第二十章 整式的乘法（单元测试·提升卷）数学新教材人教版五四制七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第二十章 整式的乘法·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D A C D A B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．184 14． 15． 16． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ；...................3分 （2）解： ．...................6分 18． 【详解】（1）解： ；...................3分 （2）解： ，...................5分 当，时， 原式．...................6分 19． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是，或者加括号；...................3分 解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，的计算结果是． 正确的解答过程：原式．...................6分 20． 【详解】（1）解：由题意可知： ∴图中阴影部分的面积；...................3分 （2）解：∵ ， ∵，， ∴ ， ∴阴影部分的面积．...................6分 21． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③；...................3分 （2）原式 ．...................5分 22． 【详解】（1）解：原式 即，则， 即．...................2分 （2） ．...................5分 （3）原式 ．...................8分 23． 【详解】（1）解：， ， ， 代数式的最小值是．...................2分 （2）解：， ， ， 代数式的最大值是．...................5分 （3）解：由题意，得花园的面积是， ， ， 代数式的最大值是，此时， 则当时，花园的面积最大，最大面积是．...................8分 24． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：；...................2分 （2）①∵，， ∴， ∴； 故答案为：4；..................4分 ② ；...................8分 （3） ．...................12分 25． 【详解】（1）解：设，，则，， ， ；...................4分 （2）设，，则 ， ， ， ， ， 解得：， ；...................8分 （3），，， ，， ， ， 设，， 则，， ， ．...................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第二十章 整式的乘法·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等式成立的条件是（　　） A． B． C． D．不受限制 2．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 4．已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 5．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 6．数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：，那么空格中的一项是（    ） A． B． C． D． 7．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 8．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（   ） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 9．已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 10．将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．若多项式是完全平方式，则 ． 13．已知n是正整数，且，则 ． 14．若（其中），则的大小关系为 ． 15．定义一种新的运算，如．则 ． 16．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算与化简： (1)； (2)先化简再求值：，其中，． 19．在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 20．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接． (1)用含，的式子表示图中阴影部分的面积； (2)若，，求阴影部分的面积． 21．观察下列一组等式： ； ； ． (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①__________； ②（__________）； ③（__________）； (2)利用你的发现计算：． 22．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)已知，求的值； (3)若为正整数，且，求的值． 23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ，，的最小值是． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 24．探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 25．题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则___________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在三角形外部作正方形和正方形，连接．若，的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第二十章 整式的乘法·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等式成立的条件是（　　） A． B． C． D．不受限制 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据零指数幂的运算法则：计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 2．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）以及完全平方公式，熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键．根据幂的运算规则（同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除）以及完全平方公式，对每个选项进行计算，判断其正确性． 【详解】解：．故A项错误． ．故B项错误． ．故C项正确． ．故D项错误． 故选：C． 3．若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴括号内所填的代数式是； 故选：C． 4．已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，把等式左边变形为：，再根据，得出，，根据m，n均为正整数，列举所有的因数对，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵m，n为正整数， ∴，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ∴k的值可能是5，，，1． 故选：D． 5．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 6．数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：，那么空格中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式除以单项式，根据题意，用积除以，进行求解即可． 【详解】解：， ∴空格中的一项是； 故选C． 7．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键． 根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数是和（其中取正整数）， ， 由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数． 58、60、62都不是8的倍数， 它们不是“创新数”， 64是8的倍数，且， 64是“创新数”． 故选：D． 8．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（   ） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 先将大长方形的面积算出为，由题意可知为A类卡片面积，为B类卡片面积，为C类卡片面积，则根据多项式即能求出A、B、C相应的卡片数量． 【详解】解：由题意可知，大长方形的长为，宽为， 则其面积为； 由图可知，A类卡片面积为 ，B类卡片面积为，C类卡片面积为，由大长方形的面积多项式可知，的系数为2，的系数为4，的系数为9，则需要A类卡片2张，B类卡片4张， C类卡片9张． 故选：A. 9．已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 【详解】解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 故选：B． 10．将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． 用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可． 【详解】解：∵ ， 整理，得：， ∵若长度不变，（即）的长度变化，而的值总保持不变， ∴ ， 解得：． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算是解决本题的关键． 先由积的乘方运算求解，再根据同底数幂的乘法运算进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 12．若多项式是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项即可确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知n是正整数，且，则 ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 14．若（其中），则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的大小比较，整式的混合运算，平方的非负性，掌握相关运算法则是解题关键．利用作差法比较大小，根据整式的混合运算法则，求出，再利用平方的非负性得出，即可得解． 【详解】解：由题可知， ， ， ， ，即． 15．定义一种新的运算，如．则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，先利用多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 16．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了零指数幂，同底数幂乘除，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先进行有理数乘方，零指数幂，化简绝对值运算，然后合并即可； （）先进行同底数幂乘除，幂的乘方，积的乘方运算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算与化简： (1)； (2)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，整式的除法等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则．先根据乘法公式去括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． （）通过观察式子结构构造平方差公式的形式，利用平方差公式简化了计算过程； （）先利用完全平方公式和平方差公式，结合整式的加减法法则，将中括号化简，再根据除法法则得出化简结果，最后将字母的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时， 原式． 19．在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】两种解法都错误，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法，完全平方公式，平方差公式等知识，按照整式乘法的相关运算法则和公式求解即可． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是，或者加括号； 解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，的计算结果是． 正确的解答过程：原式． 20．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接． (1)用含，的式子表示图中阴影部分的面积； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)图中阴影部分的面积； (2)阴影部分的面积． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘以多项式运算，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由题意可得，然后代入即可求解； （）先变形为，然后把，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： ∴图中阴影部分的面积； （2）解：∵ ， ∵，， ∴ ， ∴阴影部分的面积． 21．观察下列一组等式： ； ； ． (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①__________； ②（__________）； ③（__________）； (2)利用你的发现计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，找出其中的规律是解本题的关键． （1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果； （2）把一四、二三因式分别结合，利用得出的规律，即可得到结果． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③； （2）原式 ． 22．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)已知，求的值； (3)若为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可； （3）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 即，则， 即． （2） ． （3）原式 ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键． 23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ，，的最小值是． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）多项式配方后，可得，根据完全平方式恒大于等于，即可求出最小值． （2）多项式配方后，可得，根据完全平方式恒大于等于，可得，即可求出最大值． （3）根据题意列出关系式，配方后可得，根据完全平方式恒大于等于，可得，即可求出最大值以及此时的值． 【详解】（1）解：， ， ， 代数式的最小值是． （2）解：， ， ， 代数式的最大值是． （3）解：由题意，得花园的面积是， ， ， 代数式的最大值是，此时， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 24．探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 25．题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则___________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在三角形外部作正方形和正方形，连接．若，的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________． 【答案】（1）43；（2）；（3）52 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形，是解题的关键： （1）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，，利用完全平方公式变形计算即可； （3）易得，，，设，，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：设，，则，， ， ； （2）设，，则 ， ， ， ， ， 解得：， ； （3），，， ，， ， ， 设，， 则，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第二十章 整式的乘法·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等式成立的条件是（　　） A． B． C． D．不受限制 2．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 4．已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 5．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 6．数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：，那么空格中的一项是（    ） A． B． C． D． 7．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 8．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（   ） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 9．已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 10．将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．若多项式是完全平方式，则 ． 13．已知n是正整数，且，则 ． 14．若（其中），则的大小关系为 ． 15．定义一种新的运算，如．则 ． 16．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算与化简： (1)； (2)先化简再求值：，其中，． 19．在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 20．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接． (1)用含，的式子表示图中阴影部分的面积； (2)若，，求阴影部分的面积． 21．观察下列一组等式： ； ； ． (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①__________； ②（__________）； ③（__________）； (2)利用你的发现计算：． 22．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)已知，求的值； (3)若为正整数，且，求的值． 23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ，，的最小值是． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 24．探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示) 应用：（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为___________． ②计算：． 拓展：（3）计算：． 25．题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则___________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在三角形外部作正方形和正方形，连接．若，的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $