6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第一课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 第一课时 学习目标 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(重点) 2.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点) 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点) 4.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点) 导入新知 设，是与轴、 轴同向的两个单位向量，取作为基底. 对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得 . 则叫做向量的坐标表示 1.用坐标表示向量的基本原理 O x y 导入新知 2.平面向量加减运算的坐标表示： . . . ① ② 已知 ，则 思考：对于数乘运算，实数与向量的积，即 ，能通过坐标表示出来吗？ 预学导读 阅读课本31-33页，思考并完成以下问题 1.平面向量数乘运算的坐标表示运算法则是什么？ 2.用坐标表示的平面向量共线的条件是什么？ 3.根据平面向量的坐标，判断向量是否共线的步骤？ 新知探究1——平面向量数乘运算的坐标表示 已知你能得出的坐标吗？ 即 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的相应坐标 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 小试牛刀 已知，求的坐标. 解： 小试牛刀 已知，求的坐标. 解： 如何表示 巩固练习 1、已知＝（－1，2），＝（2，1）， 求：（1）2＋3；（2）－3；（3）－ . 解：2＋3 ＝2(-1,2)＋3(2,1) ＝(-2,4)＋(6,3) ＝(4,7) （2）－3 ＝(-1,2)-3(2,1) ＝(-1,2)-(6,3) ＝(－7,－1). （3） － ＝ (－1,2)－ (2,1) ＝(－ ,1)－( , ) ＝(－ , ). 巩固练习 2. 已知A(－2，4),B(3，－1),C(－3，－4),且 ＝3 , ＝2 ，求M，N及 的坐标. 解：依题可得 ＝(-2,4)-(-3,-4)＝(1，8)， ＝(3,-1)-(-3,-4）＝（6，3）， 所以 ＝3 ＝3（1，8）＝(3,24)， ＝2 ＝2(6,3)＝(12,6). ＝-＝(12,6)-(3,24)＝(9,－18). 又 ＝(3,24) 同理，N(9,2) 新知探究2——平面向量共线的坐标表示 两个向量共线需要满足什么条件？若设其中如何用坐标表示向量, 共线？ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b ≠ 0 .我们知道，a，b 共线的充要条件是存在实数 λ，使得 如果用坐标表示，可写为 即 消去，得 这就是说，向量 共线的条件是 特别地，对于 有： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 牛刀小试 已知，且,求. 解： 解得 注意坐标关系： 牛刀小试 已知若，则实数的值为多少？ 解： 由得 解得 牛刀小试 变式1 当x为何值时， 与 共线？ 变式2 判断：向量a＝(4，2) 的相反向量为b＝(2，4). （ ） 变式3 已知向量=(1,-2),=(3,4),若(3-)//(+k),则k=______. - 它们是同向还是反向？ 典例讲解 例8 已知，，，判断，，三点之间的位置关系. 解：在平面直角坐标系中作出三点(如图). 观察图形，我们猜想三点共线.下面来证明. 因为 又 所以//. 又直线，直线有公共点， 所以三点共线. 练习 已知，，，，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 解： 法一：∵， ∴与共线，通过观察可知，和方向相反. 法二：∵， ∴与共线且方向相反. 小结 (1)利用向量共线定理，由推出. (2)利用向量共线的坐标表达式直接求解. 向量共线的判定方法 强化练习 解： 典例讲解 例9 设是线段上的一点，点，的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标； 解： (1)如图，由向量的线性运算可知 . 所以，点的坐标是. 中点公式 若点，的坐标分别是， 线段的中点P的坐标为P. 典例讲解 解：（2）如图，当是线段的一个三等分点时，有两种情况， 即或. 如果，那么 ， 即点的坐标是. 同理，如果，那么点的坐标是. (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 典例讲解 (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 如果 （图（1））， . （1） 如果（图（2））， （2） 合作探究 如图，线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点，当时，点的坐标是什么？ 解：由已知，可以设点，将用坐标表示： 由此可得： 于是，，. 即点的坐标是 合作探究 如图，线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点，当时，点的坐标是什么？ 存在一个实数，使，叫做点P分有向线段所成的比,则P点的坐标公式为 定比分点公式 合作探究 定比分点P的位置与的取值关系 一般地，若(≠ 1)，则的取值和点P的位置关系如下： ①当=0时，P与P1重合； ②当>0时，P在线段上； ③当=1时，P是线段的中点； ④当1时，P在线段的延长线上； ⑤当时，P在线段的反向延长线上. 合作探究 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标. 三角形的重心是什么线的交点？ 重心坐标与三个顶点坐标有什么关系？ G（，） 重心坐标公式： 已知△ABC三个顶点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 则其重心G的坐标为G（，）. 强化练习 已知点与点，点在直线上，且，求点的坐标. 解：设点的坐标为，. 当在线段上时，， ∴ ∴解得∴点的坐标为 当在延长线上时，， ∴ ∴解得∴点的坐标为 当堂检测 1.判断正误. (1)向量与向量共线. ( ) (2)向量与向量共线. ( ) (3)如果，那么向量与向量共线. ( ) √ √ √ 当堂检测 2.若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 解：由已知可得，因为，，，，因此，向量与共线. D 当堂检测 3.平面内给定三个向量，，． （1）求满足的实数，的值． （2)若向量与平行，求实数的值． 解：（1）的值分别为． （2）的值为． 课堂小结 1.平面向量数乘运算的坐标表示： 3.定比分点坐标公式： 2.平面向量共线的坐标表示： 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以向量的相应坐标. λa=(λx, λy) 向量a，b共线⇔x1y2－x2y1=0 （1）中点坐标公式 . （2）三等分点坐标公式 或 （3）定比分点坐标为 . －3＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， ∵k＋与－3平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 此时k＋＝＝－(－3)， ∴当k＝－时，k＋与－3平行，并且反向. 【变式】已知，当实数k为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？ k＋＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， $