2.2 第2课时 向量与实数相乘、向量的数量积课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.2 第2课时 向量与实数相乘、向量的数量积 1.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作 ，称为a的λ倍，它的长度|λa|= . (1)当λ≠0且a≠0时， (2)当λ=0或a=0时，λa=0·a= 或λa=λ·0= . λa |λ||a| λa的方向 0 0 注意：λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 你还记得平面向量中向量数乘的以下知识吗 a a λa(λ>0) λa(λ<0) 2.向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向 . 3.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称 .向量线性运算的结果 仍是一个 . 放大或缩小 向量的线性运算 向量 类比平面向量，研究空间向量的数乘运算 1.空间向量的数乘运算的定义 （1）结果仍然是一个向量; （2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同; 当λ<0时，λa与a方向相反; 当λ=0时，λa是零向量0; （3）大小: λa的长度是a长度的 |λ|倍. 定义：任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λ a |= . |λ| |a| （4）长度为1的向量称为单位向量． 对于每个非零向量 a ，可得到与它方向相同的唯一单位向量 2.数乘运算的运算律 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似. 说一说： （1） λa与a之间有什么位置关系？ （2） λa与a所在直线之间又有什么位置关系？ 对于空间任意两个向量 a，b（a ≠ 0 ），若 b = λ a，其中λ为实数， 则 b 与 a 共线或平行，记作 b // a． 零向量的方向可以任取，又0 = 0 a ，则 0 是任意向量 a 的0倍，因此零向量与任意向量共线． 向量的数乘可用于判断向量是否共线 （1）向量平行与直线平行有什么异同？ （2） 对空间任意两个向量a与b ,如 ,那么a与b有什么数量关系? 反过来呢? 议一议：与同学交流,解答下列问题. （1）a，b共线，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是 同一直线，也可能是平行线; （2） a // b时，也具有同样的意义. b = λ a 对于空间任意两个向量a , b( b≠0)， a // b的充要条件是存在实数λ，使 a = λb （1）若b=0，则a任意，λ不唯一; （2）若a // b，b // c，则a不一定平行于c. 空间共线向量的基本定理 （因为中间向量b可能为零向量） 要点归纳 注意： 如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 OP = OA + ta. (1) a P B 其中向量a叫做直线l的方向向量 OP = (1- t)OA + t OB. (2) 共线向量基本定理的推论 l 在l上取AB=a，则(1)式可化为 说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. OP = (1- t)OA + t OB. (2) a P B OP = OA + ta. (1) 1.下列说法中正确的是（ ） A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.数乘运算中，λ既决定大小又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+= C 例1 如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M在线段A'B上，且 ，点N在线段A'C上，且 ． 求证：M，N，D'三点在一条直线上． 转化为求证： a = λ b 例1 如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M在线段A'B上，且 ，点N在线段A'C上，且 ． 求证：M，N，D'三点在一条直线上． 2.已知空间不共线的向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是( ) A.A，B，C B.B，C，D C.A，B，D D.A，C，D 解：因为=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b， 对于A，因为=+=-4a+8b， 则不存在λ∈R，使得=λ，所以A，B，C三点不共线，故A错误； 对于B，因为=+=2a+4b， 则不存在μ∈R，使得=μ，所以B，C，D三点不共线，故B错误； C 14 对于C，因为=++=3a+6b， 所以=3，则A，B，D三点共线，故C正确； 对于D，因为=+=-4a+8b， 则不存在t∈R，使得=t，所以A，C，D三点不共线，故D错误. 15 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos α，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念. 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 想一想：你还记得平面向量的数量积是如何定义的吗? 空间向量的夹角的定义及数量积 1.空间向量的夹角 (1)定义：如图，由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，借助平面向量夹角的定义，我们任选一点O，作=a，=b，则∠AOB称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作 . (2)取值范围： . ①当〈a，b〉=时，向量a与b垂直，记作a⊥b. ②当〈a，b〉=0或π时，向量a与b平行，记作a∥b. 〈a，b〉 [0，π] 空间向量的夹角的定义及数量积 2.空间向量的数量积 注意： ①两个向量的数量积是数量,可以正,负或0，而不是向量. ②规定：零向量与任意向量的数量积为0. 想一想: a O A b B C 想一想: 注意： (1)投影可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的. (2)投影不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影才是投影向量的模. 3.空间两个向量的数量积性质 ——数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件 ——用于计算向量的模 ——用于计算向量的夹角 例1 20 4.空间向量的数量积满足如下的运算律 1350 4. 例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB = 4，AD = 2，AA1 = 2． （1）求||； （2）求与的夹角θ的余弦值. 例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB = 4，AD = 2，AA1 = 2． （1）求||； 例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB = 4，AD = 2，AA1 = 2． （2）求与的夹角θ的余弦值 例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB = 4，AD = 2，AA1 = 2． （2）求与的夹角θ的余弦值. (1)用数量积求两点间距离的步骤 (2)用向量法求夹角、证明垂直关系的步骤 ①将两点间的连线用向量表示. ②用其他向量表示此向量. ③用公式a·a=|a|2，求|a|. 利用数量积的定义可得cos〈a，b〉=，求出〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 归纳总结 27 例3 设ABCD是空间四边形．求证： 改为平面四边形，此结论还成立吗？ 5.（变式）已知空间四边形OABC,　OB=OC,∠AOB=∠AOC=q，求证：OA⊥BC.　　　　　　　　　　　 证明： ∵ 1.空间向量的数乘运算. 2.空间向量的数乘运算的运算律. 3.向量的数量积的相关性质及其运算律 针对以下关键词回顾本节课所学知识，谈谈你的收获.　　　　　　　　　　　 $