2.2.1 空间向量及其运算（1）教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题 2.2.1 空间向量及其运算（1） 编号 选择性必修 第二册 第二章 第2节 共2课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第2课《空间向量及其运算》第1课时，介绍空间向量的基本概念，空间向量的加减法，向量与实数相乘等部分内容。 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分，一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始章节，是在学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。 教学目标 理解空间向量的概念；掌握空间向量的线性运算；掌握共线向量定理及其应用。 核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模 教学重点 空间向量的有关概念，掌握空间向量的线性运算，掌握共线向量定理，掌握共线向量定理及其应用。 教学难点 理解空间向量的概念，掌握共线向量定理及其应用。 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图1 图2 如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 创设问题情境，引导学生通过平面向量知识类比学习空间向量，激发了学生的学习兴趣，为后续空间向量的加法运算做铺垫。 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 1.空间向量基本概念 复习回顾：平面向量我们学习过哪些基本概念？ 思考：类比平面向量所学的基本概念，我们是否同样可以得到空间向量的基本概念？ 通过类比直接给出空间向量的基本概念。 平面向量 空间向量 定义 既有大小又有方向的量 平移 自由向量，平移后不发 生改变 表示法 几何表示： 字母表示：， 向量的模 向量的大小，|| 相等向量 方向相同且长度相等 相反向量 方向相反且长度相等 单位向量 长度为1的向量 零向量 长度为0的向量 2.空间向量线性运算法则： 复习回顾：平面向量我们学习了哪些线性运算法则？ 思考：平面向量的线性运算法则对空间向量是否适用？ 结合图形展示几何意义进行解释加、减法运算。 平面向量 空间向量 加法运算 三角形法则或平行四边形法则 减法运算 三角形法则 数乘运算 （k为正数，负数，零） 3.空间向量运算律 复习回顾:我们前面学习了哪些平面向量的运算律？ 思考：这些平面向量的运算律空间向量是否成立？ 平面向量 空间向量 加法 交换律 加法 结合律 向量加法分配律和实数加法的分配律 结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量； 结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。 4.共线向量 思考:我们在平面向量学习了共线向量，拓展到空间向量还是否成立？ (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。 (2)方向向量：在直线上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线的方向向量。 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有。 (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使。 (4)如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得 . 例1.如图2.2-1，在正方体中： （1）向量，，与向量相等吗？ （2）向量，，与向量是相反向量吗？ 方法：利用基本概念相等向量，相反向量 例2.如图2.2-5，已知平行六面体，化简下列各式： （1）； （2）. 方法：利用线性运算法则加法法则，减法法则 例3．如图2.2-6，平行六面体中，点在线段上，且，点在线段上，且。 求证：，，三点在一条直线上。 方法：利用共线定理，通过线性运算法则简单化简 （1）学生对平面向量的知识结构已经比较了解，空间向量的知识结构和它有很多的相似性，让学生自己去阅读、比较、辨别、思悟。 （2） 从平面向量到空间向量，从二维到三维，体会概念的类比过程．通过深入类比，学生的思维逐步过渡到空间向量上。 （3） 通过概念辨析，加深对向量内涵与外延的理解，突破重点难点。 （4） 通过学生归纳知识点和方法，培养学生数学对比、归类、整理意识。 通过典例解析，进一步让学生体会空间向量在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。 课堂练习 1. 如图，从长方体的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点： （1）写出所有与相等的向量； （2）写出的相反向量。 2. 已知平行六面体，化简下列各式： （1）;（2）; （3）。 3. 如图，在正方体中，E在上,且，在对角线上，且，求证：，，三点共线。 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。 总结提升 1.空间向量的基本概念。 2.空间向量的线性运算法则及运算律。 3.运算律。 4.共线向量。 （1）定义；（2）方向向量；（3）共线定理 结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量； 结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P70习题2.2第2、3、4、5题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P79习题2.2第8题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$