2.4.2 第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4.2 第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直 一般地,如果非零向量与直线平行,就称为的方向向量 一般地,如果非零向量与平面垂直,我们就说为平面的法向量 由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置 由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置. 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 方法 利用向量运算来判定 直线的方向向量、 平面的法向量 填一填：设空间两条直线,的方向向量分别为向量，向量,平面的法向量为向量则: 位置关系 向量表示 图示 向量运算 坐标运算 直线与直线、直线与平面位置关系 转化 向量的坐标运算 ,, k为非零常数 如图，过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影（也叫投影）． 1.直线与直线垂直 预先给定平面α，空间任意一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成的图形，称为这个图形在平面α上的射影． ①如果直线 l 垂直于平面α，那么 l 在α上的射影是一个点，就是 l 与α的交点． 想一想：直线 l 在平面α上的射影是什么图形? ②如果直线 l 与平面α不垂直， l 在α上的射影就是一条直线． 向量与垂直 我们知道，与平面α相交但不垂直的直线是平面α的斜线．关于平面α的斜线 l 的射影，有如下结论： 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在这个平面内的射影也垂直． 如何证明这两个定理呢 例1 已知 AB，AC分别是平面 α 的垂线和斜线，BC是AC在 α 内的射影，l ⊂α且 l⊥BC．求证：l⊥AC． 证明: 设直线的方向向量为 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在这个平面内的射影也垂直． 已知：,分别是平面的垂线和斜线,是在内的射影,且，求证: 证明:设直线的方向向量为, 因为,所以 因为,,所以,即 又因为所以 因此从而 1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC1中点． 求证：CE⊥BD． 证明： 证明直线与直线垂直的步骤： 方法归纳 注意：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可以转化为两直线的方向向量互相垂直. 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直，这就是直线与平面垂直的判定定理．如何用向量知识来证明它呢？ 2.直线与平面垂直 向量与垂直 例2 设直线同时垂直于平面内两条相交的直线,，求证 证明：设直线l与平面相交于点O,从点O出发在平面内分别作有向线段OA,OB,OP,使其分别代表直线a,b,p的方向向量,,其中直线是平面内任一直线, 从而 任取直线的方向向量,则, 这说明,从而p 由于直线垂直于平面内任一条直线,由直线于平面垂直定义可得 根据平面向量基本定理可得,其中,是实数, 例2 设直线同时垂直于平面内两条相交的直线,，求证 直线l的方向向量 与平面的法向量 共线,则直线与平面垂直. 想一想：题目中直线的方向向量 与平面的法向量 之间有何关系?由此你能得到什么结论？ 2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD． “判定定理法”—一条直线垂直于 平面内的两条相交直线 方法一： 2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD． “向量法”—方向向量 与法向量共线 方法二： 证明直线与平面垂直的步骤： 方法一： 方法二： 方法归纳 针对以下关键词回顾本节课所学知识，谈谈你的收获.　　　　　　　　　　　 直线与直线垂直； 三垂线定理； 直线与平面垂直； 空间线面垂直关系的判定. 1.设l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)， 若l1⊥l2，则m等于（ ） A.1 B. C. D.3 解：因为l1⊥l2，所以a·b=0， 即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0， 所以2m=9-4=5，即m=. B 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求证：AE⊥CD； (2)求证：PD⊥平面ABE. 证明：(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1). 因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形. 所以C，E=， 设D(0，y1，0)，则=， 由AC⊥CD得·=0， 即-+=0， 解得y1=，则D， 所以=. 又=， 所以·=-×+×=0， 所以⊥，即AE⊥CD. (2)求证：PD⊥平面ABE. (2)方法一：由(1)知=(1，0，0)，=， 设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)， 则 令y=2，则n=(0，2，-). 又==n，所以∥n， 所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 方法二　由(1)知==. 所以·=×+×(-1)=0， 所以⊥，即PD⊥AE. 由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. $