四川省成都市某中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题

2024-2025学年度高三8月考 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 3．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线另交椭圆与点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 7．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（    ） A． B． C． D． 8．若正数，满足：，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 10．已知为实数，随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 11．对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．如图，一条河流上的，是两个独立的水闸，设它们打开的概率分别为，则出口处通水的概率为 . 13．若曲线存在垂直于轴的切线， 则实数的取值范围是 . 14．如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 16．（15分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17．（15分）已知椭圆C：（），，，，四点中恰有三点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，点为直线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列． 18．（17分）设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知为的两个极值点，证明：． 19．（17分）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【详解】由，解得，即， ，. 故选：C. 2．D 【详解】由， 因，代入得，， 即，解得，或. 故选：D. 3．A 【详解】因为，， 若是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），解得， 当时，满足是的充分不必要条件； 当时，满足是的充分不必要条件； 综上可得实数的取值范围为． 故选：A． 4．D 【详解】. 故选：D 5．D 【详解】如图，过作轴于， 设椭圆方程为，， 易知，所以， 又，所以，得到， 代入椭圆方程得，整理得到，所以， 故选：D. 6．A 【详解】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 7．C 【详解】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为 （上，中，下），（上，下，中），（中，上，下）， （中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共6种， 其中该人可以乘坐上等车的情况有（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），共3种， 则其概率为． 故选：C. 8．B 【详解】因为，为正数，所以， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当，时，取等号. 故选：B. 9．BC 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 10．AB 【详解】因为随机变量，且， 由正态曲线的对称性，可得，因为， 所以，故A正确； ，故B正确； ，即，故C错误； 由于当，时，满足，但是，故D错误． 故选：AB． 11．BC 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 12．/0.8 【详解】依题意，令水闸打开的事件分别为事件，则，且相互独立， 所以出口处通水的概率. 故答案为： 13． 【详解】， 由题意曲线存在垂直于轴的切线， 所以在上有解，即在上有解， 而在上的值域为， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 【详解】 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，所以. 因为 ，所以直线的方程为 ①， 因为 ，所以直线的方程为 ②. 由①可得 ，代入②化简可得 ， 结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ， 所以点的轨迹方程为 ， 故答案为： 15．（1）； （2）. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 根据题意有， 解答，所以， 所以等差数列的通项公式为； （2）由条件，得，即， 因为，所以，并且有，所以有， 由得，整理得， 因为，所以有，即， 解得， 所以的取值范围是： 16．(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 (2)， (3)分布列见解析；期望为 【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 17．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据椭圆的对称性，必过点，点，必不过点， 代入点得，，代入点得，， ∴椭圆的标准方程为：； （2）证明：设，，， 设直线的方程为：， 由，得， ，，， ， 因为，所以， 所以直线，，的斜率成等差数列． 18．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由，， 得， 令， ①当时，，则，所以在单调递增； ②当时，，令，则，解得或， i)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ii)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当且时，有2个极值点，且， 则 ， 令，， 设，则， 则在单调递增，即在单调递增， 又， 所以当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以，所以当且时，， 所以，即． 19．(1)，； (2)，； (3)①16；②，共有12个面，24条棱. 【详解】（1）集合表示平面上所有的点， 表示这八个顶点形成的正方体内所有的点， 而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此. 对于，当时， 表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知Q表示，， 这六个顶点形成的正八面体内所有的点. 而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点. 它是边长为的正方形，因此. （2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，； 考虑集合的子集； 即为三个坐标平面与围成的四面体. 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为 由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ， 显然为两个几何体公共部分， 记，，，. 容易验证，，在平面上，同时也在的底面上. 则为截去三棱锥所剩下的部分. 的体积，三棱锥的体积为. 故的体积. 当由对称性知，. （3） 如图所示，即为所构成的图形. 其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥， 其中到面的距离为， ，. 由题意面方程为，由题干定义知其法向量 面方程为，由题干定义知其法向量 故. 由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为. 由图可知共有12个面，24条棱. 答案第10页，共11页 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $