2026届高考物理二轮复习讲义 培优专题1 磁场中的发散与聚集

高中物理培优专题教案 高考培优专题1 磁场中聚焦与发散 学习目标 1. 知道“磁聚焦”和“磁发散”模型的特点。 2. 掌握“磁聚焦”和“磁发散”模型的应用。 【模型解读】 “磁聚焦”和“磁发散”模型的原理 原理 图示 证明 磁聚焦 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出 图甲 四边形OAO'B为菱形，是特殊的平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'（即竖直方向），可知从A点入射的带电粒子必然经过B点 磁发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果带正电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行 图乙 所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是特殊的平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行且等于PO，即出射速度方向相同（均沿水平方向） 2.“磁聚焦”和“磁发散”模型的四个特点 （1）圆形磁场中满足一点入、平行出或平行入、一点出的规律； （2）粒子在磁场中的轨迹半径与圆形磁场的半径相等，即 =； （3）出射点所在直径与粒子入射方向垂直，或粒子出射方向垂直于发射源所在直径； （4）入、出射点间磁场圆弧（劣弧）对应的圆心角等于粒子的偏转角。 模型解析几何方法证明 设粒子速度与参考方向夹角为α，粒子运动半径为r，磁场半径也为r，则粒子做圆周运动的圆心坐标为x=rsinα，y=rcosα。 粒子圆心O1的轨迹方程：+=（圆心在坐标原点O1，半径为r的圆）； 磁场圆的参数方程：+=； 粒子轨迹的参数方程：+=。 将出射点坐标（，），代入上述两个圆的方程，解得：，，可证出射点与对应圆心在同一竖直线上，即出射方向水平。 【典例剖析】 【典例】(2021高考湖南学业水平选择性考试)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 针对性训练 1.(2025·湖南娄底高三联考)如图所示，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一点A，已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴的正方向，则(　　) A.初速度方向与x轴正方向夹角为120°的粒子经过A点 B.初速度方向与x轴正方向夹角为135°的粒子经过A点 C.经过A点的粒子在磁场中运动时间为 D.经过A点的粒子在磁场中运动时间为 2 .如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，其右侧有一方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。足够长的水平荧光屏PQ与磁场相切于P点。粒子源可以持续地从P点沿纸面向磁场内发射速率为v、方向不同的带正电同种粒子。已知初速度竖直向上的粒子经磁场偏转后沿水平方向离开磁场。电场强度E＝Bv，不计粒子重力及粒子间相互作用，求入射方向与荧光屏成60°~120°区间的粒子打到荧光屏上形成的亮线长度。 3.如图所示，O'PQ是关于y轴对称的四分之一圆，在PQNM区域有均匀辐向电场，PQ与MN间的电压为U。一初速度为零的带正电的粒子从PQ上的任一位置经电场加速后都会从O'进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为B，粒子经磁场偏转后都能平行于x轴射出。 (1)求带电粒子的比荷; (2)求沿y轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间; (3)求带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。 4.（2023山东日照二模）如图所示是带电粒子流的控制装置。该装置内有三个半径均为R的圆形磁场区域，第一、二象限的磁场方向垂直纸面向里，第四象限的磁场方向垂直纸面向外，三个圆形磁场区域与x轴、y轴均相切，磁感应强度大小均为B0。第三象限内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B0的匀强磁场。在x轴上x < －2R的位置有荧光屏，粒子源P（2R，－R）可以在纸面内沿与x轴负方向成－37°到37°夹角的范围内发射速率=（m、q分别为粒子的质量和电荷量）的同种带正电粒子。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： （1）沿x轴负方向射出的粒子到达荧光屏上的位置坐标； （2）粒子打到荧光屏上的x轴坐标范围； （3）粒子从射出到打到荧光屏上的过程中，粒子的最长运动时间。 5. （2024高考湖南卷）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 6. 如图建立平面直角坐标系，在第二象限内放置两块平行金属板MN，中心轴线为，板在轴上，内部存在竖直向下的匀强电场以及垂直纸面向里的匀强磁场（大小未知）。金属板右侧存在方向为垂直纸面向外，大小为的匀强磁场，其边界是以为圆心，为半径的圆。、、三点等高，圆边界与轴相切，直径与MN间距相等。轴下方垂直纸面向里的匀强磁场与大小相同满足==B，其余区域均为无场区域。第二象限内有一关于轴线对称、长度为R的线粒子源，发射出一群质量为m，电荷量为q且不计重力的带电粒子，均以相同的初速度沿着轴正方向进入金属板MN，其中沿着射入的粒子恰好沿直线穿过MN且经过原点O。求： (1) 判断粒子的带电性质以及匀强磁场的大小； (2)若在轴下方有一块足够长的荧光板PQ，平行于轴放置，P点坐标为（R，0），求板上有粒子打中的长度l以及打到板上的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差； (3)撤去荧光板PQ，从原点沿轴负方向射入的粒子在磁场中运动时还始终受到与运动方向相反阻力，大小为f=kv（k为已知常数），粒子的轨迹与轴相切，求切点T（图中未画出）的横坐标以及O到T的轨迹长度。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理培优专题教案 高考培优专题1 磁场中聚焦与发散 学习目标 1. 知道“磁聚焦”和“磁发散”模型的特点。 2. 掌握“磁聚焦”和“磁发散”模型的应用。 【模型解读】 “磁聚焦”和“磁发散”模型的原理 原理 图示 证明 磁聚焦 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出 图甲 四边形OAO'B为菱形，是特殊的平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'（即竖直方向），可知从A点入射的带电粒子必然经过B点 磁发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果带正电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行 图乙 所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是特殊的平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行且等于PO，即出射速度方向相同（均沿水平方向） 2.“磁聚焦”和“磁发散”模型的四个特点 （1）圆形磁场中满足一点入、平行出或平行入、一点出的规律； （2）粒子在磁场中的轨迹半径与圆形磁场的半径相等，即 =； （3）出射点所在直径与粒子入射方向垂直，或粒子出射方向垂直于发射源所在直径； （4）入、出射点间磁场圆弧（劣弧）对应的圆心角等于粒子的偏转角。 模型解析几何方法证明 设粒子速度与参考方向夹角为α，粒子运动半径为r，磁场半径也为r，则粒子做圆周运动的圆心坐标为x=rsinα，y=rcosα。 粒子圆心O1的轨迹方程：+=（圆心在坐标原点O1，半径为r的圆）； 磁场圆的参数方程：+=； 粒子轨迹的参数方程：+=。 将出射点坐标（，），代入上述两个圆的方程，解得：，，可证出射点与对应圆心在同一竖直线上，即出射方向水平。 【典例剖析】 【典例】(2021高考湖南学业水平选择性考试)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 【名师解析】本题考查洛伦兹力和牛顿运动定律及其相关知识点，主要考查灵活运用知识能力. (1)最上面的粒子绕磁场边界到达O点，即轨迹半径为r1，由qvB1=m， 解得B1= （2） 最上面的粒子绕磁场边界到达O点，方向沿着x轴负方向，则需要继续逆时针绕半圈到达矩形边界的最低点，即轨迹半径为r2，由qvB2=m， 解得B2=， 由左手定则可判断出磁场方向为垂直纸面向里，磁场区域面积为S=πr22. （3）图b中最下方的粒子绕1/4圆周运动到O，即qvBIII=m，解得BIII= 接着绕1/4圆周运动从第I象限右上角射出磁场，即qvBI=m，解得BI= 图中阴影部分面积的一半为四分之一圆弧与三角形所围面积之差，所以阴影部分面积为 =2（-）=2×（- ）=（π-1）r32 在第II象限和第IV象限中磁场区域最小面积为月牙形，即SII=（π-1）r32，SIV=（π-1）r42。 针对性训练 1.(2025·湖南娄底高三联考)如图所示，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一点A，已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴的正方向，则(　　) A.初速度方向与x轴正方向夹角为120°的粒子经过A点 B.初速度方向与x轴正方向夹角为135°的粒子经过A点 C.经过A点的粒子在磁场中运动时间为 D.经过A点的粒子在磁场中运动时间为 答案　AC 解析　初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴的正方向，则粒子的轨道半径r＝R，由qvB＝，可得粒子轨道半径都为R;结合题意和几何关系可知，坐标平面一、二象限射入的粒子从磁场射出时，速度一定沿x轴正方向，经过A点的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有R＋Rsin(α－90°)＝R，解得α＝120°，故A正确，B错误;该粒子在磁场中的运动时间为t＝×，故C正确，D错误。 2 .如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，其右侧有一方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。足够长的水平荧光屏PQ与磁场相切于P点。粒子源可以持续地从P点沿纸面向磁场内发射速率为v、方向不同的带正电同种粒子。已知初速度竖直向上的粒子经磁场偏转后沿水平方向离开磁场。电场强度E＝Bv，不计粒子重力及粒子间相互作用，求入射方向与荧光屏成60°~120°区间的粒子打到荧光屏上形成的亮线长度。 答案　(－1)R 解析　粒子在磁场中运动的半径为r＝R，可得粒子的比荷 入射方向与荧光屏成60°和120°的粒子在磁场与电场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子进入电场时与荧光屏的距离为h1＝0.5R，h2＝1.5R，粒子在电场中的运动满足x＝vt，h＝·t2 联立解得x1＝R，x2＝R 所以亮线长度d＝(－1)R。 3.如图所示，O'PQ是关于y轴对称的四分之一圆，在PQNM区域有均匀辐向电场，PQ与MN间的电压为U。一初速度为零的带正电的粒子从PQ上的任一位置经电场加速后都会从O'进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为B，粒子经磁场偏转后都能平行于x轴射出。 (1)求带电粒子的比荷; (2)求沿y轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间; (3)求带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。 答案　(1)　(2)　(3)－R~R 解析　(1)由动能定理可知qU＝mv2 由已知条件结合几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的半径R0＝R 洛伦兹力提供向心力qvB＝m，得。 (2)沿y轴正方向入射的带电粒子，设其在磁场中做圆周运动的圆心角为θ，由几何关系θ＝90°，所以t＝T＝T，且T＝，解得t＝。 (3)如图，沿QN方向入射的带电粒子，离开磁场的出射点a在y轴上的投影与O'的距离为Δy＝R＋R，故a点的纵坐标ya＝R 同理可得，沿PM方向入射的带电粒子离开磁场的出射点b的纵坐标yb＝－R 带电粒子离开磁场时的纵坐标范围－R~R。 4.（2023山东日照二模）如图所示是带电粒子流的控制装置。该装置内有三个半径均为R的圆形磁场区域，第一、二象限的磁场方向垂直纸面向里，第四象限的磁场方向垂直纸面向外，三个圆形磁场区域与x轴、y轴均相切，磁感应强度大小均为B0。第三象限内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B0的匀强磁场。在x轴上x < －2R的位置有荧光屏，粒子源P（2R，－R）可以在纸面内沿与x轴负方向成－37°到37°夹角的范围内发射速率=（m、q分别为粒子的质量和电荷量）的同种带正电粒子。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： （1）沿x轴负方向射出的粒子到达荧光屏上的位置坐标； （2）粒子打到荧光屏上的x轴坐标范围； （3）粒子从射出到打到荧光屏上的过程中，粒子的最长运动时间。 【解析】（1）根据洛伦兹力提供向心力 =m 可得轨迹半径 r==R 沿x轴负方向射出的粒子到达荧光屏的过程中，运动轨迹如图1所示 则该粒子打到荧光屏上的位置坐标为（-3R，0）。 （2）根据题意，可知最近和最远粒子的运动轨迹如图2所示 对最远粒子在第二象限的运动，几何关系如图3所示 根据对称关系，打到荧光屏上的最远距离的位置=-(2R+R+Rsin37°)=-3.6R 同理可得，打到荧光屏上的最近距离的位置=-(2R+R-Rsin37°)=-2.4R 粒子打到荧光屏上的x轴坐标范围为（-3.6R，-2.4R）。 （3） 根据图像可知，打到最远处的粒子运动的时间最长，其中圆周运动时间 =（1+）T T为带电粒子在磁场中运动的周期T= 直线运动时间=3×） = 最长时间为 t= 联立解得 t= 【答案】（1）（－3R，0）；（2）（－3.6R，－2.4R）；（3） 5. （2024高考湖南卷）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在x轴方向做匀速直线运动得 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知 可得 且 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 联立得 当时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，如图所示 有 当有最大值时，最大，R最大，此时，又 ， 联立可得 ， （3）当最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移，根据匀变速直线运动规律有 由牛顿第二定律知 又 联立得 6. 如图建立平面直角坐标系，在第二象限内放置两块平行金属板MN，中心轴线为，板在轴上，内部存在竖直向下的匀强电场以及垂直纸面向里的匀强磁场（大小未知）。金属板右侧存在方向为垂直纸面向外，大小为的匀强磁场，其边界是以为圆心，为半径的圆。、、三点等高，圆边界与轴相切，直径与MN间距相等。轴下方垂直纸面向里的匀强磁场与大小相同满足==B，其余区域均为无场区域。第二象限内有一关于轴线对称、长度为R的线粒子源，发射出一群质量为m，电荷量为q且不计重力的带电粒子，均以相同的初速度沿着轴正方向进入金属板MN，其中沿着射入的粒子恰好沿直线穿过MN且经过原点O。求： (1) 判断粒子的带电性质以及匀强磁场的大小； (2)若在轴下方有一块足够长的荧光板PQ，平行于轴放置，P点坐标为（R，0），求板上有粒子打中的长度l以及打到板上的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差； (3)撤去荧光板PQ，从原点沿轴负方向射入的粒子在磁场中运动时还始终受到与运动方向相反阻力，大小为f=kv（k为已知常数），粒子的轨迹与轴相切，求切点T（图中未画出）的横坐标以及O到T的轨迹长度。 【解析】（1）带电粒子在磁场中向下偏转，根据左手定则可知，带电粒子带正电。 带电粒子在两金属板间做直线运动，qE=qv 带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，qv=m 由几何关系 r=R 联立解得 = （2）带电粒子进入磁场中运动，轨迹半径为R，从两极板之间最下方进入的粒子在磁场中运动轨迹如图1所示。 由几何关系可知，图中θ=60°，在磁场中运动轨迹圆心角α=60°， 在磁场中运动时间 =T/6= 从两极板之间最上方进入的粒子在磁场中运动轨迹如图2所示。 带电粒子从O点进入磁场中运动时，速度方向与y轴成60°，正好经过半个周期打在荧光板上的Q点，在磁场中运动时间 =T/2= 由图中几何关系，l=PQ=R 时间差 △t== （3）在y方向上由动量定理，-ΣqBΔt-ΣkΔt=0-m 注意到 ΣΔt=y=0，ΣΔt=x 解得 x= 在x方向上由动量定理，-ΣqBΔt-ΣkΔt=mv-0 解得 v= 沿轨迹的速度v方向上由动量定理，-ΣkvΔt=mv-m 注意到ΣvΔt=s 解得 s= - www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $