专题7 二次函数简单综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学热点与新趋势专题强化练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数简单综合题核心考点，对接中考说明要求，分析近三年考点权重，其中性质综合题占比约55%，几何结合题占比约45%，归纳出平移、定点、平行四边形存在性等8类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题示例+分层突破+素养提升”模式，如2025中考真题示范二次函数平移的“顶点式转化法”，培养运算能力与推理意识，几何结合题通过直角三角形存在性分类讨论强化模型意识，助力学生掌握解题技巧，教师可依此设计专题训练，提升复习效率。

数 学 福建 热点与新趋势专题强化练 1 一、热点专题强化练 专题七　二次函数简单综合题 类型一　二次函数性质综合题(2025.23) 1. 已知二次函数y＝x2－2x＋C. (1)若点(h，c)在该二次函数的图象上，求h的值； 解：∵点(h，c)在该二次函数的图象上， ∴h2－2h＋c＝c，∴h2－2h＝0， 解得h＝0或h＝2. (2)若该二次函数图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后 经过点(－2，5)，求平移后的二次函数表达式. 解：y＝x2－2x＋c＝(x－1)2＋c－1， ∵二次函数图象y＝x2－2x＋c先向左平移2个单位长度，再向上平移3个 单位长度， ∴平移后的二次函数表达式为y＝(x＋1)2＋c＋2， ∵平移后的二次函数图象经过点(－2，5)， ∴5＝(－2＋1)2＋c＋2，解得c＝2， ∴平移后的二次函数表达式为y＝(x＋1)2＋4. 2. (2025福州模拟)已知二次函数y＝x2－2mx＋2m－1. (1)当m＝－3时，若点 ， 是二次函数图象上的点，且a＋ b＝－4，求y1＋y2的最小值； 解：∵m＝3，∴y＝x2＋bx－7， ∵点(a，y1)，(b，y2)是二次函数图象上的点，且a＋b＝－4， ∴b＝－4－a， ∴y1＝a2＋6a－7，y2＝(－4－a)2＋6(－4－a)－7＝a2＋2a－15， ∴y1＋y2＝a2＋6a－7＋a2＋2a－15＝2(a＋2)2－30， ∵2＞0，∴y1＋y2的最小值为－30. (2)若点C 和D 在二次函数的图象上，且点C在对 称轴的左侧，求证：p＜q－1. 证明：∵二次函数y＝x2－2mx＋2m－1， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝－ ＝m， ∵点C在对称轴的左侧，∴a＋1＜m，即a－m＜－1， ∵点C(a＋1，p)和D(2m－a，q)在二次函数的图象上， ∴p＝(a＋1)2－2m(a＋1)＋2m－1＝a2＋2a－2ma， q＝(2m－a)2－2m(2m－a)＋2m－1＝a2－2ma＋2m－1， ∴p－q＝a2＋2a－2ma－(a2－2ma＋2m－1)＝2(a－m)＋1， ∵a－m＜－1，∴2(a－m)＋1＜－1，∴p－q＜－1， ∴p＜q－1. 3. (2025安徽节选)已知抛物线y＝ax2＋bx 经过点 . (1)求该抛物线的对称轴； 解：由题意得，将点(4，0)代入y＝ax2＋bx，得16a＋4b＝0， 即b＝－4a， ∴－ ＝2， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝2. 解：∵a＝ ，抛物线经过点(4，0)， ∴抛物线y＝ax2＋bx的解析式为y＝ x2－2x. 又∵x1＝x2， ∴y2－y1＝(－2x2)－(－2x1)＝(－2x1)－(－2x1)＝ . ∵抛物线y＝ x2－2x过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0，∴ ＞0，∴y2＞y1. (2)点A(x1，y1)和B(x2，y2)分别在抛物线y＝ax2＋bx和y＝x2－2x上(A， B与原点都不重合)，若a＝ ，且x1＝x2，比较y1与y2的大小. 4. (2025福州三模)已知二次函数y＝－kx2＋ x＋3. (1)求证：该二次函数的图象必过定点 ； 证明：∵y＝－kx2＋(k－3)x＋3， ∴当x＝1时，y＝－k＋k－3＋3＝0， ∴该二次函数的图象必过定点(1，0). (2)若P ，Q 在该二次函数的图象上，y1＝y2＋21，求 k的值； 解：由题意得y1＝－k·k2＋(k－3)·k＋3＝－k3＋k2－3k＋3， y2＝－k·(k＋3)2＋(k－3)(k＋3)＋3＝－k3－5k2－9k－6， ∵y1＝y2＋21，∴＋k2－3k＋3＝－5k2－9k－6＋21， 解得k＝－2或k＝1. (3)若该二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为x1，x2，求 证： ＞0. 证明：令y＝－kx2＋(k－3)x＋3＝0， ∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴Δ＝(k－3)2＋12k＝(k＋3)2＞0，x1＋x2＝ ， ∴2－x1－x2＝2－(x1＋x2)＝2－ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＞2. 类型二　二次函数与几何图形结合的综合题 5. (2025南平一检)如图，已知抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于点A， B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)求点A，B，C的坐标； 解：在y＝－x2＋3x＋4中，当x＝0时，y＝4， 所以点C(0，4)， 当y＝0时，－x2＋3x＋4＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴点A(－1，0)，B(4，0). (2)点P(m，n)是线段BC上方抛物线上的一动点，过P作y轴的平行线， 交线段BC于点Q，连接PC，OQ. 当四边形OCPQ为平行四边形时，求 点P的坐标. 解：由(1)知B(4，0)，C(0，4) ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，OC＝4， ∵四边形OCPQ为平行四边形， ∴PQ＝OC＝4，PQ∥OC，即PQ⊥x轴， 设P(m，－m2＋3m＋4)，Q(m，－m＋4)， ∴PQ＝－m2＋3m＋4－(－m＋4)＝－m2＋4m， 即－m2＋4m＝4，解得m1＝m2＝2，当m＝2时，n＝6，∴P(2，6). 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过点 A 和B ，与x轴的另一个交点为C，其顶点D的横坐标为1. (1)求抛物线的解析式； 解：∵抛物线经过点A(－1，0)和B(0，3)，且 顶点横坐标为1， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)求四边形ACDB的面积； 解：令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3，∴C(3，0)， 当x＝1时，y＝－1＋2＋3＝4，∴D(1，4)， 如图，连接OD， ∵S△AOB＝ ×1×3＝ ，S△OBD＝ ×3×1＝ ， S△OCD＝ ×3×4＝6， ∴S四边形ACDB＝S△AOB＋S△OBD＋S△OCD＝ ＋ ＋6＝9. (3)若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m 取何值时，使得AN＋MN有最大值，并求出最大值. 解：当x＝m时，y＝－m2＋2m＋3(0＜m＜3)， ∴MN＝－m2＋2m＋3，AN＝m＋1， ∴AN＋MN＝m＋1－m2＋2m＋3＝－m2＋3m ＋4， ∵－1＜0， ∴当m＝ 时，AN＋MN有最大值， 最大值为－ ＋3× ＋4＝ . 7. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴交于 A ，B 两点，与y轴交于点C . (1)求抛物线的表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两 点，与y轴交于点C(0，－3)， 设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)， ∴－3＝(0＋1)×(0－3)a，解得a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3； (2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交 直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标； 解：如解图1，设直线BC解析式为y＝k1x＋b1且过B(3，0)， C(0，－3)， ∴ 解得 ∴直线BC解析式为y＝x－3， ∵P是直线BC下方抛物线上的一动点， 过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E， ∴设P(t，t2－2t－3)，则E(t，t－3)， 图1 ∴PE＝t－3－(t2－2t－3)＝－(t－ )2＋ ， ∵－1＜0，∴当t＝ 时，PE有最大值为 ， 此时P(，－ ). 图1 (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点M，B，C为顶点的三 角形是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说 明理由. 解：存在点M，使得以点M，B，C为顶点的三角形是直角三角形， 点M的坐标为(1，2)或(1， )或(1， )或(1，－4). 【解法提示】如解图2，∵抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，∴对称轴为直线x＝1，∵点M在对称轴上，∴设M(1，m)， ∵B(3，0)，C(0，－3)，∴BM2＝(3－1)2＋m2＝m2＋4，BC2＝(3－0)2＋ ＝18，MC2＝(0－1)2＋(－3－m)2＝m2＋6m＋10，①当BM2＋BC2＝MC2时，∴m2＋4＋18＝m2＋6m＋10，解得m＝2，∴M1(1，2)；②当BM2＋MC2＝BC2时， ∴m2＋4＋m2＋6m＋10＝18，解得m＝ ， ∴M2(1， )或M3(1， )； ③当BC2＋MC2＝BM2时，∴18＋m2＋6m＋10＝m2＋4， 解得m＝－4，∴M4(1，－4). 综上，符合条件的点M的坐标为(1，2)或(1， )或 (1， )或(1，－4). 图2 22 $