第4章 第25讲 直角三角形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦直角三角形核心考点，覆盖勾股定理、斜边中线、角平分线、中位线及动点问题等中考高频内容，对接福建中考说明，分析基础巩固与能力提升分层考查要求，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“分层训练+中考真题”模式，如2025福建房梁真题结合中位线与30°角性质，培养几何直观；动点问题分类讨论提升推理能力。通过真题解析与变式训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此实施分层教学，助力学生高效冲刺中考。

数 学 福建 分层练习册 1 第四章　三角形 第25讲　直角三角形 一阶　基础巩固 二阶　能力提升 1. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为 (　C　) A.1　　　　B. 　　　　C.2　　　　D.2 C 返回目录 2. 已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足｜a－b｜＋ ＝ 0，则△ABC是(　C　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 C 返回目录 3. (2025德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向 向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD.若CD＝ 1，则GE＝(　B　) A.3 B.2 C.1 D. B 返回目录 4. (2025陕西)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB 边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　C　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 返回目录 5. (2025福建)某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB， AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为 m. 4　 返回目录 变式某房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8 m， 点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 m. 2　 返回目录 6. (2025扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点 F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的 长是 ⁠. 6　 返回目录 7. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB.若AB＝6，则BE 的长度为 ⁠. 1.5　 返回目录 8. (2025漳州一检)四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推” 成面积为4的平行四边形，则tanα的值为 ⁠. 【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于 点H. ∵BC·AB＝5，BC·AH＝4， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，令AH＝4x， AB＝5x，∴BH＝ ＝3x， ∴tanα＝ ＝ . 　 返回目录 9. (2025福州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝ 4，边AB的垂直平分线DE分别与AC、AB相交于点D、E，则△BCD的 周长为 ⁠. 【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝ ＝ ＝3，由作图可知，DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB， ∴△BCD的周长＝BC＋CD＋DB＝BC＋CD＋DA＝BC＋AC＝3＋4＝ 7. 7　 返回目录 10. (2025厦门二检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线 DE交BC于点D，垂足为E，连接AD.若AD平分∠CAB，BC＝6，则 BD的长为 ⁠. 4　 返回目录 【解析】∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B， ∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠B＝90°，∴∠CAD＝30°， ∴BD＝AD＝2CD，∵BC＝CD＋BD＝6，∴ BD＋BD＝6，∴BD＝ 4. 返回目录 11. (2025广安)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 ⁠. 【解析】∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝ ＝ ＝4 ，由垂线段最短可知，当AD⊥BC时， AD有最小值，∵AB＝AC，∴当AD⊥BC时，D为BC的中点，∴此时 AD＝ BC＝2 . 2 　 返回目录 12. 已知在△ABC中，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm，CD为AB边 上的高. (1) 判断△ABC的形状，并说明理由； 解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形. 返回目录 (2) 求CD的长. 解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°， ∴S△ABC＝ CD·AB＝ AC·BC， ∴ ×CD×10＝ ×8×6， ∴CD＝ cm. 返回目录 13. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线， AB＝2CD，F是CE的中点. (1)求证：∠DCE＝∠ADF； 返回目录 证明：如图，连接DE， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵CE是AB边上的中线，∴E是AB边上的中点， ∴AB＝2DE， ∵AB＝2CD，∴CD＝DE， ∵F是CE中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°， ∴∠FDC＋∠DCF＝90°. ∵∠ADC＝90°，∴∠FDC＋∠ADF＝90°， ∴∠DCE＝∠ADF. 返回目录 (2)若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长. 解：在Rt△ACE中，由勾股定理得EC＝ ＝ ＝10， ∵F是CE的中点，∴CF＝5. ∵∠ADB＝90°，E是AB边上的中点， ∴DE＝AE＝6，∴CD＝DE＝6， 在Rt△CDF中，由勾股定理得DF＝ ＝ ＝ . 返回目录 14. (2025漳州一检)如图，线段EF是等腰直角△ABC的中位线，∠BAC＝ 90°，∠ABC的平分线交EF于点D.若DF＝1，则EF的长为(　C　) A.1＋ B.2＋2 C.2＋ D.3 C 返回目录 【解析】∵线段EF是等腰直角△ABC的中位线，∴DE∥BC， ＝ ＝ ，∴∠EDB＝∠DBC，AE＝EB，∵∠ABC的平分线交EF于点 D，∴∠DBC＝∠EBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED，设AE＝ AF＝x，则AE＝EB＝x，∴EF＝ ＝ ＝ x， ∵DF＝1，∴ED＝ x－1，∴x＝ x－1，解得x＝ ＋1，∴EF ＝ (＋1)＝2＋ .故选C. 返回目录 15. (2025安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中 点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝ ，则AC的长是 (　B　) A.4 B.6 C.2 D.3 B 返回目录 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝ ＝30°.∵D是AC的中点，∴设AC＝2x，则CD＝x.∵ED⊥AC， ∴△EDC是直角三角形，且∠C＝30°，∴EC＝2DE，∵DE＝ ， ∴EC＝2 .在Rt△EDC中，根据勾股定理得EC2＝DE2＋CD2， ∴(2 )2＝()2＋x2，解得x＝3(负值已舍去).∵AC＝2x，∴AC＝6.故 选B. 返回目录 16. (2025平凉)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为 边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点 B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如 图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为(　A　) 图1 图2 A.2 B.2.5 C.2 D.4 A 返回目录 【解析】根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速 运动过程中，△APD的面积先增大再减小，当点P运动到点C 时，如解图1，△APD的面积最大，根据函数图象可得此时 △APD的面积为4，∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝ 90°，D为边AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADP＝8＝ AC2， ∴AC＝4(负值已舍去)，当点P运动到CB的中点时，如解图 2，∵D为边AB的中点，∴PD＝ AC＝2.故选A. 图1 图1 图2 返回目录 17. 【多解法】(2025连云港)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB ＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则 的值为(　A　) A.2 B. C. D. A 返回目录 【解析】解法1(等面积法)：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴AB＝ 2BC，AC＝ BC，设BC＝x，则AB＝2x，AC＝ x，∵AD平分 ∠CAB，∠ACB＝90°，∴点D到AC，AB的距离相等均为CD的长， ∠CAD＝∠BAD，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴CD ＝ BC＝(2 －3)x，∴AD＝ ＝(3 － )x， ∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD，∴ sin ∠CAD＝ sin ∠BAD，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴BE＝ x，∴ ＝ ＝2 . 返回目录 解法2(遇角平分构造等腰三角形)：如解图，延长AC 与BE相交于点F，∵BE⊥AE，AD平分∠BAC， ∴△ABF是等腰三角形，BE＝EF，设BE＝x.由题 意得△ADC∽△BDE，则 ＝ ，∴BD＝ .∵△BDE∽△BFC，∴ ＝ ，即 ＝ ，得AD＝2 x，则 ＝ ＝2 . 返回目录 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AD平分 ∠BAC，交BC边于点D，点E在AB边上.若△BDE是直角三角形，则AE 的长为 ⁠. 5或 　 返回目录 【解析】∵∠C＝90° ，AC＝5，BC＝12，∴AB＝ ＝13.如解图，当∠BED＝90°时，∵∠DAC＝∠DAE，∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(AAS)，∴AC＝AE＝5，DE ＝DC，∴BE＝AB－AE＝13－5＝8.设DC＝DE＝m，则BD＝12－m，根据勾股定理得82＋m2＝(12－m)2，解得m＝ ，∴CD＝ ，BD＝ .如解图，当∠BDE'＝90°时，△BDE'∽△BCA，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴BE'＝ ，∴AE'＝13－ ＝ . 综上所述，AE的长为5或 . 返回目录 19. 如图，在△ABC中，∠C＝90° ，AC＝8 cm，BC＝6 cm.若动点P 从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2 cm.设运动的 时间为t秒. (1)当t＝ 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分； 6　 返回目录 (2)当t为何值时，△BCP的面积恰好等于△ABC面积的一半？ 解：由题意可知，S△ABC＝ AC·BC＝24 cm2. 分两种情况：①当点P在AC上时， ∵S△BCP＝ S△ABC＝12 cm2， ∴ ×6×CP＝12，∴CP＝4 cm，∴2t＝4，解得t＝2； ②当点P在AB上时， ∵S△BCP＝ S△ABC＝12 cm2， ∴P为AB的中点，∴2t＝8＋ ×10＝13，解得t＝6.5. 综上，t为2秒或6.5秒时，△BCP的面积恰好等于△ABC面积的一半. 返回目录 20. 如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝ 90°，连接BE，F是BE的中点，连接AF. 图1 图2 (1)如图1，当点E在边AC上时，连接DF，AD，则∠AFD＝ °， ＝ 　 　； 90　 　 返回目录 【解法提示】∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC ＝90°，∴∠BDE＝∠BAE＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵F是 BE的中点，∴AF＝DF＝BF＝EF，∴∠ABF＝∠BAF，∠FBD＝ ∠FDB，∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，∠DFE＝∠FBD＋∠FDB， ∴∠AFD＝2(∠ABF＋∠DBF)＝2∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠FDA ＝45°，∴△AFD是等腰直角三角形，∴AD＝ AF，∴ ＝ . 返回目录 (2)如图2，当点E在边BC上时，连接DF，AD，(1)中的结论是否还成 立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由. 图2 图1 图2 返回目录 解：(1)中的结论成立，理由如下： 如图2，延长AF至点G，使FG＝AF，连接GE，GD， ∵F是BE的中点，∴BF＝EF， ∵∠AFB＝∠EFG， ∴△AFB≌△GFE(SAS)， ∴AB＝GE，∠BAF＝∠EGF，∠B＝∠GEF， ∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°， ∴GE＝AB＝AC，∠B＝∠GEF＝45°，DE＝DC，∠CED＝∠DCE＝∠ACB＝45°， ∴∠GED＝∠ACD＝90°， 图2 图2 返回目录 ∴△DEG≌△DCA(SAS)， ∴DG＝DA，∠GDE＝∠ADC， ∴∠GDA＝∠EDC＝90°， ∵AF＝GF， ∴∠AFD＝90°，DF＝AF， ∴∠FAD＝∠FDA＝45°， ∴△AFD是等腰直角三角形， ∴AD＝ AF，∴ ＝ ， ∴(1)中的结论成立. 图2 图2 返回目录 40 $