专题4 圆的相关证明与计算-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学热点与新趋势专题强化练配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“圆的相关证明与计算”核心考点，对接福建中考说明，分析近三年真题（如2022福建21题），归纳与圆性质、切线有关的证明（全等、相似）和计算（弧长、面积）等常考题型，突出中考备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼”模式，如通过2025广西真题示范辅助线添加（连半径、作垂线）和全等证明，培养几何直观与推理能力。针对切线证明、扇形面积计算等考点，提供“三步走”解题模板，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此高效开展专题复习，提升冲刺效果。

数 学 福建 热点与新趋势专题强化练 1 一、热点专题强化练 专题四　圆的相关证明与计算 类型一　与圆的性质有关的证明与计算(2022.21) 1. (2025广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，BC＝CD. (1)求证：△BOC≌△DOC； 证明：∵☉O的半径为OD，OB，OC，OA， ∴OA＝OB＝OD＝OC， ∵OC＝OC，BC＝DC，∴△BOC≌△DOC(SSS). 返回目录 (2)求∠ABD的度数. 解：∵OC＝OB，∠ABC＝65°， ∴∠OCB＝∠ABC＝65°， ∴∠COB＝180°－65°×2＝50°， ∵△BOC≌△DOC，∴∠DOC＝∠COB＝50°， ∴∠DOB＝100°，∵OD＝OB， ∴∠ABD＝∠ODB＝ ＝40°. 返回目录 2. (2022福建)如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC交☉O于点D， DF∥AB交BC于点E，交☉O于点F，连接AF，CF. (1)求证：AC＝AF； 证明：∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D， ∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF. 返回目录 (2)若☉O的半径为3，∠CAF＝30°，求 的长(结果保留π). 解：如图，连接AO，CO， 由(1)得∠AFC＝∠ACF，∵∠CAF＝30°， ∴∠AFC＝ ＝75°， ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°， ∴ 的长＝ ＝ . 返回目录 3. 如图，在☉O中， ＝ ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交 于点F，连接BC. (1)求证：AC2＝AB·AF； 证明： ∵ ＝ ，∴∠ACD＝∠ABC， 又∵∠BAC＝∠CAF，∴△ACF∽△ABC， ∴ ＝ ，即AC2＝AB·AF. 返回目录 (2)若☉O的直径为8cm，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积. 解：如图，连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E， ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°， 又∵OA＝OC，∴∠AOE＝∠COE＝ ×120°＝60°， 在Rt△AOE中，OA＝4cm，∴OE＝OA· cos 60°＝2(cm)， ∴AE＝ ＝2 cm，∴AC＝2AE＝4 cm， 则S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝ － × 4 ×2＝(－4 )cm2. 返回目录 4. 如图，四边形ABCD内接于☉O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE ＝AB，连接ED. (1)求证：BD＝ED； 证明：∵∠1＝∠2，∴ ＝ ，∴AD＝DC. ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°， ∵∠ECD＋∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠ECD. 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED，∴BD＝ED. 返回目录 (2)若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值. 解：如图，过点D作DM⊥BE于点M， ∵BC＝6，CE＝AB＝4， ∴BE＝BC＋CE＝10， ∵BD＝ED，DM⊥BE， ∴BM＝ME＝ BE＝5，∴CM＝BC－BM＝1. ∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°， ∴DM＝BM·tan∠2＝5× ＝ ， ∴tan∠DCB＝ ＝ . 返回目录 证明：解法一：如解图1，连接OD， ∵直线BC与☉O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°， ∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD， ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠CDB＋∠ODB＝∠CBD＋∠OBD， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥CD， ∵OD为☉O的半径，∴直线CD是☉O的切线. 图1 类型二　与切线有关的证明与计算(2020.21，2023.21) 5. 【多解法】(2025南平一检)如图，AB是☉O的直径， 直线BC与☉O相切于点B，点D是☉O上的一点 ，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E. 求证： (1)直线CD是☉O的切线； 返回目录 解法二：如解图2，连接OD，OC， ∵直线BC与☉O相切于点B， ∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°， ∵CD＝CB，OD＝OB，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC(SSS)， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥CD， ∵OD为☉O的半径，∴直线CD是☉O的切线. 图2 返回目录 (2)∠C＝2∠DBE. 证明：如解图1，连接OD， ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠DBE. ∵∠DOE＝∠ODB＋∠DBE， ∴∠DOE＝2∠DBE， 由(1)知OD⊥CE，∴∠ODE＝90°， ∴∠DOE＝90°－∠E， ∵∠OBC＝90°，∴∠C＝90°－∠E， ∴∠C＝∠DOE＝2∠DBE. 图1 返回目录 6. (2025宁德二检)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，对角线AC是 ☉O的直径，点E在AC的延长线上，DE与☉O相切，且∠AED＝ ∠ACB. (1)求证：∠BAC＝2∠DAC； 证明：如图，连接OD. ∵DE与☉O相切，∴∠ODE＝90°， ∴∠DOE＋∠AED＝90°. ∵AC是☉O的直径，∴∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°. ∵∠AED＝∠ACB，∴∠BAC＝∠DOE. ∵∠DOE＝2∠DAC，∴∠BAC＝2∠DAC. 返回目录 (2)若☉O的半径为3，CE＝2，求BC的长. 解：如图， ∵☉O的半径为3，CE＝2， ∴AC＝6，OD＝3，OE＝OC＋CE＝3＋2＝5. 在Rt△ODE中，根据勾股定理，得DE＝ ＝ ＝4. 由(1)知，∠BAC＝∠DOE，∠OED＝∠ACB， ∴△ABC∽△ODE，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得BC＝ . 返回目录 7. (2025眉山)如图，AB为☉O的直径，点C为圆上一点，过点C作☉O的 切线，交AB的延长线于点D，过点B作BE∥DC，交☉O于点E，连接 AE，AC. (1)求证： ＝ ； 证明：如图，连接OC，OE，BC，则OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA，∵CD是☉O的切线， ∴OC⊥CD，∴∠BCD＋∠BCO＝90°， ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠OCA＋∠OCB＝90°，∴∠OCA＝∠BCD， ∴∠BAC＝∠BCD，∵BE∥CD， ∴∠CBE＝∠BCD，∴∠BAC＝∠EBC，∴ ＝ . 返回目录 (2)若∠BAE＝60°，☉O的半径为2，求AC的长. 解：由(1)知 ＝ ， ∴∠EAC＝∠BAC＝ ∠BAE＝30°， ∵☉O的半径为2，∴AB＝4， ∴在Rt△ABC中， AC＝AB· cos ∠BAC＝4× ＝2 . 返回目录 8. 如图，PA是☉O的切线，A为切点.点B为☉O上一点，射线PB，AO 交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F， 作DE⊥BP，垂足为E. AD＝BE，BD＝AF. 返回目录 证明：如图，连接OB， ∵PA是☉O的切线，∴∠OAP＝∠1＋∠3＝90°. ∵DF⊥AB，DE⊥BP，∴∠ADF＝∠BED＝90°， ∵BE＝AD，BD＝AF，∴Rt△DEB≌Rt△FDA(HL)， ∴∠3＝∠4，∵OA＝OB， ∴∠1＝∠2，∠1＋∠3＝∠2＋∠4， ∴∠OBP＝∠2＋∠4＝90°，即OB⊥BP， ∵OB是☉O的半径，∴PB是☉O的切线. (1)求证：PB是☉O的切线； 返回目录 (2)若AP＝4， sin C＝ ，求☉O的半径. 返回目录 解：如图，∵OB⊥BP，∠OAP＝90°， ∴ sin C＝ ＝ ＝ ，设OB＝2x，OC＝3x， ∴BC＝ ＝ x，OA＝OB＝2x， ∵PB是☉O的切线，PA是☉O的切线，∴PB＝PA＝4， ∵ sin C＝ ＝ ，∴ ＝ ，解得x＝ ， ∴☉O的半径为 ×2＝ . 返回目录 22 $