专题03 三元一次方程组的解法与应用六大题型（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

专题03 三元一次方程组的解法与应用 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 三元一次方程（组）的定义 1 题型二 三元一次方程组的解 2 题型三 判断三元一次方程组消元的步骤 2 题型四 解三元一次方程组 4 题型五 利用消元法求值 5 题型六 三元一次方程组的应用 8 B综合攻坚 能力跃升 10 题型一 三元一次方程（组）的定义 1．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型二 三元一次方程组的解 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 7．（24-25七年级下·河南周口·期中）三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型三 判断三元一次方程组消元的步骤 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 11．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 12．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 题型四 解三元一次方程组 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）解下列方程组： (1) (2) 14．解下列方程组： (1) (2) 15．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）解方程组 (1)； (2)； (3) ； (4) 16．（24-25七年级上·湖南衡阳·月考）解下列方程组： (1)； (2)． 题型五 利用消元法求值 17．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 18．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当时，．求的值． 20．（24-25七年级下·四川眉山·月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 题型六 三元一次方程组的应用 21．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 22．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 23．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 24．（24-25七年级下·吉林长春·月考）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24七年级下·广西桂林·期末）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 3．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 6．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 7．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 9．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 10．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是________． 11．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 12．（24-25九年级下·福建·自主招生）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 14．（25-26七年级上·广东东莞·期末）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 18．（25-26七年级下·全国·周测）如果方程组的解使成立，求的值． 19．（24-25七年级上·重庆·月考）（1）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算的结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请借助方程解释其中原因． （2）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析，求出甲同学心中所想的数是多少？ 20．已知点O在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，过点O分别作两条射线，且，求的度数； (3)如图3，若，在的内部作一条射线，使得，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三元一次方程组的解法与应用 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 三元一次方程（组）的定义 1 题型二 三元一次方程组的解 3 题型三 判断三元一次方程组消元的步骤 5 题型四 解三元一次方程组 9 题型五 利用消元法求值 14 题型六 三元一次方程组的应用 19 B综合攻坚 能力跃升 22 题型一 三元一次方程（组）的定义 1．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【规范解答】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【规范解答】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的方程组，叫做三元一次方程组．根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证． 【规范解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组． A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确； B、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故B选项错误； C、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故C选项错误； D、不是整式方程，故D选项错误； 故选：A． 题型二 三元一次方程组的解 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 【规范解答】解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 6．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【思路引导】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【规范解答】解：， 由得， ∴， 故选：． 7．（24-25七年级下·河南周口·期中）三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题通过代入消元法求解三元一次方程组，首先利用第一个方程将y表示为x的代数式，代入第二个方程求出x，再回代求y，最后利用第三个方程求z，本题考查了解三元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解：方程组为， 将第一个方程代入第二个方程：得， 解得， 将代入，得， 将代入第三个方程， 得：， ∴， ∴， 因此，方程组的解为， 故选：B 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法正确消元是解此题的关键． 得出，、、，即可求出z、y、x的值． 【规范解答】解：， 得：， ， 得：， 得：， 得：， 所以原方程组的解为：． 故选：D． 题型三 判断三元一次方程组消元的步骤 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 【规范解答】解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 10．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 11．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【思路引导】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【规范解答】解： 方程可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 12．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【思路引导】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【规范解答】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 题型四 解三元一次方程组 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组和解二元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组和能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种． （1）将原方程组整理为，再运用加减消元法求解即可； （2）得④，再与②组成二元一次方程组，运用加减消元法求出，代入①求出的值即可． 【规范解答】（1）解：将方程组整理，得， ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解是； （2）解：， ，得④ 由②和④组成一个二元一次方程组 解得 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解是． 14．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解三元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）解： ，得 ．④ ，得 ．⑤ ，得 ， 解得． 把代入④，得 ， 解得． 把代入③，得 ， 解得． 所以原方程组的解为 （2） ，得 ．④ ，得 ， 即．⑤ ④与⑤组成方程组，得 解得 将代入①，得 ， 解得． 所以原方程组的解为 15．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组以及解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （4）根据加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解：， 把②代入①，得，解得：， 把代入②，得， 所以方程组的解是． （2）解：方程组可整理为， 得：，解得：， 把代入②，得， 所以方程组的解是． （3）解：， 得：，即③， 得：， 得：， 则方程组的解为． （4）解：， 得：④， 得：⑤， 得：，即， 把代入④得：， 把，代入③得：， 则方程组的解为 16．（24-25七年级上·湖南衡阳·月考）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组和二元一次方程组，解题的关键是掌握消元的思想． （1）由①得，用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法将三元一次方程组化为二元一次方程组，再化为一元一次方程求解． 【规范解答】（1）解：对于方程组 由①得③ 把③代入②得 解得． 把代入③得， 故原方程组的解为； （2）解： ，，化简得④ ，得，⑤ ，得，解得 把代入④，得 把代入②，得 所以原方程组的解是． 题型五 利用消元法求值 17．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 18．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 【答案】（1）方程组的解为；（2）；（3）采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用整体代入法求解即可； （2）①－②得：，然后两边都乘以即可求解； （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 【规范解答】解：（1）， 把②代入①得： ∴ 把代入②得： ∴ ∴方程组的解为． （2）， ①－②得：③ ，得 ． （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元： 则：， 得：③， ③得： 采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当时，．求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 【规范解答】解：由题意，得 ，得 ，得 联立④⑤，得 解得 把代入①，得 ∴ ∴． 20．（24-25七年级下·四川眉山·月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【答案】（1）18；（3）3；（3）5分 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）由整体思想求值即可； （2）由整体思想求值即可； （3）先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【规范解答】解：（1）， 得：， 得：， ∴的值为18； （2）， 得，， ∴， 得，， ∴； （3）设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， 由于总分不变，得：， 由①得： ， 将②代入③得：， 解得：， 则原来一等奖比二等奖平均分多6分， 又调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分， 则调整后一等奖比二等奖平均分数多（分）． 题型六 三元一次方程组的应用 21．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 22．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)接收方收到的密码是，，． (2)发送方发出的密码是，，． 【思路引导】（1）根据发送方与接收方密码的约定关系，计算出，，即可； （2）根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于，，的方程组，通过解方程组求出发送方发出的密码． 本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， ， 答：接收方收到的密码是，，． （2）由题意得， 解得， 答：发送方发出的密码是，，． 23．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 【规范解答】 解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 24．（24-25七年级下·吉林长春·月考）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18；（2）450元 【思路引导】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． （1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元，根据题意列得方程组，然后整体求值即可． 【规范解答】解：（1）②+①得，③， 得，， 所以，的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元， 由题可得， 得：， 所以，， 答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【思路引导】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 根据加减消元法求解即可． 【规范解答】解：， 由，得， 解得：． 把代入，得， 解得：． 把，代入，得， 解得：． 故原方程组的解为． 故选：A． 2．（23-24七年级下·广西桂林·期末）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【规范解答】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 3．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【思路引导】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【规范解答】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【规范解答】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【考点剖析】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【思路引导】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【规范解答】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 6．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【答案】B 【思路引导】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于，的方程，解题的基本思想是消元． 题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据第一个天平得到：；根据第二个天平得到：，把这两个式子组成方程组，解这个关于，的方程组即可． 【规范解答】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是． 根据题意得到：， 解得：， 第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球． 故选：B． 7．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【规范解答】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 8．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 【答案】1 【思路引导】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【规范解答】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 9．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 【答案】/ 【思路引导】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【规范解答】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 10．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是________． 【答案】1，1，2或0，3，1 【思路引导】本题考查了三元一次方程的应用，根据甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，进行列式，再结合皆为非负整数，即可作答． 【规范解答】解：设甲、乙、丙答对的题数分别是， 依题意，得， 整理得， ∵皆为非负整数， ∴或， 故答案为：1，1，2或0，3，1 11．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【规范解答】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·福建·自主招生）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 【答案】100 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【规范解答】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 【答案】36 【思路引导】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【规范解答】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 14．（25-26七年级上·广东东莞·期末）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 【答案】23 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为，根据总天数和行程距离相等建立方程，根据，均为正整数，可求出和，再代入总天数方程求即可． 【规范解答】解：设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为， 由题意，向上游距离等于返回距离，且返回最后一天行进了， 因此有， 化简得， ∴， ∴是25的倍数， 取，则，此时，符合题意， ∴的通解为，（k为整数）， 当或时，x、y不满足为正整数且， ∴， ∴，， 又总天数满足， ∴ 故答案为：23． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【规范解答】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【规范解答】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【答案】 【思路引导】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数． 【规范解答】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为． 根据题意，列出方程组：， 化简得， 将②代入①，得：，解得：； 把代入③，得：，解得； 把，代入②，得：，解得； 原三位数为； 答：原三位数为． 18．（25-26七年级下·全国·周测）如果方程组的解使成立，求的值． 【答案】 【思路引导】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确计算是解题的关键． 求出方程组的解得到的值，代入已知等式计算即可求出的值． 【规范解答】解：解方程组 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为： ，解得． 19．（24-25七年级上·重庆·月考）（1）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算的结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请借助方程解释其中原因． （2）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析，求出甲同学心中所想的数是多少？ 【答案】（1）原因见解析；（2）甲同学心中所想的数是3 【思路引导】本题考查了一元一次方程与多元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系列出方程（组），并通过化简、消元求解． （1）设点数和花色代号为未知数，根据运算流程列方程，利用“ 的倍数”特征确定未知数取值； （2）设五人所想的数为未知数，根据环形相邻关系列方程组，通过逐步消元求出甲的值． 【规范解答】解：设抽出纸牌的点数为，且x为整数），花色代号为，分别对应黑桃、梅花、红桃、方块）． 根据运算规则列方程：， 化简方程：，即， 由，得，因为的倍数， 故，则，此时． 因对应梅花，故抽出的纸牌是梅花8． （2）解题步骤： 解：设甲、乙、丙、丁、戊心中所想的数分别为a、b、c、d、e． 根据“每位同学报出左右相邻同学的数的和”列方程组： 由②得，由④得，由①得， 由③得，代入⑤：，即， ∴，即甲同学心中所想的数是3． 20．已知点O在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，过点O分别作两条射线，且，求的度数； (3)如图3，若，在的内部作一条射线，使得，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【思路引导】本题主要考查角平分线的定义、角的运算等知识点，弄清各角之间的关系成为解题关键． （1）由角平分线的定义可得，即，进而求得，易得，最后根据平角的性质即可解答； （2）由（1）可得：，即①；由，即②，③，然后三式联立求解即可； （3）先根据题意画出图形，设，则，设；由可得，进而得到，即，解得：；再根据平角的性质得到，进而完成解答． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得： ， ∴①， ∵， ∴②，③， 联立①②③可得：． （3）解：，证明如下： ∵， ∴设，则， 设， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $