2.4.2.1 向量与垂直-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

2.4.2　空间线面位置关系的判定 第1课时　向量与垂直 [学习目标]　1.理解并掌握三垂线定理及逆定理.2.能够利用直线的方向向量与平面的法向量判定并证明空间中的线线、线面、面面的垂直关系． 导语 观察图片中存在哪些垂直关系？在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？本节课我们利用向量来研究空间直线、平面的垂直关系． 一、直线与直线垂直 问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 直线与直线垂直的判定 (1)向量法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)三垂线定理及其逆定理法 ①三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直． ②三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直． 注意点： 两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可以转化为两直线的方向向量互相垂直． 例1　(1)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 证明　方法一　以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝a，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)， 于是F. ∵E在BC上， ∴设E(m,1,0)， ∴＝(m,1，－1)，＝. ∵·＝0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 方法二　因为点E在边BC上，可设＝λ， 于是·＝(＋＋)·(＋)＝(＋＋λ)·(＋) ＝(·＋·＋·＋·＋λ·＋λ·)＝×(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0，因此⊥，即PE⊥AF. 故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥PA. 证明　如图所示．由题意可知PA是平面BB1D1D的一条斜线，B1O⊂平面BB1D1D. 易知AO⊥平面BB1D1D， 则PO为PA在平面BB1D1D内的射影． 设正方体的棱长为1， 则B1D1＝，D1P＝，DO＝OB＝，PB1＝，PO＝，B1O＝， ∴PO2＋B1O2＝PB， ∴PO⊥B1O. 根据三垂线定理可得B1O⊥PA. 反思感悟　(1)利用坐标法证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． (2)利用基向量证明两直线垂直的基本步骤：选取基向量→两直线的方向向量用基向量表示→计算出两直线的方向向量的数量积为0→由方向向量垂直得到两直线垂直． (3)三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题： ①从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”，其逆定理的条件是“和斜线垂直”； ②从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面直线垂直，证明异面直线垂直的问题，逆定理正好相反． 跟踪训练1　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 证明　方法一　设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质， 得|a|＝|b|＝|c|＝1， a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)， ＝b＋c，＝－ ＝－a＋b＋c， ∴·＝(a＋c)· ＝－＋cos 60°＋0＋0＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 方法二　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得 A，B，C，N，B1， ∵M为BC中点，∴M. ∴＝，＝(1,0,1)， ∴·＝－＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 二、直线与平面垂直 问题2　如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示　平行(共线)． 知识梳理 直线与平面垂直的判定 (1)向量法 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔v∥n⇔∃k∈R，使得n＝kv. (2)判定定理 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直． 注意点： 证明直线l与平面α垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD. 证明　由题意得，DA，DC，DP两两垂直， 所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图， 设DC＝PD＝1， 则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E. 所以＝(1,1，－1)，＝，＝. 方法一　因为·＝(1,1，－1)·＝0＋－＝0， 所以⊥， 所以PB⊥DE， 因为PB⊥EF， 又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD. 所以PB⊥平面EFD. 方法二　设F(x，y，z)， 则＝(x，y，z－1)，＝. 因为⊥， 所以x＋－＝0， 即x＋y－z＝0.① 又因为∥， 可设＝λ(0≤λ≤1)， 所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.② 由①②可知，x＝，y＝，z＝， 所以＝. 设n＝(x1，y1，z1)为平面EFD的法向量， 则有 即 所以取z1＝1， 则n＝(－1，－1,1)． 所以∥n， 所以PB⊥平面EFD. 反思感悟　证明线面垂直的方法 (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 跟踪训练2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB. 证明　以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设DA＝1，E(a,0,0)，其中a>0， 则A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F， ＝，＝(2a,1，－1)，＝(2a,0,0)． 所以·＝0，·＝0. 所以EF⊥PB，EF⊥AB. 又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B， 所以EF⊥平面PAB. 三、平面与平面垂直 问题3　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 平面与平面垂直的判定 (1)向量法：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 注意点： 利用法向量证明面面垂直时，往往结合几何图形去寻找特殊情况下的法向量，将法向量的坐标直接写出．若不便写出时，再设出坐标，根据垂直关系，数量积为0，列方程组求解． 例3　如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 证明　方法一　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 令PA＝PB＝PC＝3，则P(0,0,0)，A(3,0,0)，F(0,1,0)，G(1,1,0)， 于是＝(3,0,0)，＝(1,0,0)， 故＝3，∴PA∥FG. 而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC. 又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC. 方法二　同方法一，建立空间直角坐标系， 则P(0,0,0)，A(3,0,0)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)． ∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥. ∴令y＝1，得z＝－1，x＝0， 即n＝(0,1，－1)． 显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量． 又n·＝0，∴n⊥， 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直， ∴平面EFG⊥平面PBC. 延伸探究　如图，正方形ADEF所在的平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求证：AC⊥BF； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (1)证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD， AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD， ∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)， 则BH＝1，AH＝，CH＝3，∴AC＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB， ∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. (2)解　存在．理由如下： 由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(－1，，2)． 假设在线段BE上存在一点P满足题意， 则易知点P不与点B，E重合， 设＝λ， 则λ>0，P. 设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)． 由＝，＝(0,2，0)， 得 即 令x＝1，则z＝， ∴m＝为平面PAC的一个法向量． 同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量． 当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时＝. 反思感悟　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 跟踪训练3　如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. 证明：平面PQC⊥平面DCQ. 证明　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系． 则D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)， 则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)， 可知·＝0，·＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC， 又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ， 所以PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC， 所以平面PQC⊥平面DCQ. 1．知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示． (2)直线与平面垂直的向量表示． (3)平面与平面垂直的向量表示． 2．方法归纳：转化法、法向量法． 3．常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混． 1．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直 B．直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直 C．两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直 D．若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线与平面垂直 答案　AC 解析　直线的方向向量与平面的法向量共线(方向相同或相反)时，直线与平面垂直，A正确；直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面平行或直线在平面内，B错误；两个平面的法向量垂直，这两个平面就垂直，C正确；当平面内两条直线的方向向量共线时，直线不一定和平面垂直，D错误． 2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　D 解析　∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5. 3.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 答案　垂直 解析　以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则E，F，P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， ∴＝，＝(1,1，－1)，＝(0,1，－1)． 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，n·＝0， 即 取y＝1，则z＝1，x＝0，n＝(0,1,1)是平面PBC的一个法向量． ∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC. 4．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”) 答案　是 解析　如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则由AC＝2，BC＝，SB＝，得AB＝，AS＝2， 则B(－，2,0)，S(0,0,2)，C(0,2,0)， ＝(0,2，－2)，＝(－，0,0)． 因为·＝0， 所以SC⊥BC. 1．设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A．1 B. C. D．3 答案　B 解析　因为l1⊥l2， 所以a·b＝0， 即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0， 所以2m＝9－4＝5，即m＝. 2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为(　　) A．10 B．－10 C. D．－ 答案　B 解析　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0， 解得x＝－10. 3．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1,0，－2) B．(1,0,2) C．(－1,0,2) D．(2,0，－1) 答案　C 解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0， 得－x＋1－z＝0.① ·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0， 得2x＋z＝0，② 联立①②得x＝－1，z＝2， 故点P的坐标为(－1,0,2)． 4．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　当a，b不共线时，由c·a＝0且c·b＝0，可推出l⊥α；当a，b为共线向量时，由c·a＝0且c·b＝0，不能够推出l⊥α，所以c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的不充分条件； 若l⊥α，则一定有c·a＝0且c·b＝0，即必要性成立， 所以c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的必要而不充分条件． 5．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则AP与底面ABCD的关系是(　　) A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 答案　B 解析　因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，即AB⊥AP；因为·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，即AD⊥AP，又AB∩AD＝A，AB，AD⊂底面ABCD，所以AP⊥底面ABCD. 6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．BD B．AC C．A1D D．A1A 答案　A 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E， ∴＝，＝(－1,1,0)， ＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)， ＝(0,0，－1)， ∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0， ∴CE⊥BD. 又·＝－1，·＝－，·＝－1， ∴CE与AC，A1D，A1A均不垂直． 7．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点分别为A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x,0)，则x的值为________． 答案　0或9 解析　∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x,0)， ∴＝(2,1，－2)，＝(－4，x＋1,1)，＝(－2，x＋2，－1)． 分三种情况： ①A为直角，·＝0，∴－4＋x＋2＋2＝0，∴x＝0； ②B为直角，·＝0，∴－8＋x＋1－2＝0， ∴x＝9； ③C为直角，·＝0，∴8＋(x＋1)(x＋2)－1＝0，x2＋3x＋9＝0，方程无解． 综上，x的值为0或9. 8.如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________． 答案　2 解析　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)， 设Q(1，y,0)，P(0,0，z)， 则＝(1，y，－z)，＝(－1，a－y，0)． 由·＝0，得－1＋y(a－y)＝0， 即y2－ay＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，点Q只有一个． 9.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上，且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA. 证明　如图，连接OP，OQ，以O为坐标原点，以OA，OC所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B，＝， ∵P为AC的中点， ∴P. 又由已知，可得＝＝. ＝＋＝， ∴＝－＝. ∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA. 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 证明　取AB的中点O，CD的中点M，连接OM，则OM⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OM⊂平面ABCD， 所以OM⊥平面PAB， 又PA＝PB，所以PO⊥AB， 以点O为原点，OP，OB，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示． 设AP＝a，AD＝b， 则A，B，P，C，D， 所以＝，＝，＝，＝. 设n1＝是平面PAD的法向量， n2＝是平面PBC的法向量， 则由n1·＝0，n1·＝0， 得 令x1＝1，则 即n1＝， 同理 令x2＝1，则 即n2＝. 因为n1·n2＝1－1＝0， 所以平面PAD⊥平面PBC. 11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 答案　B 解析　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0，1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， ∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)， ＝，＝(－1，－1,1)， ∴＝－，·＝0，·＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC. 12.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD等于(　　) A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1 答案　B 解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形边长为1，PA＝a， 则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)． 设点F的坐标为(0，y,0)， 则＝(－1，y,0)，＝. 因为BF⊥PE， 所以·＝0， 所以－＋y＝0， 解得y＝，即点F的坐标为， 所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1. 13．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是(　　) A．对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ B．对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ C．当AR⊥A1C时，AR⊥D1R D．当A1C＝3A1R时，D1R与平面BDC1的法向量垂直 答案　ABD 解析　如图所示，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2，0)，C1(0,2，2)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2，0)，＝(－2,2，－2)， 设P，a∈， Q，b∈， 设＝λ，λ∈[0,1]， 得R，λ∈. ＝，＝，·＝4－2b， 当b＝2时，D1P⊥CQ，A正确； ＝， ·＝2－2λb， 当λ＝时，D1R⊥CQ，B正确； 若AR⊥A1C，则·＝·＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，λ＝， 此时·＝·＝－≠0，C错误； 若A1C＝3A1R，则R， ＝，又＝(－2，－2，0)，＝(0,2，2)， 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝，则y＝－1，z＝， 所以平面BDC1的一个法向量为n＝， 故·n＝0，D正确． 14．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是(　　) A.·＝0 B．AB⊥DC　 C．BD⊥AC D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 答案　BC 解析　以D为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)， 设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0，0,0)，A(0,0,1)，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,0)，＝(－1，0,0)， 从而有·＝0＋0＋1＝1≠0，故A错误； ·＝0，故B正确； ·＝0，故C正确； 易知平面ADC的一个法向量为向量＝(－1,0,0)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 由·n＝x－z＝0，·n＝y－z＝0， 令y＝1，则x＝1，z＝1， 故n＝(1,1,1)，·n＝－1≠0，故D错误． 15.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B(含边界)内，若D1M⊥CP，则△BCM面积的最小值为(　　) A．8 B．4 C．8 D. 答案　D 解析　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图， 则P，C，D1，B， 设M， 则＝，＝， ∵D1M⊥CP， ∴·＝16－4a＋2b－8＝0，得b＝2a－4， ∴BM＝ ＝， ∴当a＝时，BM取最小值， 又BC＝4，∴S△BCM的最小值为××4＝. 16.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC. (1)求证：OD∥平面PAB； (2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 解　连接OB， ∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC， ∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP， 以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)． 设AB＝a，则A，B，C. 设OP＝h，则P(0,0，h)． (1)证明　∵D为PC的中点， ∴＝， 又＝， ∴＝－， ∴∥， ∴OD∥平面PAB. (2)解　设△PBC的重心为G， 则G， ∴＝， ∵OG⊥平面PBC， ∴⊥， 又＝， ∴·＝a2－h2＝0， ∴h＝a， ∴||＝＝a，即k＝1， 反之，当k＝1时，三棱锥O－PBC为正三棱锥， 此时O在平面PBC内的射影为△PBC的重心． 学科网（北京）股份有限公司 $$