2026届高考物理二轮复习讲义 培优专题2 电场中的发散与聚焦题

高中物理培优教案 高考培优专题2 电场中的发散与聚焦 学习目标 探究匀强电场中聚焦与发散现象的形成条件，助力深化对类平抛运动规律的理解与实际应用。 【培优专题解读】 一、平行入射、同点出射——匀强电场中的聚焦现象 匀强电场中的聚焦现象，是指大量带电粒子以特定方式平行射入匀强电场后，最终能从电场中同一点射出的运动现象。根据粒子入射初速度的特征，可分为平行等速入射和平行不等速入射两种情况展开分析。 1. 平行、等速入射的聚焦条件 大量质量为m、带电荷量为+q的粒子，以相同的初速度平行于x轴射入匀强电场，若要使所有粒子最终都经过坐标原点O，可结合类平抛运动的分运动规律推导具体条件，如图1所示为平行等速粒子射入匀强电场的聚焦运动示意图。 粒子在电场中仅受电场力作用，加速度a=，其运动可分解为相互垂直的两个分运动： x轴方向：不受外力作用，做匀速直线运动，位移满足x=t； y轴方向：初速度为0，在电场力作用下做初速度为0的匀加速直线运动，位移满足y=a。 联立解得： y= 该式为抛物线方程，这意味着：当匀强电场的边界为该抛物线时，平行等速射入的带正电粒子，最终都会从坐标原点射出，实现电场中的聚焦效果。 2. 平行、不等速入射的聚焦条件 沿y轴负方向的匀强电场以y轴为左边界，大量质量为m、带电荷量为+q的粒子，从y轴上不同位置沿x轴正方向射入电场，且粒子的初速度大小各不相同。若要让这些粒子聚焦于电场中同一点A（l，0）（为定值），同样利用类平抛运动的分运动规律分析，如图2所示为平行不等速粒子射入匀强电场的聚焦运动示意图。 粒子的运动分解为相互垂直的两个分运动： y轴方向：做匀加速直线运动，位移满足y=a（其中加速度a=）； x轴方向：做匀速直线运动，位移满足l=t。 整理可得：y= 这便是平行不等速粒子的聚焦条件。只要粒子的入射位置纵坐标和初速度满足该关系式，无论初速度大小如何，粒子最终都会汇聚于点A（l，0），实现匀强电场中的聚焦。 二、同点入射、平行出射——匀强电场中的发散现象 匀强电场中的发散现象，是指大量带电粒子从电场中同一点以特定方式射入后，最终能以相互平行的速度从电场中射出的运动现象。根据粒子入射的速率和方向特点，可分为不同向、等速率入射和同向、不等速率入射两种情况分析。 1. 不同向、等速率入射的发散条件 在坐标原点处设置粒子源，该粒子源以相同的速率向斜上方各个方向发射质量为、带电荷量为+q的粒子，粒子在匀强电场中受恒定电场力作用，做类斜抛运动。若要让粒子运动到轨迹最高点（速度方向与x轴平行）时，恰好从匀强电场中射出，实现“同点入射、平行出射”的发散效果，如图3所示为不同向等速率粒子射入匀强电场的发散运动示意图，对粒子的分运动分析如下： 设粒子射出电场时的坐标为（x，y），入射速度与轴夹角为θ，粒子加速度a=，将粒子的运动分解为两个垂直的分运动： x轴方向：不受外力，做匀速直线运动，位移满足x=cosθ·t； y轴方向：受电场力作用做匀减速直线运动，运动到最高点时竖直分速度为0， 速度满足sinθ·=at， 解得t=，x= ① 竖直位移满足2ay，解得y= ② ①②联立消去θ可得，+=1 此为椭圆方程，该椭圆的中心为（0，），半长轴为，半短轴为。这表明：当匀强电场的边界为该椭圆时，从原点以相同速率、不同方向射入的粒子，都会在轨迹最高点以平行于x轴的速度射出电场，实现匀强电场中的发散效果。 2. 同向、不等速率入射的发散条件 匀强电场的边界为一条与x轴夹角为α的直线，粒子源从该边界上某点发射质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的初速度方向均与x轴夹角为β，且速率大小各不相同。若要让粒子从电场边界飞出时速度恰好平行于x轴，可利用类平抛运动的推论并结合逆向思维推导条件，如图4所示为同向不等速率粒子射入匀强电场的发散运动示意图。 将粒子的类斜抛运动逆向等效看成类平抛运动，可得核心关系式：tanβ=2tanα。 该式是粒子从电场边界飞出时速度平行于x轴的直接条件。即使粒子初速度方向不满足该关系式，从同一直线边界射出的粒子，其速度方向依然会保持相互平行（仅不与x轴平行）。 进一步推导可得各角度的通用关系：tanβ=2tanα+tanθ。（θ为粒子射出时速度与水平方向的夹角）。这一关系表明：粒子源在直线边界某点朝确定方向（与x轴夹角θ）射入速率不同的粒子，只要粒子能从该直线边界飞出电场，所有粒子的射出方向均保持一致，实现“同点入射、平行出射”的发散现象。 三、总结与反思 力学与电磁学虽是物理学的不同分支，但在带电粒子在匀强电场中的运动这类问题中，二者的运动规律在数学表达和分析方法上高度相通。掌握匀强电场中聚焦与发散现象的规律，不仅能帮助我们更灵活地运用类平抛运动的相关知识，解决复杂的带电粒子运动问题，还能让我们深刻体会到物理学科中“规律相通、方法统一”的核心特点。 在解决此类带电粒子在匀强电场中的运动问题时，只要抓住“运动分解”这一关键方法，先通过对粒子的受力分析确定其加速度，再根据题目要求的聚焦、发散条件列写分运动方程，通过数学推导消去未知量，就能顺利推导出相应的电场边界条件或粒子入射条件，实现对问题的精准求解。 ​ 【典例剖析】 【典例】现有一种新型的等离子体基离子注入方法——离子聚焦电场增强辉光等离子体注入法，其工作原理为：首先将注入硫原子置入真空加热腔体中并离子化（此装置未标出），一束硫离子通过馈送粒子控制系统和馈送管道，从M板上均匀分布的小孔飘入，初速度可以忽略不计，经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿水平方向进入某电场空腔发生偏转，最终所有离子都达到某一点，完成离子注入。硫离子质量为m，电量为，不计粒子重力和粒子间相互作用。 (1) 求加速电压大小。 (2)以图中电场中心为坐标原点O建立坐标系，在xOy平面内的梯度电场，电场强度 E=by（b>0且已知）方向，如图所示，该电场区域的宽度为d。在（<d）范围内，离子束沿x轴正方向射入电场。离子速度大小均为v，穿过电场过程中，离子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强电场。 ①求从y=处射入电场的离子，在电场中运动的竖直方向的侧移量Δy及速度偏转角的正切值； ②研究发现，所有离子通过电场后，将聚焦到x轴上x=f处，求f的表达式。 【解析】（1）在电场中，根据动能定理，q=m， 解得= （2）①从y=处射入电场的离子，在电场中做类平抛运动，水平方向d=vt， 竖直方向 △y=， =at，qE=ma，E=b 联立解得 △y= 速度偏转角的正切值 tanθ== ②由①中平抛运动速度偏转角的正切值可知，当从y处射入电场的离子，有 tanθ=== 可得 f=， 可知f为定值，所有离子通过电场后，将聚焦到x轴上同一点。 课后巩固训练 1.如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为y=0.5，虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E=1N/C，第三象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在抛物线的下方的区域有大量质量、电荷量的粒子以相同的初速度平行于x轴射入电场，最后均经过O点进入磁场，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（       ） ． A.=1m/s B．粒子在磁场中运动的最长时间为s C．所有的粒子出磁场的位置在y轴上的坐标都为-1m D．粒子在磁场中运动的最短时间为s 答案 ACD 【解析】 设从坐标为（x，y）处射入的粒子，在电场中做类平抛运动，x=t，y=， qE=ma，y=0.5联立解得=1m/s，A正确； 粒子从O点进入磁场时，水平速度==1m/s，竖直速度=at=t==x 速度方向与x轴负方向夹角为 tanθ==x 则当x越大，θ越大，在磁场中运动时间越短； 当x=0时，θ=0.，在磁场中运动时间最长，最长时间为=T/2==s。 当x=1m时，θ=45°.，在磁场中运动时间最长短，最短时间为=T/4==s。 B错误D正确。 粒子进入磁场时速度 v==m/s 粒子在磁场中运动轨迹半径 r===m 粒子从y轴射出时出射点距离O点的距离d=2rcosθ，而cosθ= 所以d=1m，即所有的粒子出磁场的位置在y轴上的坐标都为-1m，C正确。 2. 医学检查中磁共振成像简化模型如图所示，其中一个重要的部件“四极铁”，能够提供梯度磁场，从而控制电子束在运动过程中汇聚或发散，图甲为该磁场的磁感线分布情况。一束电子从M板上均匀分布的小孔飘入（初速度可以忽略不计），经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”空腔。电子质量为m，电量为e，不计粒子重力和粒子间相互作用。 （1）求加速电压大小，判断图甲中a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近； （2）以图甲中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在xOy平面内的梯度磁场如图乙所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，电子束沿x轴正方向射入磁场，磁感应强度B=by（b>0且已知，以垂直xOy平面向里为磁场正方向）。电子速度大小均为v，穿过磁场过程中，电子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强磁场。 ①求从y=处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径及速度偏转角的正弦值sinθ； ②研究发现，所有电子通过磁场后，将聚焦到x轴上x=f处。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过（0，y）点，且速度方向的偏转角很小，sinθ≈tanθ，求f的表达式； ③在x=处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”（中心线位于x=处），使②问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，若该“四极铁”的磁感应强度B=b'y，求b’:b； ④如图丙，仪器实际工作中，加速电压U会在附近小幅波动，导致电子聚焦点发生变化。若要求聚焦点坐标偏差值不超过△f，求电压波动幅度的最大值。 【解析】（1）在电场中，由动能定理 e=m， 解得=。 由左手定则可知a、c电子进入磁场后会彼此靠近。 （2） ①设y=处磁感应强度大小为，则有=b， 洛伦兹力提供向心力，ev=m 解得电子的转动半径 = ， 速度方向的偏转角度正弦值sin== ②从y处进入磁场中的电子，速度方向的偏转角度正弦值sin== 且 B=by 电子射出后做匀速直线运动，则 tanθ=y/f 解得 f= 可知，从不同位置y以相同速度v射入磁场的电子，到达x轴的位置f相同且与电子入射位置y无关；因此从不同位置入射的电子必将经过x轴的同一点。 ③从y处进入磁场中的电子，将从y’=处进入x=f/2处的四极铁磁场，电子通过两个磁场区域，速度方向变成沿x轴正方向，可得从x=f/2处射入磁场后，速度方向的偏转角 θ’=θ 又 sinθ’= 因洛伦兹力不做功，电子通过磁场区域时速度大小不变，则两处磁场的磁感应强度大小相等，方向相反，即B’=-B 则 b’’=-by，解得b’:b=-2:1 ④根据 f=， =，联立解得 f== f= 根据数学关系，若要求聚焦点坐标偏差值不超过△f，只需满足 - ≤△f 解得 △f - 即电压波动幅度 的最大值为△f - 3. 如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限虚线边界上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场。P（，）为虚线边界上一点，在0<y≤范围内，大量质量为m、电荷量为+q带电粒子以相同的初速度v0水平射入电场，均经过O点。若除电场区域外其余区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。所有粒子经过磁场偏转后都汇聚于y轴上的同一点Q（图中未标出）。忽略粒子的重力及相互间的作用。求： （1）匀强电场的电场强度和匀强电场边界的曲线方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系）； （2）求Q点坐标； （3）若磁感应强度大小调整为kB0，其他条件不变，某粒子经磁场偏转后能再次水平射入电场，求该粒子第一次进入电场时的纵坐标，并求出k的取值范围。（设虚线边界无限长，且满足（1）中的曲线方程）    【解析】（1）从P（，）处射入电场的粒子，在电场中做类平抛运动， =t，=， qE=ma， 联立解得E= ； 对于任意从（x，y）点入射的粒子，也在电场中做类平抛运动， x=t，=， qE=ma， 联立解得y=，且x≥0 （2）设粒子从O点射入时，速度v与x轴负方向的夹角为θ，可得粒子在磁场中的速度大小v= 设粒子轴线磁场中运动轨迹半径为r，洛伦兹力提供向心力，qvB=m 解得 r= 根据几何关系可得，粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长为d=2rcosθ 解得 d==2L 所以d为定值，即所有粒子从磁场中同一点射出，坐标为Q（0，-2L） （3）洛伦兹力提供向心力，qv（k）=m 解得 r= 根据几何关系可得，粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦 由于v= 解得 r= 设再次水平射入电场的位置为（x’、y’），如图。由几何关系可得 x’=rsinθ，y’=r-rcosθ 将坐标（x’、y’）代入曲线方程y= 化简得（k-1）cos2θ-kcosθ+1=0 解得 cosθ=1 或cosθ= ①当cosθ=1时，θ=0，即第一次射入点y=0，在入射范围0<y≤外，舍去。 ②当cosθ=时，第一次粒子在电场中做类平抛运动，=tanθ y=, a= 联立解得 y=L。 需要满足0<y≤，解得 2<k≤（+1） 4. （2025浙江三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为=、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为=的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为+、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为=，匀强电场方向竖直向下，场强大小为=。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求： (1) 粒子由P点射出时水平分速度vx的大小； (2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程； (3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比； (4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。 【解析】（1）设从P点射出的粒子，速度大小为v，方向与y轴正方向成θ角。 粒子均能通过坐标原点O，d=2rsinθ， 解得r=， 粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB1=m， 解得v=， 又=，=vsinθ 联立解得 =3 即粒子由P点射出时水平分速度vx的大小为3 （2）电场方向沿y轴负方向，粒子经过O点后分布在与x轴正方向成60°的范围内。 电场区域的边界为从O点进入电场的粒子经电场偏转后速度平行于x轴正方向时的出点的集合。令出点的坐标为（x、y），有 x=vxt，y=，ma=q，=， 联立解得 y= （3）若粒子恰能水平进入探测器，即竖直方向速度减小到零的位移等于探测器的高度， y==3L 其中ma=q，=， 联立解得=3 即当粒子发射方向与y轴正方向成45°至90°角的范围内进入探测器所占比例为n==75% （4）粒子以平行x轴速度大小3进入第I象限的电磁场，为抵消所受的电场力，需要給粒子一个水平向右的速度，粒子在探测器内的运动可以视为匀速直线运动和圆周运动的合运动，其圆周运动的半径R==L，即离x轴高L的粒子恰能与上边界相切。 根据y==L 解得= 即粒子发射方向与y轴正方向成60°至90°角的范围内能够到达右边收集板，收集粒子数n=N。 作用时间 △t=-=，又=，=， 联立解得△t= 根据探测器水平长度，粒子沿x轴方向匀速直线运动分运动，由+=， 解得=+ 圆周运动周期<, 可知x= +Lsinθ 。如图所示。 解得 t= θ=60° 则撞击瞬间粒子水平速度为 cos60°+= 由动量定理，-F△t=-nm· 解得F= 5. 在xOy平面内第一象限的某一区域内（图中未画出）有一个场强大小为、方向平行于轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与轴正方向成至角的范围内发射了个电荷量为、质量为的带正电粒子，如图所示，所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；在x=的点平行于轴放置一块长为L=的收集板，收集板能吸收打到板上的所有粒子。不计粒子间的相互作用及粒子的重力。 （1）要使从点射出的粒子均能通过坐标原点，则粒子射出时的速度应满足什么条件？ （2）在满足（1）的条件下，要使所有粒子经过第一象限的电场后均能沿轴正方向运动，则电场方向如何？并写出此最小电场区域的边界方程； （3）在满足（2）的条件下，收集板因吸收粒子而受到的平均作用力为多大？    【解析】 （1） 设从P点射出的一粒子，其速度大小为v，方向与y轴正方向成θ角，R= 根据 qvB=m 解得v= 可得 =vsinθ= 即从P点射出的粒子其平行于x轴的分速度大小是一定的。 （2）电场方向沿y轴负方向。粒子到达O点后分布在与x轴正方向成60°的范围内。最小电场区域的上边界为与x轴正方向成60°的粒子运动轨迹。 x=t ① y=t- ② 联立解得y=x- ③ 最小电场区域的下边界为从O点进入电场的粒子经电场偏转后速度平行于x轴正方向时射出点的集合。令射出点的坐标为（x，y） x=t ④y= ⑤ 联立解得 y= ⑥ ③⑥联立解得 =0，=0，（舍去） =，=， 上下边界的取值范围为 0≤x≤，或0≤y≤ （3）当收集板处在x=时，令y=，y= ， 联立解得t= 在O点的速度沿y轴的分量为 =at= = 则打在收集板上端的粒子过O点后的速度与x轴成45°。 打在收集板上的粒子数为N=n=n 作用时间 △t=T/2-T/4=T/4= 对打在收集板上的粒子，设收集板对粒子的作用力为F，由动量定理，F△t=Nm=nm 解得 F= 由牛顿第三定律可知，收集板受到的平均作用力F’= www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理培优教案 高考培优专题2 电场中的发散与聚焦 学习目标 探究匀强电场中聚焦与发散现象的形成条件，助力深化对类平抛运动规律的理解与实际应用。 【培优专题解读】 一、平行入射、同点出射——匀强电场中的聚焦现象 匀强电场中的聚焦现象，是指大量带电粒子以特定方式平行射入匀强电场后，最终能从电场中同一点射出的运动现象。根据粒子入射初速度的特征，可分为平行等速入射和平行不等速入射两种情况展开分析。 1. 平行、等速入射的聚焦条件 大量质量为m、带电荷量为+q的粒子，以相同的初速度平行于x轴射入匀强电场，若要使所有粒子最终都经过坐标原点O，可结合类平抛运动的分运动规律推导具体条件，如图1所示为平行等速粒子射入匀强电场的聚焦运动示意图。 粒子在电场中仅受电场力作用，加速度a=，其运动可分解为相互垂直的两个分运动： x轴方向：不受外力作用，做匀速直线运动，位移满足x=t； y轴方向：初速度为0，在电场力作用下做初速度为0的匀加速直线运动，位移满足y=a。 联立解得： y= 该式为抛物线方程，这意味着：当匀强电场的边界为该抛物线时，平行等速射入的带正电粒子，最终都会从坐标原点射出，实现电场中的聚焦效果。 2. 平行、不等速入射的聚焦条件 沿y轴负方向的匀强电场以y轴为左边界，大量质量为m、带电荷量为+q的粒子，从y轴上不同位置沿x轴正方向射入电场，且粒子的初速度大小各不相同。若要让这些粒子聚焦于电场中同一点A（l，0）（为定值），同样利用类平抛运动的分运动规律分析，如图2所示为平行不等速粒子射入匀强电场的聚焦运动示意图。 粒子的运动分解为相互垂直的两个分运动： y轴方向：做匀加速直线运动，位移满足y=a（其中加速度a=）； x轴方向：做匀速直线运动，位移满足l=t。 整理可得：y= 这便是平行不等速粒子的聚焦条件。只要粒子的入射位置纵坐标和初速度满足该关系式，无论初速度大小如何，粒子最终都会汇聚于点A（l，0），实现匀强电场中的聚焦。 二、同点入射、平行出射——匀强电场中的发散现象 匀强电场中的发散现象，是指大量带电粒子从电场中同一点以特定方式射入后，最终能以相互平行的速度从电场中射出的运动现象。根据粒子入射的速率和方向特点，可分为不同向、等速率入射和同向、不等速率入射两种情况分析。 1. 不同向、等速率入射的发散条件 在坐标原点处设置粒子源，该粒子源以相同的速率向斜上方各个方向发射质量为、带电荷量为+q的粒子，粒子在匀强电场中受恒定电场力作用，做类斜抛运动。若要让粒子运动到轨迹最高点（速度方向与x轴平行）时，恰好从匀强电场中射出，实现“同点入射、平行出射”的发散效果，如图3所示为不同向等速率粒子射入匀强电场的发散运动示意图，对粒子的分运动分析如下： 设粒子射出电场时的坐标为（x，y），入射速度与轴夹角为θ，粒子加速度a=，将粒子的运动分解为两个垂直的分运动： x轴方向：不受外力，做匀速直线运动，位移满足x=cosθ·t； y轴方向：受电场力作用做匀减速直线运动，运动到最高点时竖直分速度为0， 速度满足sinθ·=at， 解得t=，x= ① 竖直位移满足2ay，解得y= ② ①②联立消去θ可得，+=1 此为椭圆方程，该椭圆的中心为（0，），半长轴为，半短轴为。这表明：当匀强电场的边界为该椭圆时，从原点以相同速率、不同方向射入的粒子，都会在轨迹最高点以平行于x轴的速度射出电场，实现匀强电场中的发散效果。 2. 同向、不等速率入射的发散条件 匀强电场的边界为一条与x轴夹角为α的直线，粒子源从该边界上某点发射质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的初速度方向均与x轴夹角为β，且速率大小各不相同。若要让粒子从电场边界飞出时速度恰好平行于x轴，可利用类平抛运动的推论并结合逆向思维推导条件，如图4所示为同向不等速率粒子射入匀强电场的发散运动示意图。 将粒子的类斜抛运动逆向等效看成类平抛运动，可得核心关系式：tanβ=2tanα。 该式是粒子从电场边界飞出时速度平行于x轴的直接条件。即使粒子初速度方向不满足该关系式，从同一直线边界射出的粒子，其速度方向依然会保持相互平行（仅不与x轴平行）。 进一步推导可得各角度的通用关系：tanβ=2tanα+tanθ。（θ为粒子射出时速度与水平方向的夹角）。这一关系表明：粒子源在直线边界某点朝确定方向（与x轴夹角θ）射入速率不同的粒子，只要粒子能从该直线边界飞出电场，所有粒子的射出方向均保持一致，实现“同点入射、平行出射”的发散现象。 三、总结与反思 力学与电磁学虽是物理学的不同分支，但在带电粒子在匀强电场中的运动这类问题中，二者的运动规律在数学表达和分析方法上高度相通。掌握匀强电场中聚焦与发散现象的规律，不仅能帮助我们更灵活地运用类平抛运动的相关知识，解决复杂的带电粒子运动问题，还能让我们深刻体会到物理学科中“规律相通、方法统一”的核心特点。 在解决此类带电粒子在匀强电场中的运动问题时，只要抓住“运动分解”这一关键方法，先通过对粒子的受力分析确定其加速度，再根据题目要求的聚焦、发散条件列写分运动方程，通过数学推导消去未知量，就能顺利推导出相应的电场边界条件或粒子入射条件，实现对问题的精准求解。 ​ 【典例剖析】 【典例】现有一种新型的等离子体基离子注入方法——离子聚焦电场增强辉光等离子体注入法，其工作原理为：首先将注入硫原子置入真空加热腔体中并离子化（此装置未标出），一束硫离子通过馈送粒子控制系统和馈送管道，从M板上均匀分布的小孔飘入，初速度可以忽略不计，经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿水平方向进入某电场空腔发生偏转，最终所有离子都达到某一点，完成离子注入。硫离子质量为m，电量为，不计粒子重力和粒子间相互作用。 (1) 求加速电压大小。 (2)以图中电场中心为坐标原点O建立坐标系，在xOy平面内的梯度电场，电场强度 E=by（b>0且已知）方向，如图所示，该电场区域的宽度为d。在（<d）范围内，离子束沿x轴正方向射入电场。离子速度大小均为v，穿过电场过程中，离子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强电场。 ①求从y=处射入电场的离子，在电场中运动的竖直方向的侧移量Δy及速度偏转角的正切值； ②研究发现，所有离子通过电场后，将聚焦到x轴上x=f处，求f的表达式。 课后巩固训练 1.如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为y=0.5，虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E=1N/C，第三象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在抛物线的下方的区域有大量质量、电荷量的粒子以相同的初速度平行于x轴射入电场，最后均经过O点进入磁场，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（       ） ． A.=1m/s B．粒子在磁场中运动的最长时间为s C．所有的粒子出磁场的位置在y轴上的坐标都为-1m D．粒子在磁场中运动的最短时间为s 2. 医学检查中磁共振成像简化模型如图所示，其中一个重要的部件“四极铁”，能够提供梯度磁场，从而控制电子束在运动过程中汇聚或发散，图甲为该磁场的磁感线分布情况。一束电子从M板上均匀分布的小孔飘入（初速度可以忽略不计），经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”空腔。电子质量为m，电量为e，不计粒子重力和粒子间相互作用。 （1）求加速电压大小，判断图甲中a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近； （2）以图甲中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在xOy平面内的梯度磁场如图乙所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，电子束沿x轴正方向射入磁场，磁感应强度B=by（b>0且已知，以垂直xOy平面向里为磁场正方向）。电子速度大小均为v，穿过磁场过程中，电子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强磁场。 ①求从y=处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径及速度偏转角的正弦值sinθ； ②研究发现，所有电子通过磁场后，将聚焦到x轴上x=f处。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过（0，y）点，且速度方向的偏转角很小，sinθ≈tanθ，求f的表达式； ③在x=处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”（中心线位于x=处），使②问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，若该“四极铁”的磁感应强度B=b'y，求b’:b； ④如图丙，仪器实际工作中，加速电压U会在附近小幅波动，导致电子聚焦点发生变化。若要求聚焦点坐标偏差值不超过△f，求电压波动幅度的最大值。 3. 如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限虚线边界上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场。P（，）为虚线边界上一点，在0<y≤范围内，大量质量为m、电荷量为+q带电粒子以相同的初速度v0水平射入电场，均经过O点。若除电场区域外其余区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。所有粒子经过磁场偏转后都汇聚于y轴上的同一点Q（图中未标出）。忽略粒子的重力及相互间的作用。求： （1）匀强电场的电场强度和匀强电场边界的曲线方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系）； （2）求Q点坐标； （3）若磁感应强度大小调整为kB0，其他条件不变，某粒子经磁场偏转后能再次水平射入电场，求该粒子第一次进入电场时的纵坐标，并求出k的取值范围。（设虚线边界无限长，且满足（1）中的曲线方程）     4. （2025浙江三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为=、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为=的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为+、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为=，匀强电场方向竖直向下，场强大小为=。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求： (1) 粒子由P点射出时水平分速度vx的大小； (2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程； (3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比； (4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。 5. 在xOy平面内第一象限的某一区域内（图中未画出）有一个场强大小为、方向平行于轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与轴正方向成至角的范围内发射了个电荷量为、质量为的带正电粒子，如图所示，所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；在x=的点平行于轴放置一块长为L=的收集板，收集板能吸收打到板上的所有粒子。不计粒子间的相互作用及粒子的重力。 （1）要使从点射出的粒子均能通过坐标原点，则粒子射出时的速度应满足什么条件？ （2）在满足（1）的条件下，要使所有粒子经过第一象限的电场后均能沿轴正方向运动，则电场方向如何？并写出此最小电场区域的边界方程； （3）在满足（2）的条件下，收集板因吸收粒子而受到的平均作用力为多大？     www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $