解三角形中解答题求周长及范围 热点考点预测练-2026届高考数学三轮冲刺

解三角形中解答题求周长及范围 热点考点预测练 2026届高中数学高考复习备考 1．在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 2．已知三角形中，，为边上的高，为垂足；设，，，； （1）若，求的取值范围； （2）若已知，试解决下面两个问题： ①求，满足的等式； ②求三角形的周长的最小值． 3．在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 5．记的内角的对边分别为，已知，，为的外心. (1)求的面积； (2)求周长的取值范围. 6．在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 7．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 8．已知函数的最大值为1． (1)求使成立的的集合； (2)记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长． 9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且. (1)求的值， (2)若，且的面积为3，求的周长. 10．在中，内角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角； (2)若，，求的周长． 11．已知中，内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的周长． 12．在中，内角所对的边分别为.已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 13．设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) （1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长. （1）由正弦定理得：， 在三角形中，所以， 即， 因为，所以， 因为，所以 （2），所以， 由余弦定理得，所以， 则， 所以的周长为. 2．（1）；（2）①；②. （1）由题意和余弦定理列出式子，由完全平方和公式和基本不等式求出的范围，结合三角形三边的关系可的取值范围； （2）①由题意和余弦定理列出式子求出，由三角形的两个公式列出方程后将代入化简即可； ②由①和不等式求出的范围，利用①表示出得的周长，由基本不等式求出的范围，即可求出三角形的周长的最小值． 解（1）中，，， 由余弦定理得，， 则， ， 解得，当且仅当时取等号， ，. （2）①在中，， 由余弦定理得，则， 即， ， ，则， ②由①可知， 则，当且仅当时取等号； 解得，当且仅当时取等号； 三角形的周长 ，当且仅当取等号， 当时，取得最小值为6． 3．(1) (2) （1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. （1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 4．(1)证明见解析 (2) （1）利用正弦定理化简以及两角和与差的正弦即可求得结果. （2）利用正弦定理求出，因为三角形为锐角三角形求出，再用余弦定理进一步求出，即可求得结果. （1）由正弦定理，，所以． 又，所以， 所以，所以， 因，所以，即. （2）因为，所以， 因为，所以． 因为，所以， ∵为锐角三角形，∴，∴，∴ 因为，由余弦定理，两式联立得， 又因为，代入上式，得到，则，且， 所以，即． 所以周长的取值范围为． 5．(1) (2) （1）由已知，利用余弦定理求出角，由正弦定理求外接圆的半径，求出圆心角，再由三角形面积公式求出的面积； （2）方法一：利用正弦定理表示出，由三角恒等变换，结合三角形内角和定理整理，讨论角的范围，进而求出周长的取值范围； 方法二：把条件整理成含与的式子，利用基本不等式求出的最大值，根据两边之和大于第三边，得的取值范围，进而得周长的取值范围. （1）在中，，由余弦定理得， 又，所以， 又为的外心， 则由正弦定理得，所以， 又， 所以. （2）方法一： 由（1）及正弦定理得， 则，， 记的周长为，则. 又，则， 则， 因为，所以， 所以，所以. 方法二： 由，，得， 因为，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立. 因为，所以，所以， 即周长的取值范围为. 6．(1) (2). （1）由，利用正弦定理，可得，由余弦定理求出，从而得到的值. （2）由正弦定理得的值，将进行边化角，得到，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到的范围，从而得到△ABC周长的取值范围. （1）∵， 由正弦定理，可得，即. 由余弦定理，可得，又∵，∴. （2）由正弦定理，可得， ， ∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得， ∴，∴，∴， 即，△ABC周长的取值范围为. 7．(1) (2) （1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围. （1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． 8．(1) (2) （1）由辅助角公式得到，结合最大值求解，再由即可求解； （2）由（1）求得，再结合三角形面积公式及余弦定理即可求解. （1） ， 最大值为， 所以， 即， 则，即， 即， 即， 所以的解集为： （2）因为， 即，即， 因为为三角形内角，所以，得， 又的面积为，即， 得， 又 则即， 所以周长为. 9．(1) (2) （1）利用正弦定理化简得出，结合角的取值范围应用同角三角函数关系可求得的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. （1）因为，由正弦定理可得，又因为， 所以， ，则，可得. （2）由已知可得，则， 由余弦定理可得， 所以， 所以，因此的周长为. 10．(1) (2) （1）由正弦定理结合两角差的正弦展开式化简后再利用特殊角的正切值求出角； （2）由正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求得求的周长． （1）在中，由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，所以， 所以，又因为，所以. （2）在中，由正弦定理，得， 因为，所以， 在中，， 由余弦定理得，即， 所以，所以， 所以，所以周长为. 11．(1)； (2). （1）利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求角； （2）结合已知条件和第一问的结果，通过三角函数关系求出其他角和边，进而计算周长. （1）已知， 根据正弦定理，可得， 将其代入已知等式： ， 化简得：， 再由余弦定理，代入上式得：， 因为，所以； （2）已知，由第一问知，代入得： ， 因为，所以或， 又因为，若，则，矛盾，故， 从而， 由正弦定理，已知， 则： ， ， 因此：； ； 周长. 12．(1)； (2). （1）由正弦定理化角为边，再结合余弦定理求得，再根据同角三角函数的基本关系可求得； （2）先根据三角形面积公式以及已知条件，解得，再根据余弦定理解得，即可计算周长. （1）由正弦定理，可将转化为， 由余弦定理可知，， 又因为，又因为， 故； （2）由题可知，， 解得， 再由余弦定理， 解得， 因此的周长为. 13．(1) (2) （1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解； （2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解. （1）（方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $