6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第二课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第二课时） 复习回顾 知识点1　平面向量数乘的坐标运算 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)． 知识点2　平面向量共线(平行)的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔____________． x1y2－x2y1＝0 复习回顾 问题引领，深入思考 1．在△ABC中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标是什么？ 题型一——平面向量数乘运算的坐标表示 例 1　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 题型一——平面向量数乘运算的坐标表示 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 题型一——平面向量数乘运算的坐标表示 (－1，2) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 题型一——平面向量数乘运算的坐标表示 (3)已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，求a和b. 【解析】　∵2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(2，－8)＋(－8，16)＝(－6，8)，∴a＝(－3，4)． 又∵2b＝(a＋b)－(a－b)＝(10，－24)， ∴b＝(5，－12)． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 题型一——平面向量数乘运算的坐标表示 (4)已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，试用b，c表示a. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 总结 (1)数乘向量的坐标运算可类比数的运算进行运算． (2)利用两个或两个以上已知向量的坐标表示一个坐标确定的向量时，可利用数乘向量的坐标运算及待定系数法构造方程组求解． 巩固练习 (1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　) A．(1，－2)　　　　　　 B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) √ 【解析】　∵a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)， ∴b＝(3，2)－2a＝(3，2)－2(1，2)＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A. 巩固练习 √ 题型二——向量共线的坐标表示 例 2 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 总结 两共线平面向量的坐标运算公式的应用： (1)已知两个向量共线，求含有参数的点或向量的坐标，先求参数的值．可利用两个共线向量的坐标公式列方程． (2)求解与向量a，b的线性运算有关的共线问题，应先求线性运算的向量的坐标，再利用共线向量的坐标公式求解． 巩固练习 (1)已知a＝(1，m)，b＝(3m，2m＋1)，若a∥b，则m＝________． 巩固练习 (2)设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________． 2 【解析】　由已知条件可得λa＋b＝(2＋λ，3＋2λ)，∵(λa＋b)∥c，∴－4(3＋2λ)＝－7(2＋λ)，解得λ＝2. 题型三——向量共线的判定 例 3　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 题型三——向量共线的判定 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 18 题型三——向量共线的判定 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 19 总结 根据三点的坐标研究三点共线的方法： 已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求解三点共线问题，可从三点中选定一个点作为起点，另外两点作为终点构造向量，分别求出向量的坐标，利用平面向量平行的坐标公式求解． 巩固练习 已知A(1，2)，B(2，3)，C(5，x)三点共线，则x＝________． 6 题型四——定比分点问题 例 4　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 22 题型四——定比分点问题 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 23 题型四——定比分点问题 (3，4) 【解析】　(2)同(1)中两种方法，可得P(3，4) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 24 总结 涉及定比分点的问题的两种思路： (1)利用向量共线定理列方程组求解． (2)利用定比分点坐标公式求解． 本例(1)中定比λ＝2>0，P在线段M1M2上，为内分点； 本例(2)中定比λ＝－2<0，P在线段M1M2的延长线上,为外分点. 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 当堂检测 1．【多选题】下列各组的两个向量共线的是(　　) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(－7，14) C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4) √ √ 解析　对于A，－2×6－4×3≠0；对于B，1×14－(－7)×(－2)＝0；对于C，2×2－3×3≠0；对于D，－3×(－4)－6×2＝0.∴a2与b2共线，a4与b4共线，其余两组不共线． 当堂检测 √ 当堂检测 45° 当堂检测 (8，－3)或(5，0) 当堂检测 当堂检测 当堂检测 用数学的眼光看世界 知识点3　定比分点坐标公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若eq \o(P1P,\s\up16(→))＝λeq \o(PP2,\s\up16(→))(λ≠－1)，P(x，y)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).)) 特别地，若线段P1P2的中点为P0(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为中点坐标公式． 答：Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))). 2．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b时一定有eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)成立吗？ 答：不一定．当b1，b2均不为0时，才有eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)成立． (1)已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋λeq \o(AC,\s\up16(→))(λ∈R)． ①当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？ ②若点P在第三象限，求λ的取值范围． 【解析】　设点P的坐标为(x1，y1)，则eq \o(AP,\s\up16(→))＝(x1－2，y1－3)． eq \o(AB,\s\up16(→))＋λeq \o(AC,\s\up16(→))＝(5－2，4－3)＋λ(7－2，10－3)， 即eq \o(AB,\s\up16(→))＋λeq \o(AC,\s\up16(→))＝(3＋5λ，1＋7λ)，由eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋λeq \o(AC,\s\up16(→))，可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1－2＝3＋5λ，,y1－3＝1＋7λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝5＋5λ，,y1＝4＋7λ，)) ∴点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)． ①令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝eq \f(1,2)， ∴当λ＝eq \f(1,2)时，点P在函数y＝x的图象上． ②∵点P在第三象限，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋5λ<0，,4＋7λ<0，))解得λ<－1， ∴λ的取值范围是{λ|λ<－1}． (2)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝________． 【解析】　eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝eq \f(1,2)(1，1)－eq \f(3,2)(1，－1) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1，2)． 【解析】　设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)， 则(10，－4)＝λ(3，1)＋μ(－2，3) ＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)． 依题设得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3λ－2μ＝10，,λ＋3μ＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝－2.)) ∴a＝2b－2c. (2)若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(2，－1)，则c＝(　　) A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)b B.eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b C．－eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b D.eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b 【解析】　由已知可得ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，有(－4)×(k－3)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－eq \f(1,3). 代入k＝－eq \f(1,3)知，ka＋b与a－3b反向． －eq \f(1,3)或1 　(1)已知A(－1，1)，B(1，0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，那么eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))是否共线？A，B，C三点是否共线？若eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线，它们的方向是相同还是相反？ 【解析】　∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，－1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(3,2)))， 2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))－(－1)×3＝0， ∴eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(AC,\s\up16(→))，即eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))共线，又∵直线AB与直线AC有公共点A， ∴A，B，C三点共线． ∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))方向相同． (2)O是坐标原点，eq \o(OA,\s\up16(→))＝(k，12)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(4，5)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝(10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？ 【解析】　∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝(10，k)－(4，5)＝(6，k－5)，且A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))共线， ∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0， 解得k＝11或k＝－2. 【解析】　∵A(1，2)，B(2，3)，C(5，x)， ∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(4，x－2)， 又A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(AC,\s\up16(→))， 故x－2－4＝0，解得x＝6. 已知线段M1M2的端点的坐标分别为M1(1，2)，M2(2，3)，点P(x，y)在直线M1M2上． (1)若eq \o(M1P,\s\up16(→))＝2eq \o(PM2,\s\up16(→))，则P点坐标为________； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(8,3))) 【解析】　(1)方法一：由eq \o(M1P,\s\up16(→))＝2eq \o(PM2,\s\up16(→))， 得(x－1，y－2)＝2(2－x，3－y)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝2（2－x），,y－2＝2（3－y）))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(8,3)，))∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(8,3))). 方法二(利用定比分点坐标公式)： x＝eq \f(1＋2×2,1＋2)＝eq \f(5,3)，y＝eq \f(2＋2×3,1＋2)＝eq \f(8,3)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(8,3))). (2)若eq \o(M1P,\s\up16(→))＝－2eq \o(PM2,\s\up16(→))，则P点坐标为________． (1)已知点A(3，－4)，B(－1，2)，点P在直线AB上，且|eq \o(AP,\s\up16(→))|＝2|eq \o(PB,\s\up16(→))|，求点P的坐标． 【解析】　设P(x，y)，则由|eq \o(AP,\s\up16(→))|＝2|eq \o(PB,\s\up16(→))|，得eq \o(AP,\s\up16(→))＝2eq \o(PB,\s\up16(→))或eq \o(AP,\s\up16(→))＝－2eq \o(PB,\s\up16(→)). 若eq \o(AP,\s\up16(→))＝2eq \o(PB,\s\up16(→))，则(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝0，))∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0)). 若eq \o(AP,\s\up16(→))＝－2eq \o(PB,\s\up16(→))，则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝8，))∴P(－5，8)． 综上，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))或(－5，8)． (2)已知三点A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)． ①A，B，C三点是否是某个三角形的顶点？说明理由； ②若A，B，C是三角形的顶点，设D为BC中点，G为△ABC的重心，求eq \o(AG,\s\up16(→))的坐标． 【解析】　①连接AB，AC，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝(3，2)－(2，1)＝(1，1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1，4)－(2，1)＝(－3，3)， ∵eq \f(1,－3)≠eq \f(1,3)，∴eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))不平行， ∴A，B，C三点是三角形的顶点． ②方法一：∵D为BC中点，设D(x，y)，连接GD， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3＋（－1）,2)＝1，,y＝\f(2＋4,2)＝3，))即D(1，3)， ∴eq \o(AD,\s\up16(→))＝(1，3)－(2，1)＝(－1，2)． 又∵G为△ABC的重心， ∴eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(－1，2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3))). 方法二：∵G为△ABC的重心，设G(x0，y0)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(2＋3＋（－1）,3)＝\f(4,3)，,y0＝\f(1＋2＋4,3)＝\f(7,3)，)) 即Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))， ∴eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))－(2，1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3))). 2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq \o(MP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(MN,\s\up16(→))，则P点的坐标为(　　) A．(－8，1)　　　　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1) 3．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin α，\f(1,3)))，且a∥b，则锐角α＝________． 解析　∵a∥b，∴eq \f(3,2)×eq \f(1,3)－eq \f(\r(2),2)sin α＝0，得到sin α＝eq \f(\r(2),2)，而α为锐角，∴α＝45°. 4．若过点P1(2，3)，P2(6，－1)的直线上一点P满足|eq \o(PP1,\s\up16(→))|∶|eq \o(PP2,\s\up16(→))|＝3∶1，则点P的坐标为___________________． 解析　设O为坐标原点，连接OP，OP1，OP2. ∵|eq \o(PP1,\s\up16(→))|∶|eq \o(PP2,\s\up16(→))|＝3∶1，∴|eq \o(PP1,\s\up16(→))|＝3|eq \o(PP2,\s\up16(→))|， ∴eq \o(PP1,\s\up16(→))＝3eq \o(PP2,\s\up16(→))或eq \o(PP1,\s\up16(→))＝－3eq \o(PP2,\s\up16(→)). 设P(x，y)，若eq \o(PP1,\s\up16(→))＝3eq \o(PP2,\s\up16(→))，即eq \o(P1P,\s\up16(→))＝－3eq \o(PP2,\s\up16(→))， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋（－3）×6,1＋（－3）)＝\f(－16,－2)＝8，,y＝\f(3＋（－3）×（－1）,1＋（－3）)＝\f(6,－2)＝－3.)) 若eq \o(PP1,\s\up16(→))＝－3eq \o(PP2,\s\up16(→))，即eq \o(P1P,\s\up16(→))＝3eq \o(PP2,\s\up16(→))， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋3×6,1＋3)＝\f(20,4)＝5，,y＝\f(3＋3×（－1）,1＋3)＝0.)) 故点P的坐标为(8，－3)或(5，0)． 5．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))，求证：eq \o(EF,\s\up16(→))∥eq \o(AB,\s\up16(→)). 证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由题意，得eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2，2)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2，3)，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(4，－1)． ∴eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)). ∴(x1，y1)－(－1，0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))， (x2，y2)－(3，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)). ∴(x1，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))＋(－1，0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))， (x2，y2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))＋(3，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)). ∴eq \o(EF,\s\up16(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))). 又∵4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－(－1)×eq \f(8,3)＝0，∴eq \o(EF,\s\up16(→))∥eq \o(AB,\s\up16(→)). $