7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 1、 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为随机变量的均值 则称 或数学期望， 数学期望简称期望. 如果随机变量服从两点分布那么， 2、两点分布的均值： 3、均值的性质： 3、均值的性质： （1）也是随机变量； （2） 若,其中为常数，是随机变量： 情景：某学校组织了古风游园会活动，活动要求在两个不同的场地领取“入园通关锦囊”，两个场地均设置了考验关卡，通过考验即可获得对应等级的信物积分，积分越高，后续入园的权限越广.现在场地的考验规则如下： 云栖园：考验为抽取“题签”，签筒内有5支题签，分别标注积分1、2、3、4、5，摇匀后随机抽取1支，抽到的题签标注的积分即为通过考验获得的积分，每支题签被抽到的概率均为 清风阁：考验同样为抽取“题签”，签筒内有5支题签，分别标注积分2、2、3、4、4，摇匀后随机抽取1支，抽到的题签标注的积分即为通过考验获得的积分.其中标注2和4的题签各有2支，标注3的题签有1支，因此抽到积分2的概率为，抽到积分3的概率为，抽到积分4的概率为. 你会选择去哪个场地完成考验呢？ 对于云栖园，设获得的积分为随机变量，其数学期望 对于清风阁，设获得的积分为随机变量，其数学期望 问题1 从长期平均来看，通过两个场地考验获得的积分是一样的.这时候你该如何选择呢？ 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录， 甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平？ 根据均值不能区分这两名同学的射击水平. ， ， 下图分别是和的概率分布图，比较两个图形，你认为哪位同学的射击成绩稳定？ “矮胖型”数据较分散 “瘦高型”数据较集中 可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 思考 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 设离散型随机变量的分布列如表所示 考虑所有可能取值与的偏差的平方，，，.因为取每个值的概念不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概念的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. 离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系 （1）区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化. （3）联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 两名同学射击成绩的方差和标准差分别为： ； . 因为(等价地，)，所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化. 即 方差有哪些性质呢？ 方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了能简化计算外，还有助于更好地理解其本质. 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即. 离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又会有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 探究 离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数，故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即 . 一般地，可以证明下面的结论成立： （1）当时， 即常数的方差等于0. 关于方差性质的四点说明 （4）当均为非零常数时,随机变量 （2）当时， 即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. （3）当时， 即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. 例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差. 解：随机变量的分布列为 , 因为 所以 例2 投资两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险高？ 分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低． 因为，所以投资股票的期望收益较大. 解：(1)股票和股票投资收益的期望分别为 因为和相差不大，且， (2)股票和股票投资收益的方差分别为 所以投资股票比投资股票的风险高. (1)理解的意义，明确其可能取值； (2)判定是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊发布则继续下面步骤； (3)写取每个值的概率； (4)写出的分布列，并利用分布列性质检验； (5)根据方差定义求. 归纳 ☆ 求离散型随机变量的方差的一般步骤 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量的离散程度.在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释. 1.如果给随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性； 3.如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低. 2. 如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度； 1、判断正误： （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( ) （2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.( ) （3）离散型随机变量的方差反映了取值的波动水平.( ) （4）若随机变量的方差，则.( ) √ × √ × 2、已知随机变量的分布列为 设则等于（ ） . B. C. D. 3、已知随机变量，，则的标准差为__________. 4、若1，则 1 　5、已知的分布列如表: (1)求 的分布列； (2)计算的方差； (3)若 ,求的均值和方差. 　　(2) 方法一：由(1)知，所以的数学期望 , 故 . X 0 1 P 解：（1）由分布列的性质知，故. 从而 的分布列为 　(3)因为随机变量， 所以的方差 方法二：由(1)知， 所以的数学期望 故的数学期望, , 所以 6、甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差和(单位: )的分布列如下: 甲班的目测误差分布列 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断和的分布哪一个离散程度大，再分别计算和的方差，验证你的判断. 乙班的目测误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 解： 的分布离散程度较大. 1、随机变量的分布列如下： X 0 1 P 0.2 m 已知随机变量，且，则与的值为（ ） 解：因为，所以， 由两点分布，知. 因为， 所以， . 解之得. C 2、(多选)已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量，则( ) A.的可能取值为 B.服从两点分布 C. D. ABD D 3、设，随机变量的分布列为 则当在(0，1)内增大时，(　　) A.减小 B.增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小 0 1 2 P 4、有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为，求和. 解：这3张卡片上的数字之和为ξ，ξ的可能取值为 表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 表示取出的3张卡片上均标有， 则; 则; 表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则; 因此随机变量的分布列为 66 9 12 P , . 解：乙投篮的次数的可能取值为0，1，2. 5、甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、期望和方差. 则; ; . 故的分布列为 60 1 2 P , . 6、某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.项目：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为.经测算，当投入两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等. (1)求的值； (2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解：（1）依题意得，，解得. 设投到项目的资金都为万元，变量和分别表示投资项目和所获得的利润，则和的分布列分别为 所以， ， 因为，所以， 即. ① 又， ② 由①②，解得， 所以. 1、离散型随机变量的方差 设离散型随机变量的分布列如表所示 为随机变量的方差，为随机变量的标准差. 2、离散型随机变量的方差的性质 2、离散型随机变量的方差的性质 $