7.2 万有引力定律 导学案 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第七章 万有引力与宇宙航行 第2节 万有引力定律（解析版） 学习目标 1.能运用开普勒第三定律和牛顿运动定律推导行星与太阳之间作用力的表达式。 2.体会从行星运动规律到万有引力定律的建立过程。 3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件(重点)。 4.认识万有引力定律的普遍性，并能用来解决实际问题(重难点)。 课堂学习 一 行星之间的引力 【导入】 太阳系的行星绕着太阳做的运动可以近似的当作是匀速圆周运动。 （1）物体做匀速圆周运动时，处于受力平衡状态吗？ （2）行星做匀速圆周运动的向心力由什么提供？ 【课堂探究】 行星与太阳间引力的得出过程 【例题分析】 假设某行星围绕太阳作圆周运动，下列说法中正确的是（　　）例1 A．行星受到万有引力和向心力作用 B．行星与太阳之间的一对吸引力是平衡力 C．行星与太阳之间的一对吸引力，其力的性质是不相同的 D．太阳对行星的引力是行星围绕太阳运动的向心力 二 月—地检验 【课堂探究】 如图甲所示，秋天苹果成熟后会从树上落下来；如图乙所示为月球绕着地球在公转。 (1)为什么苹果从树上落向地面而不飞向太空？ (2)从地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力，那么月球受到地球的吸引力吗？ (3)如果月球受到地球的吸引力，为什么月球不会落到地球的表面，而是环绕地球运动？ 【知识梳理】 （一）月—地检验 1.检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为 的力。 2.检验方法： (1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F= ，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月= 。 (2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹= 。 (3)=，由于r≈60R，所以=。 (4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 的规律。 【例题分析】 牛顿深入思考月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系，提出了著名的“月——地”检验。其基本思想是：假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，即这两者都遵从“平方反比”的规律，在当时地球表面的重力加速度g和地球半径R已精确测得，则下列说法符合他的研究思维的是（　　）例2 A．他需测出月球表面的重力加速度g'及月球半径R'，验证是否成立 B．他需测出月球绕地公转的向心加速度a及月地间距r，验证是否成立 C．他需测出月球表面的重力加速度g'、地球绕月球公转的向心加速度a'、月球半径R'及月地间距r，验证是否成立 D．由于当时尚未测出引力常量G，“月——地”检验没有实际意义 三 万有引力定律 【知识梳理】 （一）万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体 的 成正比、与它们之间 成反比。 2.表达式：F=G，其中G叫作引力常量。 3.引力常量 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值。 英国物理学家 通过实验推算出引力常量G的值。通常取G= N·m2/kg2。 4.对万有引力定律的理解 (1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。 (2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对 。 (3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 (4)适用范围：只适用于可以看作 的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是 两 间的距离。 思考与讨论1： （1）所有物体之间都存在万有引力，那我们为什么感受不到？ 【课堂探究】 一个质量分布均匀的小球，半径为2r，质量为M，中间挖去一个半径为r的小球，变成一个空心球壳，在距离球心O点为6r处放置一个质量为m的小球P，分布如下图所示。 （1）试求球壳对小球P的万有引力？ （2）若将小球P放置在O点，求球壳对小球P的万有引力？ 【例题分析】 某行星绕太阳运动的轨道为椭圆，如图所示。该行星经过轨道上a、b、c、d四个位置时，与太阳之间的万有引力最大对应的位置是（　　）例3 A．a B．b C．c D．d 2024年5月，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量大约是月球质量的81倍，在嫦娥六号探测器经过地月之间某一位置时，月球对它的引力大小是地球对它的引力大小的9倍，则该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（　　）变3-1 A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　）例4 A．F B． C． D． 有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　）例5 A． B． C． D． 课堂总结 课后训练 夯实基础 1．关于万有引力和万有引力定律的理解，正确的是（    ） A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且约等于 2．关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（　　） A．卡文迪许推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系 B．“月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的60倍 C．“月—地检验”表明地面上物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律 D．引力常量G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的 3．如图中四幅图片涉及物理学史上的四个重大发现，下列说法正确的是（　　） A．甲图，牛顿发现了万有引力定律并通过引力扭秤实验测出了万有引力常量 B．乙图，伽利略根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因 C．丙图，牛顿通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比 D．丁图，第谷通过大量天文观测数据总结了行星运行的规律 4．某行星A的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在行星A的表面与在地球表面受到的引力的比值约为（　　） A．5 B．2.5 C．0.4 D．0.2 5.将地球视为半径为R的均匀球体，物体受地球引力大小F随它距地面高度h变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 6.已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 能力提升 7．（多选）已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零。现在质量为，半径为，球心在点的地球内部挖一个半径为，球心在的球形洞。现将一质量为的小球从洞内点由静止释放。其中地球可视为质量均匀分布。关于小球的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球做变加速运动，最终撞到点 B．小球在点时的加速度方向为 C．小球在点时的加速度大小为 D．小球在点时所受万有引力的大小为 8.科幻作家刘慈欣在作品《地球大炮》中写道：阿根廷是地球上与中国相距最远的一个国家，为了两国更好地交流，只需从中国挖一条通过地心贯穿地球的隧道就行了。“地球隧道”这一奇妙的幻想受到广泛关注。已知在质量分布均匀的球壳内部，该球壳对任意一点处的质点的万有引力合力为零。为了方便，地球可以视作一个质量分布均匀的球体，且不考虑地球自转。若质量为m的物体从地球表面由静止掉入洞中，且假设在洞中运动时受到的摩擦力忽略不计，关于该物体的运动下列说法正确的是（    ） A．小球在隧道中作匀加速直线运动 B．小球在隧道中运动到球心位置后返回 C．小球能够运动到隧道另一端的地表，且运动到隧道另一端时速度最大 D．小球运动到球心位置时加速度最小 扩展探究 9.有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到的距离为x，引力常量为G，求： (1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值； (2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 万有引力与宇宙航行 第2节 万有引力定律（解析版） 学习目标 1.能运用开普勒第三定律和牛顿运动定律推导行星与太阳之间作用力的表达式。 2.体会从行星运动规律到万有引力定律的建立过程。 3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件(重点)。 4.认识万有引力定律的普遍性，并能用来解决实际问题(重难点)。 课堂学习 一 行星之间的引力 【导入】 太阳系的行星绕着太阳做的运动可以近似的当作是匀速圆周运动。 （1）物体做匀速圆周运动时，处于受力平衡状态吗？ 日心说更接近实际的情况。 （2）行星做匀速圆周运动的向心力由什么提供？ 太阳与行星之间的引力。 【课堂探究】 行星与太阳间引力的得出过程 【例题分析】 假设某行星围绕太阳作圆周运动，下列说法中正确的是（　　）例1 A．行星受到万有引力和向心力作用 B．行星与太阳之间的一对吸引力是平衡力 C．行星与太阳之间的一对吸引力，其力的性质是不相同的 D．太阳对行星的引力是行星围绕太阳运动的向心力 【答案】D 【详解】AD．某行星围绕太阳做圆周运动，行星受到太阳的万有引力作用，太阳对行星的引力提供向心力，故A错误，D正确； BC．行星与太阳之间的一对吸引力是相互作用力，其力的性质是相同的，故BC错误。 故选D。 二 月—地检验 【课堂探究】 如图甲所示，秋天苹果成熟后会从树上落下来；如图乙所示为月球绕着地球在公转。 (1)为什么苹果从树上落向地面而不飞向太空？ 苹果受到地球的吸引力而落向地面。 (2)从地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力，那么月球受到地球的吸引力吗？ 月球受到地球的吸引力。 (3)如果月球受到地球的吸引力，为什么月球不会落到地球的表面，而是环绕地球运动？ 月球受到地球的吸引力，提供月球绕地球做圆周运动的向心力。 【知识梳理】 （一）月—地检验 1.检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一性质的力。 2.检验方法： (1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F=G，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月=G。 (2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹=G。 (3)=，由于r≈60R，所以=。 (4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。 【例题分析】 牛顿深入思考月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系，提出了著名的“月——地”检验。其基本思想是：假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，即这两者都遵从“平方反比”的规律，在当时地球表面的重力加速度g和地球半径R已精确测得，则下列说法符合他的研究思维的是（　　）例2 A．他需测出月球表面的重力加速度g'及月球半径R'，验证是否成立 B．他需测出月球绕地公转的向心加速度a及月地间距r，验证是否成立 C．他需测出月球表面的重力加速度g'、地球绕月球公转的向心加速度a'、月球半径R'及月地间距r，验证是否成立 D．由于当时尚未测出引力常量G，“月——地”检验没有实际意义 【答案】B 【详解】根据题意可知，假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，即这两者都遵从“平方反比”的规律，设月球的质量为m，地球质量M，月-地距离r、则月球受到的引力 结合牛顿第二定律可知，月球做圆周运动的向心加速度 维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，则地球表面物体的加速度： 比较可得 即他需测出月球绕地公转的向心加速度a及月地间距r，验证 是否成立； 故选B。 三 万有引力定律 【知识梳理】 （一）万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F=G，其中G叫作引力常量。 3.引力常量 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值。 英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。 4.对万有引力定律的理解 (1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。 (2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。 (3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 (4)适用范围：只适用于可以看作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两球心间的距离。 思考与讨论1： （1）所有物体之间都存在万有引力，那我们为什么感受不到？ 因为物体之间的万有引力太小了 【课堂探究】 一个质量分布均匀的小球，半径为2r，质量为M，中间挖去一个半径为r的小球，变成一个空心球壳，在距离球心O点为6r处放置一个质量为m的小球P，分布如下图所示。 （1）试求球壳对小球P的万有引力？ 使用割补法进行求解： 在挖去小球之前，完整的小球对小球P的万有引力； 挖去的小球部分质量为，对小球P的万有引力； 故剩余部分对小球P的万有引力。 （2）若将小球P放置在O点，求球壳对小球P的万有引力？ 万有引力为0，匀质球壳对于内部的物体万有引力为0。 【例题分析】 某行星绕太阳运动的轨道为椭圆，如图所示。该行星经过轨道上a、b、c、d四个位置时，与太阳之间的万有引力最大对应的位置是（　　）例3 A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【详解】根据万有引力表达式可得太阳之间对行星的引力为 图中d位置离太阳最近，所以行星在d位置受到太阳的万有引力最大。 故选D。 2024年5月，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量大约是月球质量的81倍，在嫦娥六号探测器经过地月之间某一位置时，月球对它的引力大小是地球对它的引力大小的9倍，则该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（　　）变3-1 A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 【答案】C 【详解】设嫦娥六号探测器质量为m，月球质量为m月，地球质量为m地，该位置到月球中心和地球中心的距离分别为r1、r2，由万有引力定律可得，月球对探月卫星的引力，地球对探月卫星的引力 由以上两式可得 故选C。 如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　）例4 A．F B． C． D． 【答案】B 【详解】利用分割法将甲环分成三个圆环，则关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力必为0，根据题意得剩余圆环对球的万有引力大小为F。再利用分割法将乙环分成两个圆环，则每个圆环对球的万有引力大小均为F，由数学知识易得二者的合力为，故A、C、D错误，B正确； 故选B。 有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　）例5 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用“割补法”可知，剩余部分对m1的万有引力为， 联立可得，故选C。 课堂总结 课后训练 夯实基础 1．关于万有引力和万有引力定律的理解，正确的是（    ） A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且约等于 【答案】C 【详解】A．任意两个物体间都存在相互作用的引力，无论是否可视为质点，A错误； B．对于质量分布均匀的球体，也可用公式 计算引力，其中为球心间距，B错误； C．由公式 可知，引力大小与距离的平方成反比，因此减小，增大，C正确； D．万有引力常量的大小首先由卡文迪什通过扭秤实验测得，牛顿提出万有引力定律但未测定其值，D错误。 故选C。 2．关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（　　） A．卡文迪许推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系 B．“月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的60倍 C．“月—地检验”表明地面上物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律 D．引力常量G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的 【答案】C 【详解】A．万有引力定律中引力与距离平方成反比的关系是由牛顿根据开普勒定律和运动学公式推出的，卡文迪许的主要贡献是测量了引力常量，故A错误； B．“月—地检验”是比较地球对地面物体的引力与地球对月球的引力，通过加速度比例验证平方反比律（地面重力加速度约为月球轨道处向心加速度的3600倍），而非与月球对物体的引力比较，故B错误； C．“月—地检验”通过计算月球绕地球运动的向心加速度与地面重力加速度的比例，证实两者均遵从万有引力定律（即与距离平方成反比），故C正确； D．引力常量是由卡文迪许通过扭秤实验测得的，故D错误。 故选C。 3．如图中四幅图片涉及物理学史上的四个重大发现，下列说法正确的是（　　） A．甲图，牛顿发现了万有引力定律并通过引力扭秤实验测出了万有引力常量 B．乙图，伽利略根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因 C．丙图，牛顿通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比 D．丁图，第谷通过大量天文观测数据总结了行星运行的规律 【答案】B 【详解】A．甲图，牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什通过引力扭秤实验测出了万有引力常量，故A错误； B．乙图，伽利略根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因，故B正确； C．丙图，伽利略通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比，故C错误； D．丁图，开普勒通过大量天文观测数据总结了行星运行的规律，故D错误。 故选B。 4．某行星A的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在行星A的表面与在地球表面受到的引力的比值约为（　　） A．5 B．2.5 C．0.4 D．0.2 【答案】D 【详解】设物体质量为，则在行星A表面受到的引力为 在地球表面受到的引力为 由题意，行星A的质量，半径 代入数据可得同一物体在行星A的表面与在地球表面受到的引力的比值约为 故选D。 5.将地球视为半径为R的均匀球体，物体受地球引力大小F随它距地面高度h变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据万有引力表达式 根据题图可知 当时， 故选D。 6.已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据万有引力定律，距离地表某一深度h时，有 联立可得 距离地表 则该位置距离地心距离为： 故选A。 能力提升 7．（多选）已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零。现在质量为，半径为，球心在点的地球内部挖一个半径为，球心在的球形洞。现将一质量为的小球从洞内点由静止释放。其中地球可视为质量均匀分布。关于小球的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球做变加速运动，最终撞到点 B．小球在点时的加速度方向为 C．小球在点时的加速度大小为 D．小球在点时所受万有引力的大小为 【答案】BC 【详解】BCD．根据割补法可知，小球所受万有引力等于大球对其万有引力与挖去部分对其万有引力的矢量差值，如图所示，， 又质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，则大球对小球的万有引力等于以为半径的球体对其的引力，挖去部分对其的万有引力等于以为半径的球体对其的引力，设地球密度为，则 方向为 方向为 可得 则球对其万有引力与挖去部分对其万有引力的矢量差值，即剩余部分对其产生的引力方向必平行于，有 可得小球在点时所受万有引力的合力 可知小球在点时的加速度大小为，加速度不变。 故BC正确，D错误； A．由此可知，将小球由静止释放后，其沿与平行的方向做匀加速直线运动，直到与洞壁相撞，故A错误。 故选BC。 8.科幻作家刘慈欣在作品《地球大炮》中写道：阿根廷是地球上与中国相距最远的一个国家，为了两国更好地交流，只需从中国挖一条通过地心贯穿地球的隧道就行了。“地球隧道”这一奇妙的幻想受到广泛关注。已知在质量分布均匀的球壳内部，该球壳对任意一点处的质点的万有引力合力为零。为了方便，地球可以视作一个质量分布均匀的球体，且不考虑地球自转。若质量为m的物体从地球表面由静止掉入洞中，且假设在洞中运动时受到的摩擦力忽略不计，关于该物体的运动下列说法正确的是（    ） A．小球在隧道中作匀加速直线运动 B．小球在隧道中运动到球心位置后返回 C．小球能够运动到隧道另一端的地表，且运动到隧道另一端时速度最大 D．小球运动到球心位置时加速度最小 【答案】D 【详解】A．设地球的质量为M，半径为R，密度为ρ，当物体m运动到距离地心为r（r≤R）的位置时，根据题意，它只受到半径为r的球体对它的万有引力，外层球壳对它的引力合力为零。 半径为r的球体质量为 地球总质量为 联立可得 此时，物体m受到的万有引力为 该力指向地心，是回复力。根据牛顿第二定律，物体的加速度 因为加速度a与位移r成正比，不是一个恒定值，所以小球做的不是匀加速直线运动，而是简谐运动。故A错误； B．小球从地表下落，向地心运动的过程中，引力做正功，动能增加，速度增大。运动到球心时，所受合力为零，加速度为零，但速度达到最大值。由于惯性，小球会继续向隧道的另一端运动。故B错误； C．小球的运动是简谐运动，根据对称性从一端地表（最大位移处）由静止释放，会运动到另一端地表（另一侧最大位移处），此时速度减为零。速度最大的位置是在球心处。故C错误； D．由加速度表达式 可知，加速度的大小与到球心的距离r成正比。当小球运动到球心位置时，r=0，加速度a=0，为最小值。故D正确。 故选D。 扩展探究 9.有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到的距离为x，引力常量为G，求： (1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值； (2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设地球的质量为，则在地面附近时 设P点到地心的距离为r，则有 其中，， 代入可得 （2）设，则 结合上述分析可知，P点的重力加速度为 列车运动到P点加速度满足 解得 学科网（北京）股份有限公司 $