第八部分 第2节  找规律题型-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练

、初中数学计算能力强化训练九年级+中考 第2节 找规律题型 ◎练习1 难度：容易☑中等☐难□ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件：a1=0,a2=-a1十1，a3=-|a2十2，a4= -|a3十3|，…依此类推，求a4o55的值. 2.观察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807，…根据其中的规律 求7°十71+72十…十7227的结果的个位数字. 3.观察等式：1+2+22=23-1,1+2+22+23=24-1,1+2+22+23+24=25-1.若1+2+ 22+…+29=210一1=a,请用含a的式子表示210+211+212+…+218+219的结果. 4.已知一列数a1a2,…a,(n为正登数)满足a1=1,a2=2a2=名， a1十23a。a清通 过计算推算出a2o27和an. 5.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”.而计数制方法很多，如60进 位制：60秒化为1分，60分化为1时；24进位制：24时化为1天；7进位制：7天化为1周 等.而二进位制是计算机处理数据的依据.已知二进位制与十进位制的比较如下表： 十进位制 0 1 2 5 6 二进位制 0 1 10 11 100 101 110 … 请将二进位制10101010写成十进位制数. 60 第八部分 中考新题型 ○练习2 难度：容易☐中等☐难☑ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.观察下列各式： 1++2=1+义21+(1-2)， 1++京=1+23=1+（分-3》： 1++是=1+3又4-1+（合-）： 请利用你发现的规律，计算： ++安+，1+安+京+，1++京++，1+22+202n. 2.观察下列各式： (a-b)(a+b)=a2-b2, (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3, (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b. (1)猜想： (a-b)(a”-1十a”-2b十…十ab-2十b”-1)=.(其中n为正整数，且n≥2) (2)利用(1)中猜想的结论计算（直接写出结果，较大数保留幂的形式即可）： ①32019-2·32018+22·32017-23·32016十…十22018·3-22019= ②2·32018+23·32016+25·32014十27·32012+…+22017·32+22019= 61 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ○练习3 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形按如图中的规律摆放.点 P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→ A3A4→AA…”的路线运动，设第ns运动到点An(n为正整数)，求点A2o2s的坐标. AA 2.如图，在△ABC中，AB=5,AC=4.若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1, D2,D3,D4过点D作AB,AC的平行线分别交AC,AB于点E,F;过点D2作AB,AC 的平行线分别交AC,AB于点E2,F2;过点D3作AB,AC的平行线分别交AC,AB于点E3, F3…求4(D1E1+D2E2十…+D2o26E2o26)+5(D1F1+D2F2十…十D2026F202s)的值. B DDDD 3.如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将角B折起，使点B落在AC 边上的点D(不与点A,C重合)处，折痕为EF如图1，当CD-AC时，an-号 ;如图 2,当CD-子AC时，a是：如阁3，当CD=4C时：an购员…依此类推，当 十AC(n为正整数)时，求tana,的值. CD=-1 图 图2 图3 62第八部分中考新题型 第1节新定义题型 练习1 1.由题意得 x+11 =(x+1)(x-1)-0= 0x-1 x2-1.当x=1时，原式=1-1=0. 2.由题意得2*(-3)*4-X二》*4=6*4 2+(一3) 6×4_12 6+4-5 3由题意得1*(-1)-号+乌-a-6=2, +冷-g-1 …(-2)*2=a。十6 2 4.由题意得4※x=4十x=20,解得x=4. 5.由题意得(x+1)※(x-1)=(x+1)2-(x+ 1)(x-1)=x2+2x十1-x2+1=2x+2=6,解 得x=2. 练习2 14zy=6，解得2x<y,.x◆y= (y=12. 5×12=60. 2.由题意得二次函数y=(m-1)x2+(m-2)x+十 (m一3).：二次函数的图像经过原点，∴.当x=0 时，y=m-3=0,∴.m=3. 3由题意可得-6)=[告]-【]-[】 [5]=2-(-2)=4 4.设AN=y,MN=x.A=BM·AB,.(x十 y)2=2(2-x-y),解得x+y=√5-1（负值已舍 去).又.BN2=AN·AB,.(2-y)2=2y,解得 y=3+5(舍去)或y=3-5,∴x=x十y-y 25-4,.m-n=MN=x=2W5-4. 练习3 1.m十n=3mn且n≠0，+1=3m,即= √3m-1,∴.P(m,√3m-1),即“完美点”在直线 y=√3x一1上.设点A,B的坐标分别为(x1, y),(xy).令=5x-1,化简得5r2-x &=0.:AB=g,直线y=5x-1与x轴所成的 夹角为60西-=2×号-号“西十 3x1x=-3 ,(a-x)2=(1+)2 4一合+-9解得太=13 36 2.设点A,B的坐标分别为A(a,一a+1),B(b,一b十 1).,AB=2W2,∴.(a-b)2+(-a+1+b-1)2= (2√2)2，a-b=±2.由“倒影点”的定义得 A(日a)B(石)又：点A,B都在 反比例函数y=丝的图像上，六一a-0 1 6(1-5a(1-a)=b(1-b),整理得(a-b), (1-a-b)=0.a-b=士2，∴1-a-b=0,即 a十6=1.解方程组a十b-或+h=1,得 "{a-b=2或{a-b=-2,1 3 或 .k=- 1 1 。3 6=-2b=2, 3.由题意可知，y=一x2+16的图像上的点P的“可 控变点”必在函数y={十16（≥0），的 1x2-16(-5≤x<0) 图像上.如图，①当0≤x≤a时，y=一x2十16， 此时，抛物线y的开口向下，故当0≤x≤a时，y 随x的增大而减小，即一16≤y≤16，当y'= -16时，-a2+16=-16,.a2=32,.a= 士4√2；②当-5≤x<0时，y=x2-16,此时，抛 物线y'的开口向上，故当一5≤x<0时，y随x 的增大而减小，即-16<y≤9，又.-5≤x≤a, a的值为4√2. y 16 -16 第2节找规律题型 练习1 1.由题意得a1=0,a2=-|0+1|=-1,a3= -|-1+2|=-1,a4=-|-1+3|=-2,a5= -|-2+4|=-2,a6=-|-2+5|=-3,a,= -|一3十6|=-3，…∴.当n为偶数时，am= -受当n为奇数时a=-”2.当见 4055时，046=-405-1=-2027. 2 2.70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401, 7=16807,….个位数字每4个数一循环. (2027+1)÷4=507,1+7+9+3=20,.7°+ 71+72十十7227的结果的个位数字是0. 75 3.观察等式可得1十2十22+…+2+210+21+ 212+…+218+219=220-1.1+2+22+…十 29=210-1=a,.210+21+212+…+218+219= 220-1-(210-1)=220-210.210-1=a, .220-20=210(210-1)=210·a=a(210-1十 1)=a(a+1). 02 4.由题意得a1=1=名， 24… 2 2 1 ∴a.=n千1，.a2om=2027+11014 5.由题意得10101010=1×27+1×25+1×23+ 1×21=170. 练习2 1原式=1+(1-)+1+（合-号）+1+ (信-4)+…+1+(202s-202z)=2026+ 1-++-+…+2d62 20262026 2027 2.(1)a”-b(2)①3219-2·32o18+22·32017 2.3206+…+2os·3-20=号[3 (-2)][32019+32018·(-2)+32017·(-2)2十 32016·(-2)3+…+3·(-2)2018+(-2)2019]= 号×[32w-(-2)m]=号(3m-2m). ②令M=2·32018+23·32016+25·32o14+27· 32012+…+22017·32+22019,N=32019+22· 32017十24·32015+26.32013十28·3201+…十 22o18·3,M+N=(2·32018+23·32o16+25· 32014+27·32012+…十22017·32+22019)十 (32019十22·32017十24·32015+25·32013十28· 32011十…十22018·3)=32019十2·32018十22· 32017+23·32016+…+2218·3+22019=(3- 2)(32019十2·32018+22·32017+23·32016+…十 22018·3+22019)=32020-22020,N-M=(32019+ 76 22·32017+24·32015+25·3213+28·32011+…+ 22018·3)-(2·32018+23·32016+25·32014十 27·32012+…+22017·32+22019)=32019-2· 32018+22·32017-23·32016+…+22018·3- 26-吉×[3w-（-2)m]-吉(gw- 5 2m)M=号[M+N)-(N-M]=号× 台(8w-2m)-号3m-2m）. 练习3 1由题意知，A(合号)A1,0,A(受) A2.0A(侵-)A8.0.A()- 由此可知，每个点的横坐标为n的2，纵坐标每6 个点依次为写0，号0，-，0循环.2025÷ 6-37…3,点Am的坐标为2g25,受) 2D,∥AC,DE∥AB,A0-器即 D.F_AB-DE AB=5,AC=4,:4DE+ AC AB 5D1F1=20.同理4D2E2十5D2F2=20,…, 4D2026E2026+5D2026F2026=20,.4（D1E1+ D2E2十…+D2o26E2o26)+5(D1F1十D2F2十…十 D2026F226)=20×2026=40520. 3.观察可知，正切值的分子是3,5,7,9，…，2n+1, 分母与勾股数有关系，分别是勾股数3,4,5；5， 12,13;7,24,25;9,40,41;…,2n+1, (2m+1)2-1,(2m+1)2+1中的中间一个， 2 2 2n+1 .2m+1 六tana.=(2m+1)2--2m+2m 2