三角形中的“特征”线 课件-2026届高三数学二轮复习

探源点1　三角形中的“特征”线 板块一　三角函数与平面向量 高考定位 与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点,命题形式灵活新颖,实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形,难度中档或偏下. 高考定位 精准强化练 类型一　三角形的角平分线 类型二　三角形的中线 类型三　三角形的高线 母题突破 类型一　三角形的角平分线 (人教B版必修四P20T7)已知AD是△ABC的角平分线,且AC=2,AB=3,A=60°,求AD的长. 母题1 法一　由S△ABC=S△ABD+S△ACD,得 ×2×3×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×3×AD×sin 30°, 解得AD=. 4 法二　在△ABC中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=4+9-12×=7. ∴BC=, ∴cos B===, 由角平分线的性质得==, ∴BD=BC=, ∴AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B =9+-2×3××=. ∴AD=. (2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　.  真题1 2 由余弦定理得cos 60°=, 整理得AC2-2AC-2=0,得AC=1+. 由角平分线长公式得AD= ==2. 如图,在△ABC中,AD是△ABC中∠A的角平分线,且交BC于点D,则线段AD是△ABC的一条角平分线,在解三角形有关角平分线问题常用到以下方法: 规律方法 (1)角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD; (2)角平分线定理:=; (3)角平分线长公式:AD=; (4)三角形边与面积的比值关系:==; (5)三角形的面积关系:S△ABD+S△ACD=S△ABC. (2025·张家口模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D为边BC上一点,且满足(+)·=0. (1)证明:AD=b; 样题1 记CD的中点为E, 则+=2, 因为(+)·=2·=0, 所以AE⊥BC,所以AD=AC=b. 8 (2)若AD为∠BAC的平分线,且=+,求sin A. 因为=+, 所以-=2(-). 所以=2,即BD=a,DC=. 又因为AD为∠BAC的平分线, 所以=,即c=2b. 由(1)知AD=AC=b, =+两边平方且把c=2b,AD=AC=b代入, 整理得b2=8b2cos∠BAC,解得cos∠BAC=. 所以sin A==. (2025·厦门调研)记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin2C+sin2B-sin2A=sin BsinC. (1)求A的值; 样题2 因为sin2C+sin2B-sin2A=sin Bsin C, 由正弦定理可得c2+b2-a2=bc, 所以cos A==, 又因为△ABC为锐角三角形, 所以A∈,所以A=. 11 (2)已知A的角平分线交BC于点D,求的取值范围. 因为=== === = =+, 因为△ABC为锐角三角形, 所以 解得<B<,所以tan B>, 所以<+<2, 即. 类型二　三角形的中线 (苏教版必修二P88例6)如图,AM是△ABC的边BC上的中线,求证:AM=. 母题2 设∠AMB=α,则∠AMC=180°-α. 在△ABM中,由余弦定理,得 AB2=AM2+BM2-2AM·BMcos α. 在△ACM中,由余弦定理,得AC2=AM2+MC2-2AM·MCcos(180°-α). 14 因为cos(180°-α)=-cos α, BM=MC=BC, 所以AB2+AC2=2AM2+BC2, 从而AM=. (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; 真题2 因为D为BC的中点, 所以S△ABC=2S△ADC =2··AD·DCsin∠ADC =2××1·DC·=, 解得DC=2, 所以BD=DC=2,a=4. 因为∠ADC=,所以∠ADB=. 在△ABD中,由余弦定理, 得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB =1+4+2=7, 所以c=. 在△ABD中,由正弦定理, 得=, 所以sin B==, 又B∈, 所以cos B==, 所以tan B==. (2)若b2+c2=8,求b,c. 法一　因为D为BC的中点,所以BD=DC. 因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos∠ADB=-cos∠ADC, 则在△ABD与△ADC中,由余弦定理, 得=-, 得1+BD2-c2=-(1+BD2-b2), 所以2BD2=b2+c2-2=6,所以BD=, 所以a=2. 又S△ADC=××1×sin∠ADC=, 得sin∠ADC=1,所以∠ADC=, 所以b=c==2. 法二　因为D为BC的中点,所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中,由余弦定理, 得cos B==, 整理,得2BD2=b2+c2-2=6, 得BD=,所以a=2. 以下同法一. 如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,在解三角形有关中线问题常用到以下方法: 规律方法 (1)三角形的面积关系: S△ABD=S△ACD=S△ABC; (2)角的互补关系:∠ADB+∠ADC=π; (3)中线长定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2); (4)中线的向量表示:=(++2||||cos∠BAC). (2025·青岛质检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos C=-. (1)求角B; 样题3 由cos C=-, 得2bcos C=2a-c, 利用正弦定理得2sin Bcos C=2sin A-sin C, 即2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C, 化简得sin C=2sin Ccos B. 因为C∈(0,π),sin C≠0,所以cos B=, 又因为B∈(0,π),所以B=. (2)若△ABC外接圆的半径为,且AC边上的中线长为,求△ABC的面积和周长. 由正弦定理得=2,得b=3, 设D为AC边上的中点, 则AD=CD=,BD=. 法一　在△BCD中,cos∠CDB=, 在△ABD中,cos∠ADB=, 因为∠ADB+∠CDB=π, 所以cos∠ADB+cos∠CDB=0, 所以a2+c2=17, 由余弦定理b2=c2+a2-2accos B, 可得9=c2+a2-ac,即ac=8, 由三角形的面积公式得S△ABC=acsin B=2, 又(a+c)2=a2+c2+2ac=17+2×8=33, 所以a+c=, 所以△ABC的周长为3+. 法二　利用向量的加法法则得2=+, 两边平方得4=++2·, 即25=c2+a2+ac, 由余弦定理b2=c2+a2-2accos B, 得9=c2+a2-ac, 两式相减得16=2ac,即ac=8, 由三角形的面积公式得S△ABC=acsin B=2, 由25=c2+a2+ac, 得(a+c)2-ac=25,a+c=, 所以△ABC的周长为3+. 类型三　三角形的高线 (人教A版必修二P54T20节选)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p=(a+b+c),求证: (1)三角形的面积S=; 母题3 设三角形的三边a,b,c的对角分别为A,B,C, 则由余弦定理可知cos C=, 26 S=absin C=ab =ab = = = = ∵p=(a+b+c), ∴p-a=(-a+b+c), p-b=(a-b+c),p-c=(a+b-c), ∴S= =, ∴三角形的面积S=. (2)把边BC,AC,AB上的高分别记为ha,hb,hc,则 ha=, hb=, hc=. ∵边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc, 三角形的面积S=, ∴S= =aha=bhb=chc, 可解得ha=, hb=, hc=. (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; 真题3 在△ABC中,A+B=π-C, 因为A+B=3C, 所以3C=π-C,所以C=. 因为2sin(A-C)=sin B, 所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), 所以2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Acos C=3cos Asin C, 易得cos Acos C≠0, 所以tan A=3tan C=3tan=3, 又sin A>0,tan A=,sin2A+cos2A=1, 所以sin A=. (2)设AB=5,求AB边上的高. 由(1)知sin A=,tan A=3>0, 所以A为锐角,故cos A=, 所以sin B=sin=(cos A+sin A) =×=. 由正弦定理=, 得AC===2, 故AB边上的高为AC·sin A=2×=6. 1.高线两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关. 2.求三角形高线长的方法: (1)等面积法,即求某边上的高,需要先求出面积和底边的长度. (2)在高产生的直角三角形里去求; (3)边、角比法,h1,h2,h3分别为△ABC边a,b,c上的高,则 h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶. 规律方法 (2025·无锡质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=sin Atan . (1)求C; 样题4 △ABC中,=sin Atan , 由正弦定理和同角三角函数的商数关系, 得=, 由倍角公式得=. 又因为A,C为△ABC的内角, 所以sin A≠0,cos ≠0. 所以sin2=,sin =, 则有=,得C=. (2)若a=8,b=5,CH是边AB上的高,且=m+n,求. 法一　a=8,b=5,C=,·=||·||·cos C=abcos C=5×8×cos =20, 所以=b2=25,=a2=64, 由题意知CH⊥AB,所以·=0, 即(m+n)·(-) =(m-n)(·)-m+n =20(m-n)-25m+64n=0. 所以5m=44n,所以=. 法二　在△ABC中, 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=82+52-2×8×5×=49,所以c=7. 又因为S△ABC=absin C=c·CH, 所以CH===, 所以AH==,=, 所以=+=+(-) =+. 由平面向量基本定理知,m=,n=, 所以=. 【精准强化练】 1.(2025·嘉兴模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,asin B= bsin. (1)求角A; 由正弦定理可得asin B=bsin A, 因为asin B=bsin, 所以sin A=sin, 因为A∈(0,π),所以A+A+=π,所以A=. 2 3 4 1 (2)作角A的平分线与BC交于点D,且AD=,求b+c. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD=. 因为S△DAB+S△DAC=S△ABC, 所以c·ADsin∠DAB+b·ADsin∠DAC =c·bsin∠BAC, 即c+b=cb,即c+b=cb, 2 3 4 1 又由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc, 把a=3,b+c=cb代入化简得(b+c)2-3(b+c)-18=0, 解得b+c=6或b+c=-3(舍去), 所以b+c=6. 2 3 4 1 2.(2025·北京卷)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; 因为cos A=-,A∈(0,π), 所以sin A==, 由正弦定理,得c==6. 2 3 4 1 (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC的高. 条件①a=6;条件②bsin C=;条件③△ABC面积为10. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 如图所示, 若△ABC存在,则设其BC边上的高为AD, 若选①,a=6,因为c=6,所以C=A, 因为cos A=-<0,这表明此时△ABC有两个钝角,而这是不可能的,所以此时△ABC不存在. 2 3 4 1 若选②,bsin C=, 由正弦定理,得sin B==, 因为cos A=-,所以A∈,所以B一定为锐角,即cos B=. 因为A+B+C=π,所以cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B =-×+×=<1, 所以△ABC存在且唯一, 2 3 4 1 在Rt△ABD中,AD=csin B=6×=, 所以△ABC存在且唯一,且BC的高为. 若选③,△ABC的面积是10, 则S△ABC=bcsin A=b×6×=10, 解得b=5, 由余弦定理可得a= ==9, 2 3 4 1 因为b=5,c=6, 所以b+c>a,a+c>b,a+b>c, 所以△ABC存在且唯一. 因为S△ABC=aAD=10, 所以AD=. 所以△ABC存在且唯一,且BC的高为. 2 3 4 1 3.(2025·惠州模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tan A, tan B,tan C均为整数. (1)求tan A,tan B,tan C的值; 由a<b<c,得A<B<C. 由A+B+C=π,得A+B+C>3A, 故0<A<,所以0<tan A<, 因为tan A为整数,所以tan A=1, 所以A=,B+C=. 2 3 4 1 因为B<C,所以=B+C>2B, 则<B<, 所以1<tan B<tan . 由tan==-1, 得tan2-2tan-1=0, 解得tan=1+或tan=1-(舍去), 故1<tan B<1+, 2 3 4 1 又2<1+<3,tan B为正整数,则tan B=2, 所以tan C=-tan(A+B)=-=-=3. 综上,tan A=1,tan B=2,tan C=3. 2 3 4 1 (2)设AC的中点为D,求∠CDB的余弦值. 法一　由(1)知,tan∠ABC=2,tan C=3. 则sin∠ABC=,cos C=, 在△ABC中,由正弦定理得=, 则b==, 因为AC的中点为D, 2 3 4 1 所以CD=b=, 在△DBC中,由余弦定理得BD2=CD2+CB2-2CD·CB·cos C =+a2-2×a·a·=a2, 所以BD=a, 所以cos∠CDB=cos C=. 2 3 4 1 法二(向量法)　由(1)可知cos∠ABC=,cos C=,sin C=, 因为D是AC的中点, 所以=(+), 则|BD|2=(||2+||2+2||||·cos∠ABC)=,(*) 在△ABC中,由正弦定理得=, 则c==,① 将①代入(*)式整理得||=a, 所以cos∠CDB=cos C=. 2 3 4 1 4.(2025·西安模拟)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是斜边AC上的一点,AB=AD,BC=. (1)若∠DBC=60°,求∠ADB和DA; 由∠DBC=60°,∠ABC=90°, 可得∠ABD=30°. 因为AB=AD,所以在△ADB中, 由正弦定理可得=, 2 3 4 1 即sin∠ADB=sin∠ABD=, 则∠ADB=120°或60°, 又因为∠DBC=60°,故∠ADB=120°, 因此∠BDC=60°,又因为∠DBC=60°, 所以△DBC是等边三角形, 所以DB=DC=BC=, 又在△ADB中,∠ABD=30°,∠ADB=120°, 故∠BAD=30°,所以DA=DB=. 2 3 4 1 (2)若BD=,证明:CD=2DA. 令∠BDC=θ,DA=x,DC=y, 因为AB=AD,则AB=x. 在△BDC与△BDA中, 由余弦定理可得 2 3 4 1 消去cos θ,得=, 整理得(y-2x)(xy+2)=0, 所以y=2x,即CD=2DA. 2 3 4 1 $