31.2.3 相似三角形的性质（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

31.2 相似三角形 31.2.3 相似三角形的性质 第三十一章 相 似 人教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；理解相似三角形面积的比等于相似比的平方；分清相似三角形周长比、对应线段比、面积比三者之间的联系与区别。 能运用相似三角形的性质，进行线段长度、三角形周长、面积的计算；能规范完成相关几何证明，能在复杂图形中识别相似三角形，选择合适性质解题。 经历猜想→逻辑证明→归纳结论→应用辨析完整探究流程，体会类比、转化、从特殊到一般、数形结合的数学思想，提升几何直观与逻辑推理核心素养，养成严谨的推理论证习惯。 知识回顾 1.什么是相似三角形？相似比怎么定义？ 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形； 相似比：相似三角形对应边的比值叫做相似比。 注意： （1）△ABC ∽ △A'B'C’，相似比是 ，前后顺序不能颠倒。 （2）表示两个三角形相似时，要把对应顶点写在对应的位置上，以指明对应角、对应边.如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； （3）如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.   判定三角形相似的常用定理 具体内容 直角三角形相似的判定方法 1 三角形一边平行线定理（A字型或X字型） 平行于三角形一边的直线截其他两边或两边延长线所得三角形与原三角形相似． 2 相似判定SSS型 三边成比例的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 3 相似判定SAS型 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 4 相似判定AA型 两角分别相等的两个三角形相似．  有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2. 三角形相似的判定方法有哪些？ 知识回顾 4 知识回顾 3.两个三角形全等，除了对应边相等、对应角相等之外，还有那些量对应相等？ 全等三角形对应边上的高对应相等 全等三角形对应边上的中线对应相等 全等三角形对应角平分线对应相等 全等三角形周长相等，面积相等 高线 角平分线 中线 ∥ ∥ 新课导入 2 已知 △ABC ∽ △A'B'C'，相似比 k。猜想： 1.两组对应边上的高之比等于多少？ 2.如果换成对应中线、对应角平分线，比值还是一样吗？ 3.两个三角形周长之比、面积之比和相似比又是什么关系？ ——《相似三角形的性质》。 A B C D F E A' B' C' F' E' D' 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还有那些对应关系？ 新知探究 探究点1 相似三角形对应高的比等于相似比 两个相似三角形的相似比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少? 如图，△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为 k， A B C D F E A' B' C' F' E' D' AD和A′D′为△ABC和△A′B′C′的对应的高， 的值是多少？ AE和A′E′是△ABC和△ A′B′C′的中线， 的值是多少？ AF和A′F′是△ABC和△A‘B’C‘的角平分线的值是多少？ 新知探究 探究点1 相似三角形对应高的比等于相似比 两个相似三角形的相似比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少? 如图，△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为 k， A B C D F E A' B' C' F' E' D' ②求的值可以考虑证哪两个三角形相似？ △ABE 与 △A'B'E' 相似 ③求的值可以考虑证哪两个三角形相似？ △ABF与 △A'B'F' 相似 ①求的值可以考虑证哪两个三角形相似？ AD、A'D' 是高，存在直角，尝试证明包含高的小三角形 △ABD 与 △A'B'D' 相似。 新知探究 探究点1 相似三角形对应高的比等于相似比 求证：相似三角形对应边上高的比等于相似比 证明：∵ △ABC ∽ △A'B'C' ∴ ∠B = ∠B'（相似三角形对应角相等） ∵ AD⊥BC，A'D'⊥B'C' ∴ ∠ADB = ∠A'D'B' = 90° ∴ △ABD ∽ △A'B'D’ （两角分别相等的两个三角形相似） ∴ A B C D A' B' C' D' 活动1 已知：如图，△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为 k，AD⊥BC 于 D， A'D'⊥B'C' 于 D'。求证 。 结轮1：相似三角形对应高的比等于相似比。 新知探究 探究点2 相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比 求证：相似三角形对应边上中线的比等于相似比 已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比 k，AE、A'E' 分别是 △ABC 和 △A'B'C' 的对应中线。求证 问题：中线有什么特点？ 能找到一组相似的小三角形吗？ 活动2 A B C E A' B' C' E' 中线平分底边 AE = AC， A'E' = A'C' AE 与A′E′ 是△ABE 与△A′B′E′中对应边 若 △ABE ∽△A′B′E′ 则 需要证 新知探究 探究点2 相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比 证明：∵ △ABC ∽ △A'B’C’ ∴ ，∠B= ∠B’ ∵ AE、A'E' 是中线， ∴ BE = BC，B'E' = B'C' ∴ ∴ ，又 ∠B = ∠B' ∴ △ABE ∽ △A'B'E'（两边成比例且夹角相等两三角形相似） ∴ 已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比 k，AE、A'E' 分别是 △ABC 和 △A'B'C' 的对应中线。求证 A B C D E A' B' C' D' E' 新知探究 探究点2 相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比 已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比 k，AF、A'F' 分别是一组对应内角的角平分线。求证 证明：∵ △ABC ∽ △A'B'C' ∴ ∠CAB = ∠C′A′B′，∠C = ∠C′； ∵ AF、A'F' 是角平分线 ∴ ∠CAF = ∠CAB， ∠C A'F' = ∠C 'A'B' ∴ ∠CAF = ∠C'A'F' 又 ∠C = ∠C' ∴ △ACF ∽ △A′C′F′（两角对应相等的两三角形相似） ∴ 活动3 A B C F A' B' C' F' 新知探究 探究点2 相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比 相似三角形性质（1） 如果不是对应线段，比值还等于相似比吗？ 不一定！必须是两个三角形中位置对应的线段，非对应线段不满足这个结论。 ►相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。 ►推广：相似三角形所有对应线段的比都等于相似比。 新知探究 探究点3 相似三角形周长比与面积之比 （1）如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们周长的比是多少？ 解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， 　　∴． 　　∴AB＝kA'B'，AC＝kA'C'，BC＝kB'C'． 　　∴ ． 　　即． A B C A' B' C' 新知探究 探究点3 相似三角形周长比与面积之比 （2）如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们面积的比是多少？ 解：如图，分别作△ABC和△A'B'C’的 对应高AD和A'D’． ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， 　　∴． ∴ ． A B C D A' B' C' D' 新知探究 探究点3 相似三角形周长比与面积之比 周长比 ，面积比 。 （2）如果已知两个相似三角形面积比是 ，相似比是多少？ 相似比是面积比的算术平方根 。 （3）面积比等于相似比，这句话对不对？为什么？ 错误！面积是底乘高，底扩大 k 倍，高同时扩大 k 倍，面积扩大 k² 倍。 相似三角形的性质（2） （1）如果已知相似比是 ，周长比？面积比？ ►相似三角形周长的比等于相似比. ►相似三角形面积的比等于相似比的平方． 典例分析 例1.如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A = ∠D。若 △ABC 的边 BC 上的高为6，它的面积为 12，求 △DEF 的边 EF 上的高和它的面积。 解：在 △ABC 和 △DEF 中 ∵ AB = 2DE，AC = 2DF， ∴ 又 ∠D = ∠A ∴ △DEF ∽ △ABC， 相似比为 。 ∴， ∵ △ABC 的边 BC 上的高为6， ∴ △DEF 的 EF 边上的高： × 6 = 3 ∵ S△ABC = 12 ∴S△DEF =()² ×12 = 3 答：△DEF 边 EF 上的高为3，面积为 3。 典例分析 典例分析 例1.如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A = ∠D。若 △ABC 的边 BC 上的高为6，它的面积为 12，求 △DEF 的边 EF 上的高和它的面积。 方法小结： 第一步：先判定两个三角形相似，找准相似比（注意前后顺序）； 第二步：求对应线段、周长，直接用相似比； 第三步：求面积，要用相似比的平方； 已知面积比反求边长，需要开平方。 解：如图,连接AF. ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD=BC，AD∥BC. ∵E、F为边BC的三等分点, ∴BC=AD=3EF. ∵AD∥EF, ∴△AOD∽△EOF, ∴ 例2 如图，在▱ABCD中，E、F为边BC的三等分点，连接AE、DF交于点O，若S△OEF=1，求四边形ABFD的面积 S四边形ABFD　　　　 典例分析 ∴=32=9, ∴S△AOD=9S△OEF=9×1=9, S△AOF=3S△OEF=3×1=3, ∴S△AEF=1+3=4, 又∵BF=EF, ∴S△ABF=4, ∴S四边形ABFD=4+3+9=16. 新知巩固 教材P15 1.判断题 (1) 一个三角形各边长分别扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍； 解：正确 边长扩大5倍，新三角形和原三角形相似，相似比 ；角平分线是对应线段，对应线段之比等于相似比，因此角平分线扩大到原来5倍。 解：错误 相似比为9，面积比等于相似比的平方，面积扩大 9² = 81 倍，不是9倍。 (2) 一个三角形各边长分别扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍。 新知巩固 教材P15 2.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，复印前后三角形的相似比是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？ 解：原图边长2cm，复印后边长6cm， 相似比（原图∶复印后的图形）= 。 面积比等于相似比的平方，面积比 = ， 即复印后的三角形面积是原图面积的9倍。 新知巩固 教材P15 3.如图，△ABC ∽ △A'B'C'，AD、BE 是 △ABC 的高，A'D'、B'E' 是 △A'B'C' 的高。求证：。 证明：∵ △ABC ∽ △A'B'C'，相似比设为 k 根据相似三角形性质： 相似三角形对应高的比等于相似比 ∴ ， ∴ 拓展提升 1.如图所示，在△ABC中，AE∶EB＝1∶2，EF∥BC，AD∥BC交CE的延长线于点D，求的值． 解：∵EF∥BC，且AE∶EB＝1∶2， ∴，，△AEF∽△ABC． ∴，． 设S△AEF＝λ(λ＞0)，则S△ABC＝9λ，S△EFC＝2λ， ∴S△BEC＝6λ． ∴． 拓展提升 2.如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D． （1）若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN； （2）若S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，求的值． 解：（1）∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC． ∴． ∵AP∶PB＝1∶2， ∴AP∶AB＝1∶3． ∴． 又S△ABC＝18， ∴S△APN＝2． （2）∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC． ∵AD⊥BC，∴AE⊥PN， 即AE，AD分别为△APN， △ABC对应边上的高， ∴． ∵S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2， ∴． ∴． 真题感知 1.（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 解：连接，并延长交的延长线于，如图所示：  ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 真题感知 2.（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 解：∵， ． ①当时， 有， 即， 解得， ∴； ②当时， 有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时， 或20 ． 或20 课堂小结 知识点总结 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比，等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 逆向使用：已知面积比求相似比，相似比等于面积比的算术平方根。 前提条件：以上性质，只有相似三角形才成立；线段必须是对应线段，非对应线段不能套用。 课堂小结 方法思想总结 探究方法：本节课采用猜想→构造小三角形→证明相似→归纳性质，这是研究几何图形性质的通用思路。 数学思想： 类比思想：类比高的证明方法，推导中线、角平分线的性质； 转化思想：把高、中线、角平分线的比例问题，转化为证明小三角形相似； 数形结合思想：借助图形直观理解比例关系，区分线段比和面积比； 分类讨论思想：在多解题目中，需要分情况讨论对应边 课堂小结 易错提醒 最常见错误：把面积比直接等同于相似比。 记住：线段、周长用相似比；面积要平方，反向求相似比要开方。 忽视"对应"二字：必须是对应的高、中线、角平分线，如果不是对应线段，比值不等于相似比。 相似比顺序不能颠倒：△ABC 与 △A'B'C' 的相似比，是前者边长除以后者边长，写反，比值变成倒数，面积比就会出错。 周长、面积的变化倍数区分： 边长扩大 n 倍，周长扩大 n 倍，面积扩大 n² 倍。 判定相似是前提！所有性质使用前，先要证明两个三角形相似，不相似的三角形，不能使用这套性质。 课后练习 8.把两条直角边分别为30 cm，40 cm的直角三角形按相似比 进行缩小，得到的直角三角形的斜边长和面积各是多少？ 解：原直角三角形，两直角边30cm、40cm， 斜边：= 50 cm， 原面积： × 30 × 40 = 600 cm²。 ∵相似比 k = ∴缩小后的斜边长：50 × = 40 cm ∵面积比 = k² = ()² = ∴缩小后面积：600 × = 384 cm² 答：斜边长40cm，面积 384 cm²。 教材P17 课后练习 10.制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三条边长分别为4 cm，5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一条边长为2 cm，它的另外两条边长分别是多少？你有几种制作方案？ 解：形状相同说明两三角形相似，已知的2cm边，可能和原三角形三条边中任意一条为对应边，分3种情况讨论： 2cm对应原三角形4cm，相似比 ， 另两边：5 × = 2.5 cm，6 × = 3 cm； 2cm对应原三角形5cm，相似比 ， 另两边：4 × = 1.6 cm，6 × = 2.4 cm； 2cm对应原三角形6cm，相似比 ， 另两边：4 × = cm，5 × = cm。 一共3种制作方案。 教材P17 课后练习 11.如图，E是矩形 ABCD 的边 AD 上的点，连接 BE，过点 A 作 AF⊥BE，垂足为 G，交 CD 于点 F。若 ，求 △ADF 与 △BAE 的面积比。 解：∵矩形 ABCD，∠D = ∠BAD = 90°，AF⊥BE， ∴ ∠AGB = 90°， ∠BAG + ∠ABG = 90°，∠BAG + ∠DAF = 90°， ∴ ∠ABG = ∠DAF（同角的余角相等）， 又 ∠D = ∠BAE = 90° ∴ △ADF ∽ △BAE（两角对应相等的两三角形相似）。 ∴相似比= 面积比 = 相似比平方 = 。 教材P17 课后练习 12.如图，把菱形纸片 ABCD 沿着平行于对角线 BD 的直线 EF 折叠，点 C 落在点 C' 处。若 ，求 △C'EF 与菱形 ABCD 的面积比。 解：由题意得： EF∥BD， ∴ △CEF ∽ △CBD，相似比= ， 。 菱形 ABCD 对角线平分菱形面积， S菱形ABCD = 2 S△CBD 由折叠性质：S△C'EF = S△CEF。 设 ，则 ， ∴ 教材P17 谢谢聆听 $