第一部分 第3节  用一元二次方程解决问题-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练

第一部分一元二次方程 第3节 用一元二次方程解决问题 ○练习1 难度：容易☑中等☐难■ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某企业工会欲组织优秀职工到泰山旅游，下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话. 领队：组团去泰山旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为300元. 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每超过1人，人均旅游费用降低6元，但人均旅游费用不得低于210元. 该单位按旅行社的收费标准组团游览泰山结束后，共支付给旅行社8100元.请你根据 上述信息，求该单位这次到泰山旅游的人数 2.某风景区为吸引市民组团到风景区，推出了如下的收费标准. 某风景区收费信息 组团人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 每增加2人，人均收费降低20元，但人均收费不低于 超过30人 500元 根据风景区的信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，并支付该旅行社费用29250元，请 你确定参加这次旅游的人数， 11 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ○练习2 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.原价200元的某商品在节日期间经过两次降价后，现在的价格为128元.求平均每次降 价的百分率. 2.某种品牌的手机经过7,8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元.已知 每次下降的百分率相同. (1)求每次下降的百分率. (2)若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？ 3.某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝.2月 份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为14.4万人. (1)求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率， (2)如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该健身达人直播的新增关注人数 能达到20万人？ 12 第一部分一元二次方程 ○练习3 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元.为了扩大销售量，增 加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，每件衬衫每降价1元， 商场平均每天就可多售出1件.若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价多少元？ 2.某童装专卖店在销售过程中发现，一款童装每件进价为80元，售价为120元时，每天可 售出20件.为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量， 增加利润.经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.每件 童装降价多少元时，商店平均每天盈利1200元？ 3.商场某种新商品每件的进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每 天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件.据此 规律，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 13 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ○练习4 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播 后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%，那么每轮传播中平均一 人传播了多少人？ 2.在化学老师的辅导下，化学课代表学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后， 第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的 同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了.每个人一节课教会多少名同学？ 3.某中学九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计， 比赛共进行了28场，则九年级共有多少个班参赛？ 14 第一部分一元二次方程 ○练习5 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某小区为了美化环境，准备在一块长30米、宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等 且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分）.若草坪的面积是551平方米， 求道路的宽度. 2.如图，在长为40m、宽为36m的矩形场地的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪. 要使草坪的面积为1152m2,道路的宽应为多少？ 40m 36m 3.如图，某农场有一面长16m的围墙，计划用40m长的围栏靠墙围成一个面积为120m 的长方形养鸡场，为了方便饲养又用围栏隔出一个储物间，在墙的对面开了两个1宽 的门，求围成的长方形养鸡场的宽AB的长度， A D 157 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ○练习6 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.用篱笆围成如图所示的矩形ABCD菜地，其中间用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙 长为40m).已知篱笆的总长为60m(篱笆全部用完)，设AB的长为xm.这块矩形菜地 的面积能否为225m2?若能，请求出x的值；若不能，请说明理由. 2.如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18m),其余三边用篱笆围成，篱 笆的总长度为35m,围成长方形鸡场的四周不能有空隙. (1)若要围成鸡场的面积为150m,则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成鸡场的面积能达到160m吗？如果能，写出计算过程；如果不能，请说明理由. 墙 16 第一部分一元二次方程 ○练习7 难度：容易☐中等□难√ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.随着科技的不断进步，人工智能(A)正逐渐渗透到我们的生活和工作中.从家庭助手到 自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能.某人工智能科技体 验馆在“十一”假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人 数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低 5元，但人均费用不得低于170元.某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用 共3600元，求参加活动的学生人数. 2.位于兰州市东南约45km处的兴隆山景区被国务院定为国家级自然保护区，国家法定节 假日期间，景区为吸引游客组团来此旅游，特推出了如下门票收费标准. 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人. (1)若某单位组织22名员工去兴隆山景区旅游，购买门票共需费用多少元？ (2)若某单位支付兴隆山景区门票费用共计1500元，该单位这次共有多少名员工去兴 隆山景区旅游？ 17 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ○练习8 难度：容易☐中等☐难√ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始沿边AB向点B以 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q 分别从A,B同时出发，那么几秒时△PBQ的面积等于8cm? 2.如图，A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16cm,BC=6cm,动点P,Q分别从点A,C同 时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P 运动到点B停止时，点Q也随之停止运动.几秒后，点P和点Q的距离是10cm? O 3.如图，在△ABC中，AB=6cm,BC=7cm,∠ABC=30°，点P从点A出发，以1cm/s的 速度向点B移动，点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动，当一个点到达终点 时，另一个点也随即停止运动.如果P,Q两点同时出发，那么经过几秒后△PBQ的面积 等于4cm2? 18 第一部分一元二次方程 ○练习9 难度：容易☐中等□难√ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.小明准备进行如下实验操作：把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长 度为周长各做成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于34c,则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2.你认为他的说法正确吗？请 说明理由， 2.某地一村民2022年承包土地种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增 加种植面积，到2024年一共种植144亩， (1)求该村民这两年种植橙子树亩数的平均增长率. (2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/kg时，每天能售 出120kg,售价每降低2元，每天可多售出30kg.为了减少库存，该店决定降价促销. 已知该橙子的平均成本价为8元/kg,若要使销售该种橙子每天获利840元，则售价 应降低多少元？ 19√n2-4m.根据题意，得√m2一4n=√n2一4m,两 边平方，得m2-4n=n2-4m,∴.(m-n)(m十n十 4)=0..m,n是不相等的实数，∴.m十n=一4. 第3节用一元二次方程解决问题 练习1 1.设该单位这次到泰山旅游共有x人.，300× 25=7500<8100,∴.人数一定超过25人.根据 题意，得[300一6(x-25)]x=8100,解得x1= 45,x2=30.当x1=45时，300-6(x-25)= 180<210,不符合题意，舍去；当x2=30时，300 6(x-25)=270>210,符合题意.答：该单位这次 到泰山旅游共有30人. 2.设参加这次旅游的有x人..30×800=24000（元）， 24000<29250,.x>30.根据题意，得x800一 9c-30]-29250,解得五=45，=6版.当1 45时，人均收费为800-20(x-30)=650(元)> 2 500元，符合题意；当x=65时，人均收费为 800-29(x-30)=450(元)<500元，不符合题 2 意，舍去.答：参加这次旅游的有45人. 练习2 1.设平均每次降价的百分率为x.根据题意，得 200(1一x)2=128,解得x1=0.2=20%,x2 1.8(不合题意，舍去).答：平均每次降价的百分 率为20%. 2.(1)设每次下降的百分率为x.根据题意，得 2500(1-x)2=1600,解得x1=0.2=20%, x2=1.8(不合题意，舍去).答：每次下降的百分 率为20%.(2)1600×(1-20%)=1280（元）. 答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这 种品牌的手机售价为1280元. 3.（1)设新增关注人数的月平均增长率为x.根据 题意，得10(1十x)2=14.4,解得x1=0.2= 20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.答：2月份到 4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平 均增长率为20%.(2)5月份新增关注人数为 14.4×(1+20%)=17.28(万人)，6月份新增关 注人数为17.28×(1十20%)=20.736（万人）. 答：6月份该健身达人直播的新增关注人数能达 到20万人. 练习3 1.设每件衬衫降价x元.根据题意，得(40一x)(10十 x)=600,解得x1=10,x2=20.要扩大销售量， 增加盈利，尽快减少库存，.x=20.答：若商场平 均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元. 64 2.设每件童装降价x元.根据题意，得(20+ 2x)(120-80-x)=1200,解得x1=20,x2= 10.,要扩大销售量，增加利润，∴x=20.答：每件 童装降价20元时，商店平均每天盈利1200元. 3.设每件商品的售价定为x元.根据题意，得(x一 120)[70-(x-130)]=1600,解得x1=x2=160. 答：每件商品的售价定为160元时，商场日盈利 可达到1600元. 练习4 1.设每轮传播中平均一人传播了x人.根据题意， 得3+3x+(3+3x)x=864×50%,解得x=11 或x=一13（不合题意，舍去）.答：每轮传播中平 均一人传播了11人. 2.设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会 x名同学，第二节课教会x(1十x)名同学.根据 题意，得1十x+x(1十x)=49,解得x1=6,x2= 一8（不合题意，舍去）.答：每个人一节课教会6名 同学 3。设九年级共有x个班参赛，根据题意，得x(x 1)=28,解得x1=8,x2=-7(不合题意，舍去). 答：九年级共有8个班参赛. 练习5 1.设道路的宽度为xm,草坪的面积可以看作一个 长为(30一x)m、宽为(20一x)m的长方形的面 积.根据题意，得(30-x)(20一x)=551,解得 x1=1,x2=49(不合题意，舍去).答：道路的宽度 为1m. 2.设道路的宽为xm,则余下部分是长为(40一2x)m, 宽为(36一2x)m的矩形.根据题意，得（40一 2x)(36-2x)=1152,解得x1=2,x2=36(不合 题意，舍去).答：道路的宽应为2m. 3.设长方形养鸡场边AB的长度为xm,则边BC的 长度为(42一3x)m.根据题意，得x(42一3x)= 120,解得x1=4,x2=10.42-3x≤16，.x≥ ,∴x=10.答：围成的长方形养鸡场的宽AB 的长度为10m. 练习6 1.这块矩形菜地的面积能为225m2,理由如下：根 据题意，得x(60一3x)=225,解得x1=15,x2= 5.当x=15时，60-3x=60-45=15<40,符合 题意；当x=5时，60-3x=60-15=45>40,不 符合题意，舍去，答：这块矩形菜地的面积能为 225m2,此时x的值为15. 2.设围成的鸡场与墙平行的边长为xm,则与墙垂 直的边长为352m(1)根据题意，得x…35。- 2 150,解得x1=15,x2=20..墙长为18m,x= 20不符合题意.答：鸡场的长为15m,宽为10m (2)根据题意，得x.35工=160，整理，得x2 2 35x+320=0.b2-4ac=352-4×320<0, '.方程无解，故围成鸡场的面积不能达到160m2, 练习7 1.设参加活动的学生人数为x人..10×240= 2400(元)，2400<3600，∴x>10.根据题意，得 x[240-5(x-10)]=3600,解得x1=18,x2 40.当x=18时，240-5×(18-10)=200>170， 符合题意；当x=40时，240-5×(40-10)= 90<170,不符合题意，舍去.答：参加活动的学生 人数为18人. 2.(1)70-2×(22-20)=66(元/人)，66×22= 1452(元).答：购买门票共需费用1452元. (2)设该单位这次共有x名员工去兴隆山景区旅 游..70×20=1400，而1500>1400，.x>20. 70-2(x-20)≥55，.x≤27.5.根据题意，得 x[70-2(x-20)]=1500,整理得x2-55x+ 750=0,解得x1=25,x2=30(不合题意，舍去). 答：该单位这次共有25名员工去兴隆山景区旅游. 练习8 1.设ts时，S△a=8.根据题意，得号X2(6-t)- 8,解得t41=2,t2=4.答：2s或4s时，△PBQ的 面积等于8cm2. 2.设xs后，点P和点Q的距离是10cm.根据题 意，得(16-3x-2x)2十62=102，解得x1=1.6, x2=4.8.答：1.6s或4.8s时，点P和点Q的距 离是10cm, 3.如图，过点Q作QE⊥PBC 于点E,则∠QEB=90°， Sam=号PB·QE ∠ABC=30°，.QE=A→P 号QB.设经过：s后， △PBQ的面积等于4cm,则PB=(6-t)cm, QB=2cmQE=tcm.根据题意，得2(6 t)·t=4,解得t1=2,t2=4.当t=4时，2t=8, 8>7,不符合题意，舍去，故t=2.答：经过2s后， △PBQ的面积等于4cm2. 练习9 1.(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个 正方形的边长为(8一x)cm.根据题意，得x2+ (8-x)2=34,解得x1=3,x2=5.答：这两个正 方形的边长分别是3cm,5cm.(2)他的说法 正确，理由如下：若两个正方形的面积和为 30cm,则x2十(8一x)2=30,整理，得x2一8x十 17=0.,62-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0, 此方程无解，这两个正方形的面积之和不可 能等于30cm2. 2.(1)设该村民这两年种植橙子树亩数的平均增长 率为x.根据题意，得100(1十x)2=144,解得 x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. 答：该村民这两年种植橙子树亩数的平均增长 率为20%.(2)设售价应降低y元，则每千 克的销售利润为(18-y-8)元，每天能售出 (120+30×岁)kg.根据题意，得(18-y-8)· (120+30×学)-840，解得1=6,0=-4（不 合题意，舍去).答：售价应降低6元. 第二部分对称图形一圆 第1节弧长及扇形的面积 练习1 1..半径OA=9cm,圆心角∠O=100°，.AB的长 为100gπX9=5x≈15.7(cm. 180 2.连接CD.∠B=20°，.∠CAB=90°-∠B= 90°-20°=70°.，AC=CD,∴.∠ADC=∠CAB= 70°，∴.∠ACD=180°-70°-70°=40°，∴.AD的长为 40π×6_4π 18031 3.设该弧所在的圆的半径为.根据题意，得0”= 180 6π，解得r=18,.该弧所在的圆的半径为18. 4.最大的扇形的半径为4cm,圆心角为90°，其对 应的弧长为94-2x(em):较小的两个扇形 的半径之和为4cm,每个扇形的圆心角都为90°， 其对应的两条弧长的和为90rX4=2x(cm).设 180 最小的扇形的半径为rcm,较大的扇形的半径为 Rcm,则r+R=4(cm),∴.4-r+8-R=12- (r+R)=8(cm),∴.图中阴影部分的周长为2π十 2π十8=(4π+8)(cm). 练习2 1.S扇形= 150π×32_15π 360 4 2.,∠BAC=25°，.∠BOC=2∠BAC=50°，.扇 形OBC的面积为50xX4-20r(cm). 3609 3.贴纸部分的面积S=120mX30_120π×(30-24)2 360 360 288π(cm2). 65/