专题1 代数推理-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学热点与新趋势专题强化练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件系统覆盖代数推理、新定义问题、方程与不等式等中考核心考点，依据福建中考说明分析代数推理占30%、新定义问题占25%的考查权重，归纳证明推理、分类讨论、建模应用等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件特色为“真题精讲+方法提炼+变式训练”模式，如2025漳州二检代数推理题示范消元转化法培养推理意识，2025龙岩二检和谐四位数题强化模型观念。通过反证法步骤解析提升逻辑思维，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定专题突破计划，助力中考冲刺。

数 学 福建 热点与新趋势专题强化练 1 二、新趋势专题强化练 专题一　代数推理 1. (2025漳州二检)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＜0，4a＋c＝2b. (1)求证：b＜a； 证明：∵4a＋c＝2b，∴c＝2b－4a， ∵a＋b＋c＜0，∴a＋b＋2b－4a＜0，∴b＜a. (2)若b2－4ac＝1，且c＞0，求b－4a的值. 解：∵a＋b＋c＜0，c＞0，∴a＋b＜0， ∵b－a＜0，∴b－a＋a＋b＜0，即b＜0， ∵4a＋c＝2b，c＞0，∴c＝2b－4a＞0，∴b－4a＞－b＞0， ∴b2－4ac＝b2－4a(2b－4a)＝b2－8ab＋16a2＝(b－4a)2， ∵b2－4ac＝1，∴b－4a＝1(负值已舍去). 2. (2025龙岩二检)若四位数 满足a＋d＝b＋c，则称这样的四位数 为“和谐四位数”.例如：四位数2154，因为2＋4＝1＋5，所以四位数 2154是和谐四位数. (1)3122 　　和谐四位数(填“是”或“不是”)； 解：不是. 解：设这个和谐四位数为 ，即a＋d＝b＋c， ∵a＝1，c＝9，∴1＋d＝b＋9，∴d＝b＋8. ∵0≤d≤9，且d为整数，∴0≤b≤1. 又∵b为整数， ∴当b＝0时，d＝0＋8＝8，此时这个和谐四位数为1098； 当b＝1时，则d＝1＋8＝9，此时这个和谐四位数为1199. 综上，这个和谐四位数为1098或1199. (2)已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； 证明∵M＝ (d≠0)是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字 对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N， ∴a＋d＝b＋c，N＝ ，则M＝ ＝1000a＋100b＋10c＋d， N＝ ＝1000d＋100c＋10b＋a， ∵a＋d＝b＋c，∴M＋N＝1000a＋100b＋10c＋d＋1000d＋100c＋ 10b＋a＝1111(b＋c)， ∵b＋c为整数，且1111÷101＝11， ∴M＋N＝1111(b＋c)一定能被101整除. (3)若M＝ 是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N，求证：M与N的和一定能被101整除. 3. (2025莆田二检)已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： a2＝c－ ①，b2＝1－ ②，a＋b＝c③. (1)小明探究发现结论：a2－b2＝a＋b－1，证明如下：由①－②，得a2－ b2＝c－1④， 由④－③，得a2－b2＝a＋b－1.小红探究发现结论：a－b＝b2， 证明如下：由①－②，得a2－b2＝c－1④，请你将小红的证明过程补 充完整； 证明：由 ，得 ＝ ，∴ ＝ ，∴a－b＝1－ ， 又∵b2＝1－ ，∴a－b＝b2. (2)请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值. 解：∵a－b＝b2，a2－b2＝a＋b－1， ∴a2－2a＋1＝0，解得a1＝a2＝1， ∴c2－c－1＝0，解得c＝ 或c＝ (舍去)， 经检验，c＝ 是原方程的解，且符合题意. 4. (2024福建)已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝ ，mn＝ . (1)求证：b2－12ac为非负数； 证明：∵3m＋n＝ ，mn＝ ， ∴b＝a(3m＋n)，c＝amn. 则b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn＝a2(3m－n)2. ∵a，m，n是实数， ∴a2(3m－n)2≥0，∴b2－12ac为非负数. (2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由. 解：m，n不可以都为整数. 理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数； ②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数. ①当m，n都为奇数时，则3m＋n必为偶数. 又∵3m＋n＝ ，∴b＝a(3m＋n). ∵a为奇数，∴a(3m＋n)必为偶数，这与b为奇数矛盾. ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数. 又∵mn＝ ，∴c＝amn. ∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾. 综上所述，m，n不可以都为整数. 【变式】(2025泉州二检)已知实数a，b，c，m，n满足 m2＋n2＝ ，mn ＝ . (1)当a＞0时，求证：b≥2c； 证明：∵m2＋n2＝ ，mn＝ ， ∴b＝a(m2＋n2)，c＝amn， ∴b－2c＝a(m2＋n2)－2amn＝a(m2＋n2－2mn)＝a(m－n)2， ∵a＞0，(m－n)2≥0，∴a(m－n)2≥0， ∴b－2c≥0，即b≥2c. (2)若m，n为正整数，且 为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一 个为奇数. 证明：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， ∴m2＋n2，mn都为偶数，即 ， 都为偶数， ∴ ＋ ＝ 为偶数，这与 为奇数矛盾，∴假设不成立， ∴m，n至少有一个为奇数. 5. 已知实数k、m、n ，且满足 m2－2m＝3k＋1，n2－2n＝3k ＋1. (1)求证：m＋n的值是定值； 证明：∵m2－2m＝3k＋1，n2－2n＝3k＋1(m≠n)， ∴m，n为关于x的方程x2－2x－(3k＋1)＝0的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，m＋n＝2， ∴m＋n的值为定值. (2)若m，n同号，求k的取值范围； 解：由(1)得mn＝－(3k＋1)， ∵m，n同号， ∴mn＝－(3k＋1)＞0，解得k＜－ ， 又∵(－2)2＋4(3k＋1)＞0，∴k＞－ ， ∴－ ＜k＜－ . (3)当m，n同号时，设p＝ ＋ ，求p的取值范围. 解：由(1)、(2)得m＋n＝2，mn＝－(3k＋1)， ∴p＝ ＋ ＝ ＝ ＝ －2， ∴p＝ －2， ∵－ ＜k＜－ ，∴0＜－(3k＋1)＜1，∴0＜mn＜1， ∴ ＞4，∴ －2＞2，即p＞2. 16 $