7.3.2　离散型随机变量的方差　教学设计——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

教学设计 课程基本信息 学 科 高中数学 年 级 高二 学 期 春季 课 题 7.3.2离散型随机变量的方差（第一课时） 教科书 书 名：普通高中数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2023年3月 教学内容分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第67-70页的第七章7.3.2离散型随机变量的方差。 本单元内容主要包括随机变量的均值和方差。本节课是前面学习完随机变量分布列的基础上进行研究的，知识上具有承前启后的作用。随机变量的均值和方差是概率论和数理统计的重要概念，节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。 教学目标分析 通过实例，让学生了解随机变量的均值只能反映取值的集中程度，不能反映随机变量取值的离散程度，体会引入离散型随机变量的方差的必要性。理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。并会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并利用均值与方差在实际问题中得出科学的决策。通过两个例子计算离散型随机变量的方差，体会引入离散型随机变量的均值和方差的必要性。体会它在实际生产生活中的应用价值。 学生学情分析（含教学重难点分析） 重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求解。 难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题。 教学方法和策略分析 教学方法：讲授法、讨论法、自学展示 教学策略：启发式教学策略 教学手段 现代多媒体教学 教学过程 1. 环节一：探索方差如何定量离散型随机变量取值的离散程度 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题 1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？ 表1 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 表2 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 E(X)= 8 ;E(Y)=8因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图： 图一 图二 发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。 通过知识回顾，提出问题.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入离散型随机变量分布列方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 2.环节二：怎样定量到离散型随机变量取值的离散程度? 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.即样本的方差 样本方差反应了这组数据的波动情况.随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 设离散型随机变量X的分布列如下： X … P … 因为X取每个值的概率不尽相同，而偏差平方关于取值概率的加权平均为 [师生互动] 师：因材施教，根据学生预习的结果，引导下一步教学发挥学生的主观能动性，暴露学生思维，教师精准指导,从而建立方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 3.环节三：得出离散型随机变量方差的概念 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称 为随机变量X的方差，称为随机变量X的标准差。 师：随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.那是方差越大越稳定吗？ 生：加深学方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 4.环节四：课堂练习 例1: 已知随机变量X的分布列如下 X 0 1 2 4 P 0.1 0.2 0.4 0.1 求D(X) 解： 例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示： 表1 股票A收益的分布列 表2 股票B收益的分布列 (1）投资哪种股票的期望收益大？ 解：股票A和股票B投资收益的期望分别为 因为,所以投资股票A的期望收益较大