第二十章 整式的乘法（单元测试·培优卷）数学新教材人教版五四制七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第二十章 整式的乘法 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A B C D C D C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．184 12．． 13．12或． 14．①②③④． 15．；． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式乘多项式运算法则将括号展开，再合并即可； （2）原式根据完全平方公式、多项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并即可得到答案 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（8分） 【答案】；（2）； 【分析】此题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的混合运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． （1）先展开，再去括号，合并同类项，化简后将a，b的值代入计算即可； （2）①逆用积的乘方法则可得答案； ②逆用积的乘方法则； ③利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则把左边变形，可得关于n的方程，即可解得答案． 【详解】解： ； （2） ； ， ． ． ， 解得， 的值为3． 18．（6分） 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式混合运算、求值，先根据整式的运算法则把整式化简，可得：原式，把等式变形可得，根据平方的非负性，可得：，，再把字母的值代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ， 整理得：， ，， ，， 原式 ． 19．（9分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解方程组等知识，将题中文字转化为代数式是解决问题的关键． （1）将题中文字描述转化为数学表达式，利用多项式定义得到求解即可得到答案； （2）将（1）中，代入，再由多项式乘以多项式展开即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ． ， 解得； （2）解：由（1）得，， ． 21．（9分） 【答案】(1)2 (2)7或 (3)80 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解：∵， 而， ， ∴． ∴． 22．（9分） 【答案】（1）232﹣1； （2）（332﹣1）； （3）（m32﹣n32）． 【分析】（1）原式补上（2﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上（3﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式补上（m﹣n），利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（28﹣1）（28+1）（216+1） ＝（216﹣1）（216+1） ＝232﹣1； （2）原式（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1） （32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1） （34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1） （38﹣1）（38+1）（316+1） （316﹣1）（316+1） （332﹣1）； （3）当m＝n时，原式＝2m•2m2•2m4•2m8•2m16＝32m31； 当m≠n，即m﹣n≠0时， 原式（m﹣n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m2﹣n2）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m4﹣n4）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m8﹣n8）（m8+n8）（m16+n16） （m16﹣n16）（m16+n16） （m32﹣n32）． 【点睛】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 23．（10分） 【答案】（1）；（2）；（3）76 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． ． 24．（10分） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令的系数为 0 ，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将、的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为 0 ，即可求出的值； （3）设，由图可得，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为 0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ∵多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）∵，， ， ∵的值与的取值无关， ， 解得：； （3）设，由图可知， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． 的值与的取值无关， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第二十章 整式的乘法 建议用时：120分钟， 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 6．若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 7．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 8．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 9．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知n是正整数，且，则 ． 12．长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为 ． 13．如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 14．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为，，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则下列关系式中正确的是 （填序号）①；②；③；④ 15．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式 ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；．．．．．． 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）根据上面的规律，直接写出的展开式： ． （2）计算 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）计算： (1)； (2)． 17．（8分）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： （1）； （2）； （3）若，直接写出n的值． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（9分）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 20．（8分）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 21．（9分）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 22．（9分）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1） ＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）． （2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）． 23．（10分）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和 30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 24．（10分）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第二十章 整式的乘法 建议用时：120分钟， 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 6．若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 7．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 8．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 9．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知n是正整数，且，则 ． 12．长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为 ． 13．如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 14．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为，，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则下列关系式中正确的是 （填序号）①；②；③；④ 15．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式 ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；．．．．．． 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）根据上面的规律，直接写出的展开式： ． （2）计算 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）计算： (1)； (2)． 17．（8分）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： （1）； （2）； （3）若，直接写出n的值． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（9分）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 20．（8分）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 21．（9分）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 22．（9分）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1） ＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）． （2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）． 23．（10分）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 24．（10分）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第二十章 整式的乘法 建议用时：120分钟， 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法与除法，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键．根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等知识，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，由同类项定义求出的值是解决问题的关键． 先由同底数幂的乘法运算及同类项式定义得到的值，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， 则， ， 故选：A． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆用． 逆用幂的运算将原式化为，进而逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】 故选：B 5．已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据，，，得出，，，根据，得出，根据同底数幂乘法得出，即可得出答案． 【详解】解： ，，， ∴，，， 即，，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：C． 6．若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同类项的定义，代数式求值．根据单项式乘以单项式结合同类项的定义求出和的值，再代入到中计算即可求解． 【详解】解：单项式和单项式的积为 ， ∵单项式和单项式的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 7．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 8．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【详解】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 9．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算以及代数式求值，熟练掌握幂的运算法则和开方运算求未知数的值是解题的关键．先分别求解和的值，再将其代入代数式计算． 【详解】解：∵，， ∴或． ∵，， ∴． 当，时， ， 当，时， ， 故选：． 10．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法公式的几何意义，准确分析计算是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形乙的边长为，得出，，求出，，再根据计算即可； 【详解】设正方形的边长为，正方形乙的边长为， ，， ， ，， 两式相减得：， ， ，， ． 故选． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知n是正整数，且，则 ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 12．长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的除法，根据长方形面积公式列出算式，然后根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：根据题意得，另一边长为： ， 故答案为：． 13．如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】12或． 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ∴， ， 故选：12或． 14．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为，，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则下列关系式中正确的是 （填序号）①；②；③；④ 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 先根据正方形的面积公式可得，，则②正确；再利用平方根解方程可得，则①正确；然后利用完全平方公式变形求值即可得③④正确，由此即可得． 【详解】解：∵大正方形的面积为，中间空缺的小正方形的面积为， ∴，，则②正确； ∴或（不符合题意，舍去），则①正确； ，则③正确； ，则④正确； 综上，关系式中正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 15．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式 ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；．．．．．． 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）根据上面的规律，直接写出的展开式： ． （2）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的规律问题． （1）直接根据题干式子结合图表作答即可； （2）根据题干式子结合图表得到，将化为，根据计算即可． 【详解】解：由表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1； 即 故答案为：； （2）由表可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1； 即， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式乘多项式运算法则将括号展开，再合并即可； （2）原式根据完全平方公式、多项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并即可得到答案 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（8分）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： （1）； （2）； （3）若，直接写出n的值． 【答案】；（2）； 【分析】此题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的混合运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． （1）先展开，再去括号，合并同类项，化简后将a，b的值代入计算即可； （2）①逆用积的乘方法则可得答案； ②逆用积的乘方法则； ③利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则把左边变形，可得关于n的方程，即可解得答案． 【详解】解： ； （2） ； ， ． ． ， 解得， 的值为3． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式混合运算、求值，先根据整式的运算法则把整式化简，可得：原式，把等式变形可得，根据平方的非负性，可得：，，再把字母的值代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ， 整理得：， ，， ，， 原式 ． 19．（9分）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解方程组等知识，将题中文字转化为代数式是解决问题的关键． （1）将题中文字描述转化为数学表达式，利用多项式定义得到求解即可得到答案； （2）将（1）中，代入，再由多项式乘以多项式展开即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ． ， 解得； （2）解：由（1）得，， ． 21．（9分）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)7或 (3)80 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解：∵， 而， ， ∴． ∴． 22．（9分）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1） ＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）． （2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）． 【答案】（1）232﹣1； （2）（332﹣1）； （3）（m32﹣n32）． 【分析】（1）原式补上（2﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上（3﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式补上（m﹣n），利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（28﹣1）（28+1）（216+1） ＝（216﹣1）（216+1） ＝232﹣1； （2）原式（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1） （32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1） （34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1） （38﹣1）（38+1）（316+1） （316﹣1）（316+1） （332﹣1）； （3）当m＝n时，原式＝2m•2m2•2m4•2m8•2m16＝32m31； 当m≠n，即m﹣n≠0时， 原式（m﹣n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m2﹣n2）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m4﹣n4）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16） （m8﹣n8）（m8+n8）（m16+n16） （m16﹣n16）（m16+n16） （m32﹣n32）． 【点睛】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 23．（10分）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． ． 24．（10分）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令的系数为 0 ，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将、的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为 0 ，即可求出的值； （3）设，由图可得，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为 0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ∵多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）∵，， ， ∵的值与的取值无关， ， 解得：； （3）设，由图可知， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． 的值与的取值无关， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $