2026年九年级中考数学一轮复习【几何模型：“奔驰”模型+费马点模型】（旋转）

常考的重难点几何模型 九年级上册 初中数学 目录 九年级上册 · 旋转 模型1：“奔驰”模型…………………………………………………………… 1 模型2：费马点模型……………………………………………………………… 4 实战演练…………………………………………………………………………… 6 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“奔驰”模型 题目条件中含有等边三角形内一点与三个顶点的距离满足勾股定理，形似一个奔驰车标时，考虑用此模型 已知：如图，在等边三角形ABC中，AD=3，BD=4，CD=5 依据：旋转的性质，勾股定理的逆定理 结论：∠ADB=150° 作法：分别以DA，DB，DC中的任意一条为边沿任意方向作等边三角形，共有6种方法，如图所示 证明：（以第一个为例）如图，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AP，连接PB，PD，则△ADP是等边三角形D C A B 3 4 5 P ∵ △ABC，△ADP是等边三角形 ∴ ∠BAC=∠PAD=∠ADP=60°，AB=AC，AP=AD=PD ∵ ∠PAB=∠PAD－∠BAD，∠DAC=∠BAC－∠BAD ∴ ∠PAB=∠DAC 在△PAB和△DAC中， ∴ △PAB≌△DAC（SAS） ∴ PB=DC=5 在△BDP中，，， ∴ 敲黑板，记重点 解题方法： 旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证明全等，结合勾股定理的逆定理，得到结论. ∴ △BDP是直角三角形，且∠BDP=90° ∴ ∠ADB=∠ADP+∠BDP=150° 模型拓展 已知：在等边三角形ABC中，AD=3，BD=4，CD=5，求 解：如图，过点B作BQ⊥AD，交AD的延长线于点Q 由模型提炼结论得，∠ADB=150° ∴ ∠BDQ=180°－∠ADB=30° 在Rt△BQD中，∠BDQ=30°，BD=4D C A B 3 4 5 Q ∴ BQ=2 ∴ 在Rt△ABQ中，由勾股定理得， ∴ ∴ 【例1】如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（　　） A． B． C． D． 【分析】首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 模型2：费马点模型 题目条件中含有求三角形内一动点到三角形的三个顶点的距离之和最小时，考虑用此模型 已知：如图，△ABC的三个内角均不大于120°，P为三角形内一点，当点P与△ABC三个顶点的连线的夹角均为120°时，PA+PB+PC的值最小 证明：如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A’BP’，连接PP’，A’C 由旋转的性质可知，PB=P’B，PA=PA’，∠PBP’=60° ∴ △BPP’是等边三角形 ∴ PB=PP’ ∴ PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≥A’C ∴ A’，P’，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段A’C的长 ∵ ∠P’PB=∠PP’B=60° ∴ ∠BPC=∠A’P’B=180°－60°=120° ∵ ∠APB=∠A’P’B ∴ ∠APB=120° ∴ ∠APC=360°－120°－120°=120° 敲黑板，记重点 如图，以△ABC的三边为边分别向外构造等边三角形BCD，等边三角形ACE，等边三角形ABF，连接AD，BE，CF，则AD，BE，CF交于点P，点P即为费马点，PA+PB+PC=AD=BE=CF. P’ A B C P A’ 【例1】如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【分析】首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 实 战 演 练 【“奔驰”模型 】 1．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（    ） A．点O与的距离为4 B． C．S四边形AOBO′ D． 【分析】证明，得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，进而可判断． 【详解】解：如图1，连接OO′， 由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°， ∴∠1＝∠3， 又∵OB＝O′B，AB＝BC， ∴， 又∵∠OBO′＝60°， ∴△OBO′是等边三角形， ∴OO′＝OB＝4． 故A正确； ∵△BO′A≌△BOC， ∴O′A＝5． 在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°， ∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°， 故B正确； S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4， 故C正确； 如图2 将绕点顺时针旋转60°到位置， 同理可得， 故D错误； 故选D． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 2．如图，P为等边三角形内一点，且点这到三个顶点A、B、C的距离分别为6、8、10，则的面积为 ． 【分析】可将绕点B逆时针旋转得，根据旋转的性质得，则为等边三角形，得到，在中，，延长，作于点F，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数，在直角中求得和的长，则在直角中利用勾股定理求得的长，进而求得三角形的面积． 【详解】∵为等边三角形， ∴， 可将绕点B逆时针旋转得，连，且延长，作于点F．如图， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 在中，， ∴ ∴为直角三角形，且， ∴ ∴， ∴在直角中，，， 在直角中，， ∴， ∴的面积 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，以及旋转的性质等知识，熟练掌握各知识点并运用解决问题是解题的关键． 3．如图，点是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为 ． 【分析】将绕点逆时针旋转后得到的，由旋转的性质可得，，可得为等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转后得到的． ≌， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 为直角三角形， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，利用旋转的性质和勾股定理的逆定理得到为直角三角形是解题的关键． 4．问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． 类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． 迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案） 【分析】问题解决：利用旋转性质证明是等边三角形，利用勾股定理证明是直角三角形即可求解； 类比探究：将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，利用勾股定理证明是直角三角形，即可求解； 迁移运用：将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，推出在线段上，证明是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：问题解决：如图1，连接， 是等边三角形， ， 为绕点逆时针旋转所得， ∴， 又旋转后与重合，与重合， ， 是等边三角形， ，， 由旋转性质得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ． 故答案为：4；； 类比探究：如图2， 将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，， 是等腰直角三角形． 由勾股定理得： ， ，， ， 是直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 迁移运用：如图3， 将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在线段上， ， 是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形、等边三角形、正方形的性质，直角三角形的判定，勾股定理解直角三角形等知识点，用到了类比推理、知识迁移的数学思想，综合性较强，为考试常见题型，需要侧重练习． 【费马点模型】 5．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ． 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 【分析】以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN；根据当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值． 【详解】证明：如图所示，以点C为旋转中心，将△CBP顺时针旋转60°得到△CNM，连接BN． 由旋转可得，△AMN≌△ABP， ∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN， ∴△PAM、△ABN都是等边三角形， ∴PA=PM， ∴PA+PB+PC=PM+MN+PC； 当AC=BC=1时，AB=2， 当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB， ∴AQ=AB==CQ，NQ=， 此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=+ 8．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到． ①若，则点与点之间的距离是______； ②当，，时，求的大小； (2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出的值； ②先证△ABP≌，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°， 则，， ∴为等边三角形， ； ②∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°， 又∵是等边三角形， ∴∠PAC+=60°， ∴∠BAP=， 在△ABP与中，， ∴△ABP≌（SAS）， ∴ ∴，， ， 又∵旋转，∴； （2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到， 则， 在中，， ， ， 又∵， ，， 过作⊥BC交BC的延长线于点D， 则， ， （30°所对的直角边等于斜边的一半）， ， ，为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $常考的重难点几何模型 九年级上册 初中数学 目录 九年级上册 · 旋转 模型1：“奔驰”模型…………………………………………………………… 1 模型2：费马点模型……………………………………………………………… 3 实战演练…………………………………………………………………………… 4 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“奔驰”模型 题目条件中含有等边三角形内一点与三个顶点的距离满足勾股定理，形似一个奔驰车标时，考虑用此模型 已知：如图，在等边三角形ABC中，AD=3，BD=4，CD=5 依据：旋转的性质，勾股定理的逆定理 结论：∠ADB=150° 作法：分别以DA，DB，DC中的任意一条为边沿任意方向作等边三角形，共有6种方法，如图所示 证明：（以第一个为例）如图，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AP，连接PB，PD，则△ADP是等边三角形D C A B 3 4 5 P ∵ △ABC，△ADP是等边三角形 ∴ ∠BAC=∠PAD=∠ADP=60°，AB=AC，AP=AD=PD ∵ ∠PAB=∠PAD－∠BAD，∠DAC=∠BAC－∠BAD ∴ ∠PAB=∠DAC 在△PAB和△DAC中， ∴ △PAB≌△DAC（SAS） ∴ PB=DC=5 在△BDP中，，， ∴ 敲黑板，记重点 解题方法： 旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证明全等，结合勾股定理的逆定理，得到结论. ∴ △BDP是直角三角形，且∠BDP=90° ∴ ∠ADB=∠ADP+∠BDP=150° 模型拓展 已知：在等边三角形ABC中，AD=3，BD=4，CD=5，求 解：如图，过点B作BQ⊥AD，交AD的延长线于点Q 由模型提炼结论得，∠ADB=150° ∴ ∠BDQ=180°－∠ADB=30° 在Rt△BQD中，∠BDQ=30°，BD=4D C A B 3 4 5 Q ∴ BQ=2 ∴ 在Rt△ABQ中，由勾股定理得， ∴ ∴ 【例1】如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（　　） A． B． C． D． 模型2：费马点模型 题目条件中含有求三角形内一动点到三角形的三个顶点的距离之和最小时，考虑用此模型 已知：如图，△ABC的三个内角均不大于120°，P为三角形内一点，当点P与△ABC三个顶点的连线的夹角均为120°时，PA+PB+PC的值最小 证明：如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A’BP’，连接PP’，A’C 由旋转的性质可知，PB=P’B，PA=PA’，∠PBP’=60° ∴ △BPP’是等边三角形 ∴ PB=PP’ ∴ PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≥A’C ∴ A’，P’，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段A’C的长 ∵ ∠P’PB=∠PP’B=60° ∴ ∠BPC=∠A’P’B=180°－60°=120° ∵ ∠APB=∠A’P’B ∴ ∠APB=120° ∴ ∠APC=360°－120°－120°=120° 敲黑板，记重点 如图，以△ABC的三边为边分别向外构造等边三角形BCD，等边三角形ACE，等边三角形ABF，连接AD，BE，CF，则AD，BE，CF交于点P，点P即为费马点，PA+PB+PC=AD=BE=CF. P’ A B C P A’ 【例1】如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 实 战 演 练 【“奔驰”模型 】 1．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（    ） A．点O与的距离为4 B． C．S四边形AOBO′ D． 2．如图，P为等边三角形内一点，且点这到三个顶点A、B、C的距离分别为6、8、10，则的面积为 ． 3．如图，点是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为 ． 4．问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． 类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． 迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案） 【费马点模型】 5．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 6．如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 8．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到． ①若，则点与点之间的距离是______； ②当，，时，求的大小； (2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $