第 4 讲 均值、柯西不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第4讲均值、柯西不等式 1.均值不等式 设 aya2…,an 是 个正实数，记 Q=V +升+a ,An=t2t,Gn=a…a,Hn=含++ ,则 Qn≥An≥Gm≥Hm ,其中等号成立的条件是 a=d=…=an Qr An Gn Hn分别称为平方平均数、算术平均数、几何 平均数、调和平均数， 2.柯西不等式 柯西不等式的二维形式：若ab,Gd都是实数，则 (+b2)(c2+)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立. (1)柯西不等式的一般形式：设a,a2,a,b,b2bg…,b是实数， 则 (ab+ab2+…+ab)2≤(++…+)(b好+b+…+b岷)， 当且仅当b=0(i=1,2…,n)或存在一个数入，使得 a=入b(i=12…,n)时等号成立 ②)常用的还有分式型柯西不等式手+是+…+总之等，其 中b>0(i=12…,m. 热点课堂 【例1】已知2+y2+z2=1,求V3xy+yz的最小值. 【分析】由三元平方的和为定值得到乘积的最值，一般考虑凑配使用基本 不等式，注意最小值和不等号的方向之间的关系 【解答】由基本不等式可知，1=x2+y2+y2+z2≥-V3xy-yz, 所以5w+yz之-1，当且仅当x=-9y,2=-y时等号成立 故V5xy+yz的最小值为-1. 【例2】已知实数8，y满足x3+8y3+6xy-1=0,求3y的取值范 围。 【分析】这是一个已知二元的定值，反过来求二元乘积取值范围的问题，可 用基本不等式求解，但本题次数较高，需要通过合理的因式分解打开思路， 【解答】因为3+8y3+6xy-1=0, 则(x+2y)3-6x2y-12xy2+6xy-1=0, 所以(x+2y)3-1-6xy(x+2y-1)=0, 因此(x+2y-1)[(x+2y)2+(x+2y)-6xy+1]=0, (1)当(x+2y)2+(x+2y)-6xy+1=0时， 由基本不等式可知6xy≤4 4 所以(x+2y)2+(x+2y)+1=6xy≤(x+2y)2, 所以(x+2y)2+(x+2y)+1≤0， (x+2y+2=0, 即(4经+1)≤0，当且仅当 1x=2y 时等号成立， 此时x=-1,y=-专，则y=克， 2)当x+2y=1时，y=型 2 令f(x)=x3(1-x),则f(x)=x2(3-4x), 易知f(x)mx=f(年)=磊，所以y∈(-∞，品] 综上可得yE(-o,品]U{} 【例3】已知ab,c为正实数，则代数式本十十如 b 的最小 值为() A. B.1 C.第D. 【分析】因为分母比较复杂，一般通过换元将分母化为一个整体 b+3c=x,8c+4a=y,3a+2b=Z, 则a=-青x+y+合z,b=x-品y+幸z,c=含x+ty-立z, 所 以 本十+=-0+装+等+=-0+（条+等）+（器+希）+( 4y 当且仅当x:y:z=1:2:3时，即a:b:c=10:21:1时等号成立. 【解答】A 【例 4】设非负实数 X,y,Z 满足 (x+)+(y+1)2+(z+)=￥，则x+y+z的( ) A最小值为西 B.最小值为4= B.最大值为是 D.最大值为子 【分析】本题从三元的平方和为定值得到三元的和的最值，可以借助柯西 不等式实现 解法 一 由柯西不等 式 可 知 [(x+)2+(y+1)2+(z+)]×(1+1+1)≥(x++y+1+z+)2=(x+y+z 所以x+y+z+3≤V厚=号， 即得x+y+z≤号，当且仅当(xy,z)=（1,0)时，取等号. 解法二：三角换元 设x+告=号cosainB,.y+1=39 cosaoosB,z+号=9sa, 所 以 (cosasinB+cosqcosB+sina)[(sinB+cosB)cosa+sima] ≤9(V2cos+sina)s号 可得x+y+z≤，当(xy,z)=（1,0)时取等号. 又 由 题 意 得 x2+y2+z2+x+2y+3z=￥≤(x+y+z)2+3(x+y+z), 解得x+y+z≥画，当且仅当(x2)=(0,0,四) 2 时等号成 立 【解答】AC x+v3y 【例5】已知实数x,y满足x2+(y-2)2≤1，求 Vx2tv2 的最大值与 最小值， 【分析】本题具有一定的几何背景，可以从三角和不等式等多个角度考虑 【解答】解法一：由柯西不等式可得 x+3y x+5y≤1+(5)](2+2)=22+2，所以≤2. 解法二：（仁角函数定义）设4=na,4=c0S0, (y) 由题意可得a∈[受，]， 所以原式=cosa+V3sina=2sin(r+晋)e[12] 解法三：（平面向量法）如图，设OA=（15),O市=(x,y), 则原式- :,即向量OA在OB上的投影， 易得最小值为1，最大值为2. 【例6】已知正实数a,a2…,d2022,满足a+a2十…+2022=2022， 求中十 十…十的最小值 【分析】根据a+a2十·+a2022为定值，所以分母和也为定值，可以考虑 使用分式柯西不等式. 【解答】由分式柯西不等式可得， (1+1++1)2 十+…+n之2xa+网 器=2024=1011， 20222 2 当且仅当a=a马=…=2022=1时，等号成立.