专题2 综合与实践-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学热点与新趋势专题强化练配套课件（福建专用）

数 学 福建 热点与新趋势专题强化练 1 二、新趋势专题强化练 专题二　综合与实践 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽 度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1. 工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2.皮尺的功能 是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测 量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可 及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3.小明利用皮尺测量，求 出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下： 测量过程： (ⅰ)在小水池外选点C，如图4，测得AC＝a m，BC＝b m； 图1 类型一　测量与实践(2023.23) 1. (2023福建)阅读下列材料，回答问题. 返回目录 (ⅱ)分别在AC，BC上测得CM＝ m，CN＝ m；测得MN＝c m. 求解过程： 由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝ ，CN＝ ， ∴ ＝ ＝ ，又∵① ⁠， ∴△CMN∽△CAB，∴ ＝ . 又∵MN＝c，∴AB＝② (m). 故小水池的最大宽度为***m. 图2 图3 图4 (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； ∠C＝∠C　 3c 返回目录 (2)小明求得AB用到的几何知识是 ⁠； 相似三角形的判定与性质　 (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB┞请你同时利用皮尺和测角 仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程. 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分). 返回目录 解：测量过程：(i)在小水池外选点C，如解图，用测角仪在点B处测得 ∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β； (ii)用皮尺测得 BC＝a m. 求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α， ∠BAC＝β，BC＝A. 如解图，过点C作 CD⊥AB，垂足为D. 在Rt△CBD中， cos ∠CBD＝ ，∴ cos α＝ ，∴BD＝a cos α. 同理，CD＝a sin α.在Rt△ACD中，tan∠CAD＝ ， ∴tanβ＝ ，∴ AD＝ ， ∴AB＝BD＋AD＝a cos α＋ (m). 答：小水池的最大宽度AB为 m. 返回目录 课题 测量“中国女排三连冠”纪念碑的高度 成员 组长：小李，成员：小红，小明 工具 皮尺，量角器，细绳，小石头 任务一 制作简易测角仪小李在量角器的中心点O处悬挂一条绑有小石头的细绳OC，制作一个简易测角仪(如图1)，测量时，视线沿着量角器的直径AB瞄准目标D，通过读取量角器的刻度得到∠AOC的度数，就可求得仰角∠BOP的大小. 图1 2. (2025漳州二检)某校九年级数学兴趣小组开展测量物体高度的综合实践活动. 返回目录 任务二 测量纪念碑EF的高度如图2，小红站在点G处，眼睛与地面的距离HG为1.6米，用简易测角仪测得纪念碑顶端E的仰角为45°；小明站在离小红7.8米的点M处，眼睛与地面的距离NM为1.8米，用简易测角仪测得纪念碑顶端E的仰角为37°.(点M，G，F在同一水平直线上) 图2 问题 解决 (1)如图1，若∠AOC＝α，求∠BOP的大小；(用含α的代数式表示) (2)如图2，求纪念碑EF的高度. 参考数据 sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75 返回目录 如解图，过点N作NI⊥EF，过点H作HQ⊥EF，垂足分别为I，Q， ∴IF＝NM＝1.8，QF＝HG＝1.6，IQ＝IF－QF＝0.2，HQ＝GF， MF＝NI. 在Rt△EIN中，tan∠ENI＝ ， 解：∵∠AOC＝α，∠POC＝90°， ∴∠BOP＝180°－∠AOC－∠POC＝90°－α； ∵∠ENI＝37°， ∴ ＝tan37°≈0.75＝ ， ∴设EI＝3k，则IN＝4k， 返回目录 在Rt△HQE中，∠EHQ＝45°， ∴HQ＝EQ＝EI＋IQ＝3k＋0.2. ∴EF＝EI＋IF＝24＋1.8＝25.8(米). 答：纪念碑EF的高度为25.8米. ∵MG＋GF＝MF， ∴7.8＋3k＋0.2＝4k. ∴k＝8， ∴EI＝3k＝24， 返回目录 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数. (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　　　　，b 是 　　　　； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　　　　，d 是 　　　　； (注：用含n的代数式表示c和d.)　　　　　　　 类型二　数学文化主题实践 3. (2025湖北)幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空. 返回目录 活动 一 　 　　 　　 图1 星期 日 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 图2 图3 n c n＋2 d n＋16 4 a 6 b 20 返回目录 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等. (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　　　　， f是 　　　　； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　　　　(用含n的代数式表示g).　　 　 n＋2 n g n＋16 17 2 e 10 18 f 2 3 4 9 10 11 16 17 18 图6 图5 图4 返回目录 (4)n＋8　 【解法提示】∵最小的数为n，则剩余的数为：n＋1，n＋2，n＋7，n＋8，n＋9，n＋14，n＋15，n＋16，∴3(n＋g＋n＋16)＝n＋n＋1＋n＋2＋n＋7＋n＋8＋n＋9＋n＋14＋n＋15＋n＋16，解得g＝n＋8. (3)11，3　 【解法提示】由题意，得：e＝2＋10＋18－17－2＝11，f＝2＋10＋18－10－17＝3. 解：(1)5，11. (2)n＋1，n＋7. 返回目录 4. 综合与实践 【问题背景】刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度.某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作了如图所示的简易计时装置. 【实践操作】该数学综合与实践小组在某天上午7：30开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后，每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 返回目录 记录时间 7：30 7：40 7：50 8：00 8：10 … 流水时间t/min 0 10 20 30 40 … 水面高度h/cm(观察值) 30 29 28.1 27 25.8 … 【建立模型】小组讨论发现：在实验过程中，水面高度值的变化不均匀， 但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系. 【问题解决】(1)利用当t＝0时，h＝30；当t＝10时，h＝29这两组数 据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； 故h＝－ t＋30. 解：设h＝kt＋b，把t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29代入解析式，得 解得 返回目录 (2)在(1)的条件下，当流水时间为90 min时，求水面高度h的值； 解：当t＝90时，h＝－ ×90＋30＝21. 答：水面高度h的值为21cm. (3)在(1)的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实 验结束时的时间. 解：当h＝0时，实验结束，得h＝－ t＋30＝0， 解得t＝300 min＝5 h， 故实验结束时的时间为7：30＋5＝12：30. 返回目录 类型三　项目主题实践(2025.24) 5. 【项目主题】确定不同运动效果的心率范围. 【项目背景】最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数. 某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展 开项目学习. 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系. 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心 率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y/(次/分) 208 203 198 193 188 183 178 173 返回目录 (1)根据表中的信息，可以推断最大心率y(次/分)是年龄x(周岁)的 ⁠ 函数关系(填“一次”“二次”或“反比例”)；求y关于x的函数表达式. 解：设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0). 将x＝12，y＝208和x＝17，y＝203分别代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y＝－x＋220. 一次　 【问题解决】 返回目录 (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 60％～70％ 提升耐力 70％～80％ ①20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在多少 次/分之间？ 解：当x＝20时，y＝－20＋220＝200，200×70％＝140(次/分)， 200×80％＝160(次/分)， ∴他的运动心率应该控制在140次/分至160次/分； 返回目录 解：当x＝30时，y＝－30＋220＝190，190×60％＝114(次/分)， 190×70％＝133(次/分)， ∴她的运动心率应该控制在114次/分至133次/分. ②30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在多少 次/分之间？ 返回目录 6. (2025福建)阅读材料，回答问题. 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝ 67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个(m＋n －1)位的正整数. 分析 探究 问题1　小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 主题 两个正数的积与商的位数探究 返回目录 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n＋1，数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a， b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b.并 且，当c≥a且c≥b时，p＝m＋n－1；当c＜a且c＜b时，p＝m＋n. 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 a×10m－1，b×10n－1，c×10p－1，其中a，b，c均为正数. 返回目录 推广延伸 由A×B＝C，得ab×10m＋n－2＝c×10p－1， 即 ＝10p－m－n＋1.(*) 当c≥a且c≥b时， ≤1，所以 ≤b＜10，又 ≥ ＞ ，所以 ＜ ＜10.由(*)知， ＝1，所以p＝m＋n－1； 当c≥a且c＜b时， 所以 所以1＜ ＜10，与(*)矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时， 　　①　　； 当c＜a且c＜b时， 　　②　　. 综上所述，命题成立. 返回目录 拓展迁移 问题2　若正数A，B的位数分别为m，n，那么 的位数是多少？证明你的结论. (1)解决问题1； 解：小明的猜想不正确.反例：3×4＝12. 返回目录 (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； 证明：①∵ ∴ ∴1＜ ＜10，与(*)矛盾，不合题意； ②∵ ＞1，∴ ＞b＞1， 又∵ ≤ab＜100，∴1＜ ＜100， 由(*)知 ＝10，∴p＝m＋n. 返回目录 (3)解决问题2. 解：当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是m－n＋1； 当A的数字小于B的数字时， 的位数是m－n.证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设 ＝C，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x， 则B×C＝A. 由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c， 此时，m＝n＋x－1，所以x＝m－n＋1； 当a＜b时，必有a＜c，此时，m＝n＋x，所以x＝m－n. 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是m－n＋1； 当A的数字小于B的数字时， 的位数是m－n， 返回目录 类型四　跨学科实践 7. (2025兰州)综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决. 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(％)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 返回目录 生长素浓度x(标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率 y(％) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. 返回目录 说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素浓度抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验. 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： 返回目录 (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的 表达式； 解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c， 将(0，35)，(1，56)，(2，63)代入y＝ax2＋bx＋c， 得 解得 ∴该二次函数的解析式为y＝－7x2＋28x＋35. 返回目录 (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 解：当x＝0时，y＝35，∴种子自然发芽率为35％， ∴当y＝35时，－7x2＋28x＋35＝35，解得x1＝0，x2＝4， 当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝5， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5. 返回目录 8. 【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将 利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作， 再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务. 【知识背景】 如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m0＋ m)·l＝M·(a＋y).其中秤盘质量m0克， 重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与 秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线 的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水 平距离为y厘米. 返回目录 解：由题意得：m＝0，y＝0， ∴10l＝50a，∴l＝5a. 【方案设计】 目标：设计简易杆秤.设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000 克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米. 任务：确定l和a的值. (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； 返回目录 (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平 衡，请列出关于l，a的方程； 解：由题意得：m＝1000，y＝50， ∴(10＋1000)l＝50(a＋50)， ∴101l－5a＝250. 返回目录 (3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和a的值. 解：由(1)(2)可得 解得 返回目录 图1 类型五　操作与实践(2024.24) 9. (2025龙岩二检)根据国际标准，A系列纸为矩形，其中A0纸的面积为1 m2.将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开， 便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸…… 将A4纸按如图1所示的方式折叠. 返回目录 (1)观察图1的折叠过程，可知A4纸矩形的宽与长的比值为 ⁠； 　 图1 返回目录 图2 图3 图4 (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用A4纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张A4纸板分割成5个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为 m2. 请你在图3，图4所示的A4纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积. 返回目录 解：∵A4纸的宽与长的比值为 ， ∴如图2，设AG＝ a，GD＝a， 由题可知KT＝KG＝ GD＝ a， ∴底面积为a· ＝ ＝ ，得a2＝ ， 如图3，按此方法分割，其中AF＝CF＝ED，AC＝BC，可以粘接成无 盖的长方体，∴BC＝AC＝ AB＝ ，AF＝CF＝ AC＝ ， ∴BE＝BD－ED＝ a－ ， ∴底面积为BC·BE＝ ·( a－ )＝ a2＝ × ＝ ； 返回目录 如图4，按此方法分割，其中SH＝BM＝MD，AS＝MN＝ND，可以粘 接成无盖的长方体， ∴BM＝MD＝ BD＝ ， AS＝MN＝ND＝ MD＝ a， ∴BS＝AB－AS＝a－ a， ∴S底面＝BM·BS＝ ·(a－ a)＝ a2＝ × ＝ . 返回目录 10. (2025福州二检)“裁剪1次”是指在单张平面图形(或将此图形经过若干 次折叠后)，用剪刀沿某条路径(图1中，裁剪路径为直线DE)进行一次裁剪 将其裁开的操作.若进行n次裁剪，则记裁剪次数为n.某数学综合实践活 动小组开展裁剪卡纸的活动(裁剪路径均为直线)，将一个长为acm，宽为 bcm的可折叠矩形卡纸(如图2)裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以 下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的 每一条对称轴都是该八边形的对称轴. 图1 图2 图3 返回目录 (1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法(要 求：裁剪次数最少，获得满分)； 解：裁剪次数为1.裁剪方案：将矩形卡纸沿竖直方向对称轴对折，再 沿水平方向对称轴对折，在原矩形四个内角重叠处的适当位置(在原长与 宽的位置小于原长与宽的一半处)裁剪1次，展开即可得到符合要求的八边形卡纸. 返回目录 (2)当a＝26，b＝22时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡 纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； 图3 解：根据题意，得裁剪掉的4个三角形是全等的直角三角形.设这些直 角三角形在矩形宽上的直角边长为m，在矩形长上的直角边长为n， ∵八边形的各边长相等，∴22－2m＝26－2n，即n＝m＋2， 由勾股定理得m2＋(m＋2)2＝(22－2m)2， 化简，得m2－46m＋240＝0， 解得m＝6或m＝40， ∵m＞0，2m＜22，∴m＝6，∴n＝8， ∴得到的八边形卡纸的面积是26×22－4× ×6×8＝476. 返回目录 (3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形.请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长(acm)和宽(bcm)之间的数量关系；若不正确，请说明理由. 解：他们的说法正确.∵正八边形的八条边相等， ∴若能裁剪得到，可同理(2)，得n－m＝ ， 又∵正八边形的八个角都相等，都为135°， ∴裁剪掉的4个全等的直角三角形的两个锐角都为45°， 即这4个三角形是全等的等腰直角三角形， 此时，m＝n，即a＝b， 综上，当a＝b时，能够经裁剪得到的八边形卡纸的形状是正八边形. 返回目录 46 $