专题7 动点轨迹为直线的最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学几何与二次函数压轴题突破练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦几何压轴题中动点轨迹为直线的最值问题，覆盖单线段、两线段和差、三线段和及胡不归模型等核心考点，通过“方法突破—方法小练—综合应用”分层设计，对接中考常考题型，解析对称、旋转等转化策略，体现备考针对性。 课件亮点在于真题导向与素养培养，如2024年真题通过对称法求线段差最值，示范几何直观与推理能力的应用，三阶综合题融合菱形性质与相似模型，帮助学生掌握压轴题转化技巧，教师可依托分层训练实施精准教学，提升学生中考冲刺效率。

数 学 福建 几何与二次函数压轴题突破练 1 一、几何压轴题突破练 专题七　动点轨迹为直线的最值问题 一阶　方法突破 二阶　方法小练 三阶　综合应用 类型1　单线段最值 方法解读 1. 如图，已知A，B为两定点，则线段AB的长为A，B两点之间的最短 距离. 返回目录 2. 如图，点在直线上运动： 点P是直线l上一动点，A是直线外一点，求AP的最小值.过点A作 AP'⊥l，垂足为P'，则AP'≤AP. 返回目录 例1　如图，在边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动 点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连接DF. 则 在点E运动过程中，线段DF的最小值是 ⁠. 3　 返回目录 【解析】如解图，将CD绕点C逆时针旋转60°得到 CM，连接BM，则CD＝CM. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BCM＝60°，AC＝BC， ∴△ACD≌△BCM(SAS)，∴BM＝AD，∵∠ADC＝ 90°，∴∠BMC＝90°，∴点F在BM上运动，当 DF⊥BM时，DF有最小值，此时DF∥CM，∵D是BC 的中点，∴DF＝ CM，∵BC＝12，∴CM＝CD＝6， ∴DF＝3，∴线段DF的最小值为3. 返回目录 例2　如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，☉O的半径为1，点P是 AB边上的动点，过点P作☉O的一条切线PQ(Q为切点)，则切线PQ的最小值为 ⁠. 2 　 返回目录 【解析】如解图，连接OP、OQ. ∵PQ是☉O的切线， ∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2－OQ2，∴当 PO⊥AB时，线段PQ最短，在Rt△AOB中，OA＝OB ＝3 ，∴AB＝ OA＝6，∴OP＝ ＝3，∴PQ ＝ ＝ ＝2 ，∴切线PQ的最小 值为2 . 返回目录 分类 两定一动一线(定点A，B，动点P) 一定两动两线(定点P，动点A，B) 图形 类型2　两线段最值 1. 线段和最小值 返回目录 分类 两定一动一线(定点A，B，动点P) 一定两动两线(定点P，动点A，B) 方法 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P 作点P关于直线l1的对称点P'， 过点P'作P'B⊥l2于点B，交l1于 点A 结论 (AP ＋ BP)min＝A'B (AP ＋ AB)min＝P'B 注：三条线段求和的最小值，若有一条线段的长是定值，也可视为求两 线段和的最小值问题 返回目录 例 3　如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD 的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的最小值为 ( D ) A.4　　　　B. ＋2　　　C. ＋1　　　D.2 D 返回目录 【解析】如解图，利用正六边形的性质可得点B关于GH的对称点为 E，连接AE交GH于点P，则有PB＝PE，AP＋BP＝AP＋EP≥AE 最小.又易知△AEF为等腰三角形，∠AFE＝120°，作FM⊥AE于点 M，∵∠AFE＝120°，AF＝EF，∴∠FAE＝∠FEA＝30°，AM＝ EM，在Rt△AFM中，AF＝2，∴AM＝ AF＝ ，∴EM＝AM＝ ，从而AE＝2 ，故AP＋BP的最小值为2 .故选D. 【解析】如解图，利用正六边形的性质可得点B关于GH的对称点为 E，连接AE交GH于点P，则有PB＝PE，AP＋BP＝AP＋EP≥AE 最小.又易知△AEF为等腰三角形，∠AFE＝120°，作FM⊥AE于点 M，∵∠AFE＝120°，AF＝EF，∴∠FAE＝∠FEA＝30°，AM＝ EM，在Rt△AFM中，AF＝2，∴AM＝ AF＝ ，∴EM＝AM＝ ，从而AE＝2 ，故AP＋BP的最小值为2 .故选D. 返回目录 例 4　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是AC边上 的定点，AD＝14，点E、点P分别是边AB、BC上的动点，当PD＋PE 的值最小时，AE＝15，则CD＝ ⁠. 【解析】如解图，作点D关于BC的对称点G，连接GE交BC于点P， 则PD＋PE＝GE，当PD＋PE的值最小时，GE最短，即当GE⊥AB 时，GE最短，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵AE＝ 8　 返回目录 ＝CG＝ DG＝8. 【解析】如解图，作点D关于BC的对称点G，连接GE交BC于点P， 则PD＋PE＝GE，当PD＋PE的值最小时，GE最短，即当GE⊥AB 时，GE最短，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵AE＝ 15，∴AG＝30，∵AD＝14，∴CD＝CG＝ DG＝8. 返回目录 2. 线段差最大值(两定一动一线) 图形 方法 作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，与直线l的交点即为P 结论 ＝AB' 返回目录 例 5　(2024龙岩二检)在边长为6的菱形ABCD中，点M，N分别 是AD，AB上的点，且DM＝AN＝1，P是直线AC上的动点，则｜PM－PN｜的最大值为 ⁠. 【解析】如解图，作点D关于 4　 【解析】如解图，在AD上取一点N'，使AN'＝ AN，连接PN'， ∵四边形ABCD是菱形，∴直线AC是菱形ABCD的一条对称轴， ∴PN'＝PN，∴｜PM－PN｜≤MN'， ∴｜PM－PN｜的 最大值为MN'的长，此时点P与点A重合，∵AD＝6，DM＝AN＝ AN'＝1，∴MN'＝AD－AN'－DM＝6－1－1＝4，∴｜PM－ PN｜的最大值为4. 返回目录 3. 胡不归(动点轨迹为直线) 图形 方法 过点A作∠NAD，使 sin ∠NAD ＝k，过点B作BH⊥AD，交MN于点C，垂足为H 结论 (BC＋kAC)min＝(BC＋CH)min＝BH 返回目录 例6　如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋ BD的最小值为 ⁠. 2 　 返回目录 【解析】如解图，过点D作 DH⊥AB于点H，过点C作 CM⊥AB于 点M，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝ 90°，∵tanA＝ ＝2，设AE＝a， 则BE＝2a，∵AB2＝AE2 ＋BE2，∴25＝a2＋4a2，∴a＝ 或 － (舍去)，∴BE＝2a ＝2 ，∵AB＝AC， BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM＝BE＝2 (等腰三角形两腰上 的高相等)，∵∠DBH＝∠ABE， ∴ sin ∠DBH＝ ＝ ＝ ，∴DH＝ BD， ∴CD＋ BD＝CD＋ DH≥CM，∴CD＋ BD≥2 ，∴CD＋ BD的最 小值为2 . 返回目录 类型3　三线段和最小值 分类 一定两动 两动两定一定线段 图形 方法 分别作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″，交OA，OB于点M，N 分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P'，Q'，连接P'Q'，分别交OA，OB于点M，N 结论 (PM＋PN＋MN)min＝P'P″ (PM＋MN＋NQ＋PQ)min＝P'Q'＋PQ 注：四条线段求和的最小值问题中，若有一条线段是定线段，也可视为求三条线段和的最小值问题 返回目录 例 7　如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，E，F分 别是AB，AC边上的动点，连接EF，DE，DF，若AD＝4 ，则 △DEF周长的最小值为 ⁠. 4 　 返回目录 【解析】如解图，分别作点D关于AB，AC的对称点D'，D″，连接 D'D″，AD'，AD″，则AD＝AD'＝AD″，DE＝D'E，DF＝D″F， ∠DAE＝∠D'AE，∠DAF＝∠D″AF，∴∠D'AD″＝∠D'AE＋ ∠DAE＋∠DAF＋∠D″AF＝2∠DAE＋2∠DAF＝2(∠DAE＋ ∠DAF)＝2∠BAC＝120°，∵△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝D'E ＋D″F＋EF≥D'D″，∴△DEF周长的最小值为D'D″的长，过点A作 AG⊥D'D″于点G，∵AD'＝AD″，∠D'AD″＝120°，∴∠D'＝ 30°.∵AD＝4 ，∴AD'＝4 ，∴AG＝ AD'＝2 ，在Rt△AD'G 中，D'G＝ ＝ ＝2 ，∴D'D″＝2D'G ＝4 ，即△DEF周长的最小值为4 . 【解析】如解图，分别作点D关于AB，AC的对称点D'，D″，连接 D'D″，AD'，AD″，则AD＝AD'＝AD″，DE＝D'E，DF＝D″F， ∠DAE＝∠D'AE，∠DAF＝∠D″AF，∴∠D'AD″＝∠D'AE＋ ∠DAE＋∠DAF＋∠D″AF＝2∠DAE＋2∠DAF＝2(∠DAE＋ ∠DAF)＝2∠BAC＝120°，∵△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝D'E ＋D″F＋EF≥D'D″，∴△DEF周长的最小值为D'D″的长，过点A作 AG⊥D'D″于点G，∵AD'＝AD″，∠D'AD″＝120°，∴∠D'＝ 30°.∵AD＝4 ，∴AD'＝4 ，∴AG＝ AD'＝2 ，在Rt△AD'G 中，D'G＝ ＝ ＝2 ，∴D'D″＝2D'G ＝4 ，即△DEF周长的最小值为4 . 返回目录 例 8　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB， AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，连接EF，EM， MN，FN，则四边形EFNM周长的最小值为 ⁠. 20　 返回目录 【解析】如解图，作点E关于BC的对称点E'，作点F关于CD的对称点 F'，连接E'F'，交BC于点M'，交CD于点N'，连接EM'，FN'，则EM'＝ E'M'，FN'＝F'N'，∴EF＋EM＋MN＋FN≥EF＋E'M'＋M'N'＋F'N' ＝EF＋E'F'，此时，四边形EFNM周长的最小值为EF＋E'F'的 长.∵AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，∴AE'＝6＋3 ＝9，AF'＝8＋4＝12，∴在Rt△AE'F'中，E'F'＝ ＝15，在 Rt△AEF中，EF＝ ＝5，∴四边形EFNM周长的最小值为EF ＋E'F'＝5＋15＝20. 【解析】如解图，作点E关于BC的对称点E'，作点F关于CD的对称点 F'，连接E'F'，交BC于点M'，交CD于点N'，连接EM'，FN'，则EM'＝ E'M'，FN'＝F'N'，∴EF＋EM＋MN＋FN≥EF＋E'M'＋M'N'＋F'N' ＝EF＋E'F'，此时，四边形EFNM周长的最小值为EF＋E'F'的长. ∵AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，∴AE'＝6＋3 ＝9，AF'＝8＋4＝12，∴在Rt△AE'F'中，E'F'＝ ＝15，在 Rt△AEF中，EF＝ ＝5，∴四边形EFNM周长的最小值为EF ＋E'F'＝5＋15＝20. 返回目录 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2 ，点D是 BC边上的动点，连接AD，以CD为直径的圆与AD交于点E，连接BE， 则BE的最小值是 ⁠. －1　 返回目录 【解析】如解图，取AC的中点F，连接EF、BF、 CE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2 ， ∴AC＝BC＝2，∴CF＝1，在Rt△BCF中，BF＝ ＝ ，∵点E在以CD为直径的圆上， ∴∠CED＝90°，∴∠CEA＝90°，∴EF＝ AC＝ 1，∵BE≥BF－EF＝ －1，∴BE的最小值为 －1. 返回目录 2. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，BE＝ CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ⁠. 　 返回目录 【解析】如解图，取AB的中点H，连接HG，HC，∵四边形ABCD是正 方形，∴AB＝BC＝a，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABE和△BCF 中， ∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF， ∴∠BAE＋∠ABG＝∠CBF＋∠ABG＝90°， ∴∠AGB＝90°，∴HG＝ AB＝ a， ∵HG、HC的长不变，∴当H、G、C在同一 条直线上时，CG取最小值，在Rt△BCH中，HC＝ ＝ ＝ ， ∴CG的最小值为HC－HG＝ － a＝ . 返回目录 3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，对角线AC与BD交于点O，点N 是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为BD上一动点，则｜PM －PN｜的最大值为 ⁠. 2　 返回目录 【解析】如解图，以BD为对称轴作N的对称点N'，连 接MN'并延长交BD于P，连接NP，根据轴对称性质可 知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，当 P，M，N'三点共线时，｜PM－PN｜有最大值. ∵正方形的边长为8，∴AC＝ AB＝8 ，∵O为 AC的中点，∴AO＝OC＝4 ，∵N为OA中点， ∴ON＝2 ，∴ON'＝CN'＝ON＝2 ，∴AN'＝ 6 ，∵BM＝6，∴CM＝AB－BM＝8－6＝2， ∴ ＝ ＝ ，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝ 90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角 形，∴MN'＝CM＝2，即｜PM－PN｜的最大值为2. 返回目录 4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，∠ADC＝ 120°，点E，F分别在边AD，AB上运动，且满足BF＝ DE，连接 BE，CF，则CF＋ BE的最小值是 　6 　. 6 　 返回目录 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，∴∠ABC＝120°，CD＝AB＝2 ，AD＝BC＝6，如解图，连接CE，∵BF＝ DE，∴ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，又∵∠FBC＝∠EDC＝120°，∴△FBC∽△EDC，∴CF＝ CE，∴CF＋ BE＝ CE＋ BE＝ (CE＋BE)，要求CF＋ BE的最小值，即求CE＋BE的最 小值，作B关于AD的对称点B'，连接B'C交AD于E'， 记BB'交AD于点M，即点E'与点E重合，此时CE＋ BE的值最小，且CE＋BE的最小值为CB'的长， ∵∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∠ABM＝30°， ∴AM＝ AB＝ ，∴BM＝ AM＝3，∴BB'＝ 2BM＝6，∵B'C2＝B'B2＋BC2，∴B'C＝6 ，∴CE ＋BE的最小值为6 ，即CF＋ BE的最小值为 6 . 返回目录 5. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在OA、OB上，且OM＝7，ON ＝24，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值 是 ⁠. 25　 返回目录 【解析】如解图，作M关于OB的对称点M'，作N关于 OA的对称点N'，连接OM'，ON'，M'P，N'Q，M'N'， 则M'P＝MP，N'Q＝NQ，MP＋PQ＋QN＝M'P＋ PQ＋N'Q≥M'N'，当点M'，P，Q，N'共线时MP＋ PQ＋QN有最小值，∴M'N'的长即为MP＋PQ＋QN 的最小值，∴∠N'OQ＝∠NOQ＝30°，∠M'OP＝ ∠MOP＝30°，ON'＝ON＝24，OM'＝OM＝7， ∴∠M'ON'＝90°，∴M'N'＝ ＝ ＝25，∴MP＋PQ＋QN的最小值为25. 返回目录 6. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，G是BC边的中点，E、F分别是 AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为 ⁠. 24　 返回目录 【解析】如解图，作点G关于CD的对称点G'，作点 B关于AD的对称点B'，连接B'G'，B'E，G'F，则EB ＝EB'，FG＝FG'，∴BE＋EF＋FG＋BG＝EB'＋ EF＋FG'＋BG，∵EB'＋EF＋FG'≥B'G'，∴四边 形BEFG周长的最小值为BG＋B'G'，∵正方形 ABCD的边长为8，G是BC的中点，∴BG＝4，BB' ＝16，BG'＝12，∠B'BG'＝90°，∴B'G'＝ ＝20，∴四边形BEFG周长的最小值为4 ＋20＝24. 返回目录 【思路探寻】 (1)根据菱形的性质得△ABC是等边三角形，再利用ASA证明△ABE≌△ACF，即可证明； (2)说明△AEF是等边三角形，再将△ECF的周长转化为EF＋BC，从而求得EF的最小值； (3)根据一线三等角基本模型，说明△CEG∽△BAE，根据对应边成比例 可得CG的长. 返回目录 7. 如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，连 接AC，AE，AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，连接EF交AC于点G. (1)求证：AE＝AF； 证明：∵∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD， ∴△ABC是等边三角形，∠ACD＝∠BAC＝60°， ∴AB＝AC，∠B＝60°，∴∠B＝∠ACD， ∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF. 返回目录 (2)求△ECF周长的最小值； 解：∵△ABE≌△ACF，∴BE＝CF， ∵菱形ABCD的边长为4， ∴△ECF的周长为EC＋CF＋EF＝EC＋BE＋EF＝ BC＋EF＝4＋EF， ∴当EF的长最小时，△ECF的周长最小， ∵AE＝AF，∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF， 即当AE的长最小时，△ECF的周长最小，最小值为4＋AE， ∵点E是BC边上的动点，∴当AE⊥BC时，AE的长最小， 在Rt△ABE中，AB＝4，∠B＝60°，∴AE＝2 ， ∴△ECF周长的最小值为4＋2 . 返回目录 (3)若BE＝1，求CG的长. 解：由(1)知△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BCA＝60°， 由(2)知△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°， ∴∠BAE＝180°－60°－∠BEA＝∠CEG， ∴△CEG∽△BAE，∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴CG＝ . 返回目录 42 $