专题1 坐标系中的三点共线问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学几何与二次函数压轴题突破练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数压轴题中的三点共线核心考点，严格对接中考考查要求，通过分析近三年中考真题明确该考点在压轴题中的权重，归纳出待定系数法验证、角度关系证明等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“分层进阶+真题实战”模式，如2023福建中考题中通过求直线CE解析式验证点D在直线上，培养学生推理意识与模型意识。三阶训练体系帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定精准复习计划，提升学生中考得分率。

数 学 福建 几何与二次函数压轴题突破练 1 二、二次函数压轴题突破练 专题一　坐标系中的三点共线问题 一阶　方法突破 二阶　方法小练 三阶　综合应用 点在平面直角坐标系中 1.可考虑求过任意两点的一次函数解析式，验证第三点的坐标满足该解析式来证明三点共线； 2.如图1，可证明∠AOC＝∠BOD；如图2，可证明∠CAO＝∠BAD. 图1 图2 返回目录 例1　已知在平面直角坐标系xOy中，点E(1，2)，O(0，0)， F ，求证：E，O，F三点共线. 证明：设直线y＝ax＋b过点E(1，2)，O(0，0)， 则y＝2x， 将点F(－ ，－1)代入y＝2x，得－ ×2＝－1， ∴点F在直线EO上，即E，O，F三点共线. 返回目录 例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2). (1)如图1，若点B(2，4)，求证：O，A，B三点共线； 证法一： 证明：∵O，A，B三点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(2，4为y＝2x. 在y＝2x中，令x＝2，得y 证明：∵O，A，B三点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(2，4)， ∴由待定系数法可求得OA所在直线的解析式为y＝2x. 在y＝2x中，令x＝2，得y＝4， ∴点B(2，4)在y＝2x的图象上，即O，A，B三点共线； 返回目录 ∴点B(2，4)在y＝2x的图象上，即O，A，B三点共线； 证法二： 证明：如解图，连接OA，OB，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为 C，D， ∵A(1，2)，B(2，4)， ∴tan ∠AOC＝ ＝2，tan 证明：如解图，连接OA，OB，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为 C，D， ∵A(1，2)，B(2，4)， ∴tan ∠AOC＝ ＝2，tan ∠BOD＝ ＝2， ∴∠AOC＝∠BOD， ∵O，C，D三点在x轴上，且点C，D在y轴同侧， ∴O，A，B三点共线. 返回目录 (2)如图2，已知点C(－2，4)，连接OA，OC，求证：y轴平分∠COA. 图2 证明：∵O 证明：∵O(0，0)，C(－2，4)， ∴OC所在直线的解析式为y＝－2x， ∵A(1，2)，∴点A关于y轴对称的点的坐标为(－1，2)， 将x＝－1代入y＝－2x中，可得y＝2， ∴点A关于y轴对称的点在直线OC上， ∴y轴平分∠COA. 返回目录 【思路探寻】 (1)利用待定系数法来构建方程组求解； (2)求出直线CE的解析式，再求出点D的坐标，判断点D是否在直线CE 上，即可得出结论. 返回目录 1. (2023福建节选)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(1，0)，B(3，0) 两点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB的中点为E. (1)求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3 经过点A(1，0)，B(3，0)， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3. 返回目录 (2)若C(4，3)，D ，且m＜2，求证：C，D，E三点共线. 证明：设直线CE的函数表达式为y＝kx＋n(k≠0)， ∵E为AB的中点，∴E(2，0). 又∵C(4，3)，∴ 解得 ∴直线CE的函数表达式为y＝ x－3. 返回目录 ∵点D 在抛物线上， ∴m2－4m＋3＝－ ，解得m＝ 或m＝ . 又∵m＜2， ∴m＝ ，∴D . ∵ × －3＝－ ， ∴点D 在直线CE上， ∴C，D，E三点共线. 返回目录 【思路探寻】 (1)设点A(m， m2＋1)，由AF＝ ＝ m2＋1＝AB，即 可求证； (2)求出直线BF的表达式，判断点D是否在直线BF上，即可求证； (3)先根据CD＝DF求出CD的长，进而证出CD＝OF，CD∥OF，再由 CD＝OD，即可求解. 返回目录 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ x2＋1的顶点为E， 在该抛物线第一象限内有一点A，AB⊥x轴，垂足为B.点F的坐标为 (0，2)，C是AF的中点，DE⊥y轴于点E，CD⊥DE于点D. (1)求证：AB＝AF； 证明：设点A ，则AB＝ m2＋1， AF＝ ＝ m2＋1＝AB. 返回目录 (2)求证：B，D，F三点共线； 证明：设点A ， ∵点C是AF的中点， ∴点C ，∴点D( m，1)， 设直线BF的表达式为y＝kx＋2， 将点B(m，0)代入得0＝km＋2，解得k＝－ ， 则直线BF的表达式为y＝－ x＋2，当x＝ m时，y＝－ · m＋2＝1， 即点D在直线BF上，∴B，D，F三点共线. 返回目录 (3)若CD＝DF，判断四边形CDOF是何种特殊的四边形，并说明理由. 解：四边形CDOF是菱形，理由如下： 设点A(m， m2＋1)，由(2)得DF＝ ， 由CD＝ m2＋ －1＝DF＝ ， 解得m＝2 (负值已舍去)， ∴CD＝ m2＋ ＝2＝OF，OD＝ ＝2， ∵CD∥OF，∴四边形CDOF是平行四边形， 又∵CD＝OD，∴四边形CDOF是菱形. 返回目录 【思路探寻】 (1)由抛物线与y轴交于点C和顶点D的坐标，解出m，c的值，可得抛物 线的解析式； (2)①先求出A，B两点的坐标，可知点H的坐标，由A，D两点的坐标可 得直线AD的解析式，从而判断点H的坐标在直线AD上，即可证得A， D，H三点共线；②过点H作HG⊥AM于点G，过点G作NT∥x轴，过点A作AN⊥NT于点N，延长HB交NT于点T，由∠MAH＝45°，知△AGH是等腰直角三角形，易证△ANG≌△GTH，由AN＝GT，NG＝HT，列方程组求得点G的坐标，可得直线AG的解析式，联立抛物线的解析式即可解得点M的坐标. 返回目录 3. (2024泉州模拟)已知抛物线y＝ x2－ mx＋c与x轴交于A，B两点(点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，顶点D的坐标是(4，－1). (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线与y轴交于点C(0，3)，顶点D的坐标是(4，－1)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝ x2－2x＋3. 返回目录 (2)已知经过(0，－2)的直线l∥x轴，过点B作BH⊥l于点H. ①求证：A，D，H三点共线； 证明：如解图1，在y＝ x2－2x＋3中，令y＝0，得x＝2或x＝6， ∵点A在点B的左侧，∴A(2，0)，B(6，0)，∴H(6，－2)， ∴直线AD的解析式为y＝－ x＋1， 在y＝－ x＋1中，令x＝6，得y＝－2， ∴A，D，H三点共线. 图1 ∴点H(6，－2)在直线AD上， 返回目录 ②若M是抛物线上一点，且∠MAH＝45°，求点M的坐标. 解：如解图2，过点H作HG⊥AM于点G，过点G作NT∥x轴，过点 A作AN⊥NT于点N，延长HB交NT于点T， ∵∠MAH＝45°，∠AGH＝90°， ∴△AGH是等腰直角三角形，∴AG＝HG， 易得∠AGN＝90°－∠HGT＝∠GHT， 又∵∠N＝90°＝∠T， ∴△ANG≌△GTH(AAS)，∴AN＝GT，NG＝HT，设G(m，n)， ∵A(2，0)，B(6，0)， ∴n＝6－m，m－2＝n－(－2)，解得m＝5，n＝1， ∴G(5，1)， 图2 返回目录 由A(2，0)，G(5，1)得直线AG的解析式为y＝ x－ ， 联立 解得 或 ∴点M的坐标为 . 图1 图2 返回目录 22 $