福建厦门市同安第一中学2025-2026学年高三下学期3月质检数学试题

同安一中2025≈2026学年（下)3月质检 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知宋合4=.&-{2引则< A.AUB=x<-1 B.AUB=x<1 C.A0B=xx<-1 D.A∩B={x-1<x<1} 2.已知i为虚数单位，iz=2+i,则=() A.1-2i B.5 C.2 D.5 3.“a=T是ina=5的( 3 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4。一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单 位：h),其中k为常数.在此条件下，己知训练数据量N从10个单位增加到1.024×10个单 位时，训练时间增加20h;当训练数据量W从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时， 训练时间增加( A.2h B.4h C.20h D.40h S。函数y三的图象大致为 6。由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{a},即 41=0,42=2,4=4,…,若4=2024，则n=（) A.34 B.33 C.32 D.30 7.直线1与圆C:x2+y2-6x-2y+6=0交于A,B两点，且△ABC的面积为2，己知M是 圆C上的动点，则MA.MB的最大值为() A.2+2√2 B.2+4V2 C.4+22 D.4+4V2 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2W3,V3 asin C=3c-2 e cos B cosC, 则△ABC的面积为() A.3 B.3 C.3 D.2W5 4 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 9.在一次机器人大赛中，7位评委给某机器人的打分（单位：分）为80,83,87,90,93,97,100， 则下列说法正确的有( A.去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变 B.去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变 C.去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小 D.这组数据的75%分位数为93 10.函数f(x)=4si血(@x+pA>0,0>04<2的部分图象如图所示，则（） A)=n2+周 B.为了得到函数g(x)=3sin2x的图象，可将f(x)的图象向右平移汇个单位长度 6 c.fy的单调速增区间为[骨血名+版(cez D.若方程/)-在[0则上有且只有6个根，则mn 11.在正方体ABCD-ABCD中，点P在线段B,C上运动，则下列结论正确的是( A.直线BD,⊥平面AC,D B.异面直线AP与AD所成的角的最大值为60° C.若正方体的棱长为2，点M在线段BC上运动，则点M到平面4CD的距离最小值为2 3 D.直线CP与平面4CD所成角的正弦值的最大值为y6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线 上 log,x+,x>1:且f(@=3,则f7-@的值为 2-2,x≤1 12。己知函数f(x)= I&.己知△MBc中，m4-mB=-2,BC-V5则AB= 14已知稻圆石号+若=〔ab>0的东右焦点分别为尽，及，P为B上与顶点不重合的 点，I为△P耳耳的内心，O为坐标原点，记直线OP,OI的斜率分别为k,k2,若3k=4k2 则椭圆E的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15。(本小题满分13分)在数列{a}中，4=1，(n+1)a=a1. (1)求{an}的通项公式： (2)设Sn为{an}的前n项和，求数列 的前n项和T. 16.(本小题满分15分)某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定 题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为二.现经过测试得到测 试数据，AI软件答对语文问盟的概率为3，A1软件答对数学问愿的概率为； (1)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设 X表示AI软件回答正确的题数，求X的期望： (2)若从该指定题库中随机选取几道题让AI软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并 规定连续答对2题或连续答错3题则停止答题，设Y表示AI软件回答问题的题数，求 P(Y=5) 17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E,F分别为 CD,PA的中点. B (1)证明：EF/1平面PBC: (2)若平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB,AB=2,∠BAD=60°，平面PAE与平面PAB夹角 的余弦值为4W5I,求点下到平面PBC的距离 31 8(本小题满分7分)已知双曲线工片1a>0,b>0)过点PV3,V6,渐近线方翘 为y=±√3x. (1)求的方程： (2)已知点A(1,0),过点2(1,2)作动直线1与双曲线右支交于不同的两点B、C,点H在线段 BC上（不含端点）. ①若H为BC的中点，△AQH的面积为7，求直线I的斜率； ②直线AB、AH、AC分别与y轴交于点D、E、F,若E为DF的中点，证明：点H恒 在定直线3x-2y-3=0上. 19.（本小题满分17分)设a、b为实数，且a>1,函数f(x)=a,g(x)=bx-e2 (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)当b=lna时，证明：f(x)≥g(x)+e2+1; )若曲线y=f(y)与直线y=g()有且仅有两个交点，求b的取值范围. Ing 同安一中2025~2026学年（下)3月质检高三数学答案 一、单选题 DDAB DBDC 二、多选题 9、BC10.ACD 11.ACD 三、填空题 12、3 2 13.3 14. 四、解答题 15.(1)因为(n+1)a,=a1,所以a=4 n+1.n …2分 所以数列 是常数列，4分 n 又经-1，所以号-1，放a=.6分 (2)由(1)可知，a,}是等差数列，则a,=n+2=na+a）.n+ 98分 2 2 所以 2 1 1 a.n0u+1)60+2)na+1）a+1)+2)'10分 1).(11） 故工22x32x33a n(H1)(H1)0H2) =l 1 2(n+1)(n+2) .13分 16.【小问1详解】设A=“一次回答问题，AI软件答对问题'，B=“选出语文问题让AI回 答”，（注：若设事件合理则得分)1分 依题意，P()-号国)}P(A列-子P叫4列- 2分 商以P(PA画叫4回-号号行 5’3分 3 依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X~B4, 5 5分 312 所以E(X)=4×二= 55 7分 【小问2详解】设C=“共回答5道题后停止，其中最后2道题AI软件均答对”，D=“共 回答5道题后停止，其中最后3道题AI软件均答错”，.9分 那么P(Y=5)=P(C)+P(D),10分 -) 216 ,12分 3125 所以P(D)= 3. 48 14分 3125 所以P(Y=5)= 264 3125 15分 17.【详解】(1)取PB中点G,连接FG,GC,1分 :E,F,G分别为CD,PA,PB的中点， FGIIAB且FG三AB,CEIIAB且CE=FAB 2分 .FG1CE,且FG=CE,则四边形CEFG为平行四边形，4分 .EF//CG,,EF立平面PBC,CGC平面PBC, .EF∥平面PBC6分 (2)取AB中点O,连接OP,OD,BD 因为PA=PB,所以POLAB, ,平面PAB⊥平面ABCD,POC面PAB,AB为交线， .PO⊥平面ABCD,∠BAD=60°， .△ABD为正三角形，.OD⊥AB, 以O为原点，分别以OB,OD,OP为x,y,二轴建系，如图，8分 B 设OP=t,t>0 则P(0,0,),A(-1,0,0),B1,0,0),E1,V3,0),C(2,V3,0), 9分 所以AP=4,0,),A正=(2，V3,0,BC=（1,V5,0）: 易知平面PAB的法向量可取m=(0,1,0), 设平面PAE的法向量为i=(c,y,), i:AE=2x+√3y= 因为 ,令x=5,可取 11分 i.AP=x+=0 所以c0sm丙= 流.训 431 3 31,解得t=2, 1+ 12分 PB=(1,0,-2) 设平面PBC的法向量为i=(a,b,c), 因为 (1.PB=a-2c=0 i.Bc=a+√3b=0 14分 所以d F.13+1 22√57 .4 19 19 15分 18.【详解】(1)由题意，得2=V5,则b=V5aO, 1分 将点P5.6)代入双线方程，得是后-1@.…2分 a2=1 联立02解得合二}故r的方程为- =13分 3 (2)若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线1的 斜率存在 设直线l的方程为y-2=k(x-1), 4分 与x2-上=1联立得(3-k2)x2+(2k2-4)x-k2+4-7=05分 3 3-k2≠0 △=12(7-4)>0 改，、c6小，由题意，得= 2k2-4k >0,解得 书 2-4k+7>0 k2-3 k<-√月6分 D ①)因为H为C中点，所以。3 7分 由s吉4Q=资1=7，得7+2h-24=(k-12+2-0 又k<-√5，解得k=-2,所以直线1的斜率为-2 8分 (i)设直线4B的方程为y=片，(x-1),令x=0,得y。=一当 5-1 x-1 9分 同理可将，器导 11分 因为B为D那中点，所以2：=为+4，即2丝=上+二当 g-1-15-112分 又因为点B、C、H都在直线I上， 所以2(g-+2_[ks-)2s-1+(飞-+2]s- g-1 (:-1)(x2-1) 整理，得2k+,4=2水+ 2(x1+x2)-4 g-1 g-1032-1’14分 代入韦达定理，得x。子所以=+2一6 2k-316分 因为3X,-2y。=32-7-2,6,-6-9-3,所以点#恒在定直线3x-2y-3=0 2k-32k-32k-3 上17分 19.【详解】(1)当a=2时，f(x)=2,则f(0)=1,1分 而f'(x)=2.n2,则f'(0)=n2,2分 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-1=ln2·x,即y=2x+13分 (2)当b=lna时，g(x)=nax-e2, 设h(x)=f(x)-g(x)-e2-1=ad-lha.x-1,….4分 则t(x)=a.na-hna=(d-l)lna,5分 由于a>1,则lna>0, 令h(x)<0,得x<0,令h(x)>0,得x>0, 所以函数h(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增，7分 则h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥g(x)+e2+18分 (3)k(x)=f(x)-g(x)=a'-bx+e, 由题意，曲线y=∫(x)与直线y=g(x)有且仅有两个交点， 则函数k(x)有且仅有2个零点，9分 而R(x)=a·ha-b,10分 令k(e0,得a6a而a>1,则ha>0 当b≤0时，K(x)=d.lna-b>0,则函数k(x)在R上单调递增， 此时函数k(x)最多有1个零点，不符合题意；10分 b b 当b>0时，令K(<0,得x<log.a令K(四>0，得x>l1oena 所以网激8a)年调瑞减卡品。)上河猫路。12分 又x→-∞时，k(x)→+0，x→+m时，k(x)→+0， 要使函数k(x)有且仅有2个零点， 则fg品品品ae0,回品a点aha +e2<0,.14分 设b=.t>0则t-t.nt+e2=t1-ht)+c2<0,…l5分 当0<t≤1时，nt≤0，则t(1-ht)+e2>0,不满足题意； 当t>l时，设u(t)=t(1-lnt)+e2,则t(t)=-lnt<0, 则函数u(t)在(1，+o)上单调递减，又u(e2)=0, 则t>e2时，t(1-ht)+e2<0,即 则品的取值花同为e,）17分