2.4.2 第3课时 直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4.2 第3课时 直线与直线平行、直线与平面平行、 平面与平面平行 设空间直线 l1，l2的方向向量分别为v1= (x1，y1，z1)，v2=(x2，y2，z2)，平面α1，α2的法向量分别为n1=(a1，b1，c1)，n2=(a2，b2，c2)，则 位置关系 向量表示 图示 向量运算 坐标运算 l1⊥l2 v1⊥v2 v1 ∙ v2 = 0 x1x2＋y1y2＋z1z2 = 0 l1⊥α1 v1 // n1 n1 = k v1 a1 = k x1 b1 = k y1 (k ≠ 0) c1 = k z1 α1⊥α2 n1⊥n2 n1 ∙ n2 = 0 a1a2＋b1b2＋c1c2 = 0 α1 如果改为平行，你能写出向量运算和坐标运算吗 设空间直线 l1，l2的方向向量分别为v1= (x1，y1，z1)，v2=(x2，y2，z2)，平面α1，α2的法向量分别为n1=(a1，b1，c1)，n2=(a2，b2，c2)，则 位置关系 向量表示 图示 向量运算 坐标运算 l1// l2 v1 // v2 l1 // α1 v1 ⊥ n1 α1 // α2 n1 // n2 直线与直线的平行位置关系 直线与平面的平行位置关系 平面与平面的平行位置关系 利用向量运算 判定 直线的方向向量、 平面的法向量 例1 已知不重合的两条直线 m，n和平面 α 都垂直．求证：m // n ． 1．直线与直线平行 证明： 向量与平行 判定定理: 若两条不重合的直线垂直于同一平面，则这两条直线平行. 判定定理：若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则该直线与平面平行. 2．直线与平面平行 例2 已知 a α，b⊂α，a //b．求证：a // α ． 证明： （内外）线线平行，则线面平行. 1.若直线l1和l2的方向向量分别是a=(1，-1，2)，b=(-2，2，-4)，则 A.l1∥l2 B.l1与l2相交 C.l1与l2重合 D.l1∥l2或l1与l2重合 √ 解：∵b=-2a，∴l1与l2平行或重合. v1∥v2 v2=kv1 两直线平行的判定方法: 设v1，v2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔ ⇔∃k∈R，使得 . 证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 设正方体的棱长为1，则可求得 M，N，D(0，0，0)， A1(1，0，1)，B(1，1，0). 于是==(1，0，1)， =(1，1，0). 提示：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点. 求证：MN∥平面A1BD. 8 设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)， 则 得 取x=1，得y=-1，z=-1， ∴n=(1，-1，-1). ∵·n=·(1，-1，-1)=0， ∴⊥n. 又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 想一想：是否还有其他方法呢？ 9 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点. 求证：MN∥平面A1BD. 证明：∵=-=- =--+ =-， ∴是共面向量. 又∵MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 方法二：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示. 10 证明：∵=-=- =-)=， ∴∥. 又∵MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. 方法三： 11 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 方法归纳 12 3.平面与平面直线平行 例3 已知平面α1，α2，a与b是平面α1内两条相交的直线，且a//α2，b//α2． 求证：α1//α2． 证明： 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 必须要说明 例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN // 平面BDEF． 证明： 面面平行转化为线线平行 例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1， D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN // 平面BDEF． 例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1， D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN // 平面BDEF． 例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1， D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN // 平面BDEF． (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明. 方法归纳 2.证明平面与平面平行的具体步骤： 1.证明平面与平面平行的一般思路： 1.线线平行的向量表示及其应用. 2.线面平行的向量表示及其应用. 3.面面平行的向量表示及其应用. 针对以下关键词回顾本节课所学知识，谈谈你的收获.　　　　　　　　　　　 解：∵v=-3(1，2，-2)=-3u， ∴α∥β. 1.设两个不重合的平面α，β的一个法向量分别为u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，则α，β的位置关系为　　　　. 平行 解：∵u·v=(2，0，-1)·(-2，1，-4)=-4+0+4=0， ∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α. 2.已知直线l的一个方向向量为u=(2，0，-1)，平面α的一个法向量为 v=(-2，1，-4)，则l与α的位置关系为　　　 　. l∥α或l⊂α 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为 A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 √ 解：根据题意建系如图，设正方体的棱长为2， 则A(2，2，2)，A1(2，2，0)， C(0，0，2)，B(2，0，2)， ∴M(2，1，1)，N(1，1，2)， ∴=(-1，0，1). 又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0，1，0)， ∴·n=-1×0+0×1+1×0=0， ∴⊥n， 又∵MN⊄平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. $