DE//BC，DE=BC. ∥ ＝ ∥ ＝ ∥ ＝ 新知讲解 22051 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言 在△ABC中， ∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE//BC，DE=BC. 归纳小结 22051 例6 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形. 例题讲解 22051 例6 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AH=HD，CG=GD， ∴HG//AC，且HG=AC. 同理EF//AC，且EF=AC. ∴ HG EF. ∴四边形EFGH是平行四边形. ∥ ＝ 例题讲解 22051 拓展1：已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形面积各是多少？ A B C E F G 每个三角形的面积＝S 解：根据三角形的中位线定理知， EF＝ BC＝BG，AE＝AB＝EB，AF＝AC＝EG， 故△AEF△EBG， 同理，△AEF△FGC， △GFE △AEF． 所以，S△AEF ＝S△EBG ＝S△FGC ＝S△GFE＝S． 新知讲解 22051 解：根据三角形的中位线定理知， EF＝a，EG＝ b，GF＝c． 故△EGF的周长＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)． 同理，其他三角形的周长也是(a＋b＋c)． 拓展2：如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形周长分别是多少？ 每个三角形的周长＝(a＋b＋c) A B C E F G 新知讲解 22051 三角形的中位线 定义 连接三角形 的线段叫作三角形的中位线. 三角形的 中位线定理 三角形的中位线平行于 ， 并且 . 三角形的第三边 等于第三边的一半 两边中点 课堂小结 22051 1.三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（    ） A．12 cm B．24 cm C．28 cm D．30 cm B 当堂检测 基础 22051 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（    ） A．1 B． C．2 D．4 C 当堂检测 基础 22051 证明：∵D，F分别为边AB，BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线，AD=BD， ∴DF∥AC， ∴∠A=∠FDB， 又∵∠AED=∠DFB， ∴△AED△DFB(AAS)； 3.已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB，BC的中点，∠AED=∠DFB． 求证：(1)△AED△DFB； 当堂检测 提升 22051 证明：∵△AED△DFB， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC， 又∵DF∥AC， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∴∠C=∠EDF． 3.已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB，BC的中点，∠AED=∠DFB． 求证：(2)∠C=∠EDF． 当堂检测 提升 22051 $