精品解析：2026年河北省邯郸市南湖学校九年级数学中考一模试卷

2026年河北省初中学业水平素养评估数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，甲、乙两地的温差为（ ） A B. C. D. 2. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年初，中国科学院物理研究所的科研团队，成功为金属材料“重塑金身”，实现了厚度约为0.000000000375米的单原子层金属，为人类探索物质世界打开了全新维度．若数据0.000000000375用科学记数法表示成，则n的值是（ ） A. B. －9 C. 9 D. 10 5. 一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在第四象限，若m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明盒中有若干枚黑棋和5枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则盒中黑棋的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 8. 已知，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 10. 若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（ ） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 11. 如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 在声学探测实验中，横、纵坐标都为整数点称为声波探测整点．如图，在平面直角坐标系的声学探测区域中，点，均位于直线上．声波从发射源点处发出，传播轨迹为，该轨迹与线段相交，将段分成了两部分．若这两部分上的声波探测整点个数相同，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 化简：________． 14. 平行四边形的两条对角线长分别是8和10，则平行四边形的其中一条边长有可能是（取整数，写一个即可）______． 15. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 16. 具有对称性且富有节奏感正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式（组） （1）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； （3）求不等式组的解集． 18. 一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 ． 第三步 （1）指出在第＿＿＿＿＿＿步开始出现错误，选择喜欢的方法写出正确的解答过程； （2）计算：． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加米折返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩． 类别 专项素质 专项技术 实战能力 考核指标 米折返跑 传准 运射 比赛 比例 全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）参赛同学小祺四项考核指标米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80分，请你计算出他的总成绩； （4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺能否入选． 21. 如图，在边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心．操作①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2；②再将纸片折叠，使点B，C分别落在，边上，展开后，折痕恰好经过点F，连接，与圆交于点G，如图3，．注：． （1）直线与圆的位置关系是 ； （2）求的长； （3）求线段的长． 22. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小明爸爸驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为50千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为___________． （2）求加速后与之间的函数关系式； （3）在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 23. 如图，在平行四边形纸片中，点为边上一点（不与点重合），连接，作点关于对称点，连接，． （1）当点恰好落在边上时， ①尺规作图：请在图中画出点和点的位置； ②直接写出四边形的形状； （2）当点恰好是边的中点时，连接，如图，若，，求线段的长． 24. 如图，抛物线（，为常数）经过点和点，已知点，，线段MN上方有两个台阶，每个台阶高、宽都是1． （1）求抛物线的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标． （2）判断抛物线是否经过点M，并说明理由． （3）若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度的速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒． ①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值． ②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平素养评估数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，甲、乙两地的温差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：甲地的气温为，乙地的气温为， 甲、乙两地的温差为． 2. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式应用，利用平方差公式简化表达式，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4. 2025年初，中国科学院物理研究所科研团队，成功为金属材料“重塑金身”，实现了厚度约为0.000000000375米的单原子层金属，为人类探索物质世界打开了全新维度．若数据0.000000000375用科学记数法表示成，则n的值是（ ） A. B. －9 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000000000375用科学记数法表示为, ∴n的值是； 故选A． 5. 一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图与俯视图确定小正方体的个数是解题关键． 根据主视图与俯视图，可确定小正方体的分布，从而确定左视图． 【详解】解：如图： 则几何体的左视图为： 故选：B． 6. 已知点在第四象限，若m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积， ∴A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，不符合题意； D、，，符合题意； 7. 在一个不透明盒中有若干枚黑棋和5枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则盒中黑棋的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算．设盒子中有x枚黑棋，根据概率计算公式可得，据此求出． 【详解】解：设盒子中有x枚黑棋，则总棋子数为枚， 由题意得， 解得， 经检验：是方程的解，且符合题意， ∴盒子中有3枚黑棋， 故选：B． 8. 已知，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把所求式子的分子配方变为与的关系式，分母提取也变为与的形式，然后把已知的与的值代入即可求出值． 详解】解：，， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，利用了整体代入的思想，其中灵活运用完全平方公式及提取公因式的方法把所求式子化为关于与的式子是解本题的关键． 9. 如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 10. 若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（ ） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 11. 如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． 假设，根据翻折的性质和角平分线的性质表示出相关角，列出，然后进行求解即可． 【详解】解：假设， 根据翻折的性质可得，， ∵平分， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得，， ∵四边形为长方形， ∴， 解得， 故选：B． 12. 在声学探测实验中，横、纵坐标都为整数的点称为声波探测整点．如图，在平面直角坐标系的声学探测区域中，点，均位于直线上．声波从发射源点处发出，传播轨迹为，该轨迹与线段相交，将段分成了两部分．若这两部分上的声波探测整点个数相同，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据题意确定的范围为，则可确定整点有，，，，，，，，共有8个，由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点，当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得，此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；解答即可． 【详解】解：根据题意得，的范围为， ∴整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得， 解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得， 解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的的取值范围是． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项即可得到结果. 【详解】解：. 14. 平行四边形两条对角线长分别是8和10，则平行四边形的其中一条边长有可能是（取整数，写一个即可）______． 【答案】5（答案案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，得两条对角线的一半分别是4，5，再根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解． 【详解】解：根据平行四边形的性质，得对角线的一半分别是4和5， 再根据三角形的三边关系，得， 故它的边长可能是5， 故答案为：5（答案案不唯一）． 15. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 16. 具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键．根据题意可得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为19， 故答案为：19． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式（组） （1）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； （3）求不等式组的解集． 【答案】（1），画图见解析 （2），画图见解析 （3），画图见解析 【解析】 【分析】（1）先去括号，移项，合并，把未知数的系数化为1，可求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再画图，最后求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 【小问3详解】 解：， 由①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示解集如下： ∴原不等式组的解集为． 18. 一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 ． 第三步 （1）指出在第＿＿＿＿＿＿步开始出现错误，选择喜欢的方法写出正确的解答过程； （2）计算：． 【答案】（1）一，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得在第一步开始出现错误；正确的解答过程：先计算乘方、去括号，再利用乘法的分配律计算即可； （2）先化简二次根式、计算负整数指数幂，再化简绝对值、计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴在第一步开始出现错误． 正确的解答过程： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定． （1）可直接利用证明； （2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间和差关系即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加米折返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩． 类别 专项素质 专项技术 实战能力 考核指标 米折返跑 传准 运射 比赛 比例 全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）参赛同学小祺四项考核指标米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80分，请你计算出他的总成绩； （4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺能否入选． 【答案】（1）150；36 （2）见解析 （3）小祺同学的总成绩是86分； （4）小祺同学不能入选． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体： （1）根据B等级的人数和占比，可求得样本容量，再根据C等级的人数即可求得的值； （2）求得A等级的人数，可补全频数分布直方图； （3）利用加权平均数的计算方法即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， ， ∴， 故答案为：150；36； 【小问2详解】 解：A等级的人数有（人）， 补全频数分布直方图如图所示； 【小问3详解】 解：小祺同学的总成绩是（分）； 【小问4详解】 解：在分的人数有：（人）， 答：小祺同学86分的总成绩不能入选． 21. 如图，在边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心．操作①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2；②再将纸片折叠，使点B，C分别落在，边上，展开后，折痕恰好经过点F，连接，与圆交于点G，如图3，．注：． （1）直线与圆的位置关系是 ； （2）求的长； （3）求线段的长． 【答案】（1）相切 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，则可证明为中间圆的直径，再由折叠的性质可得，则可证明， 据此根据切线的判定定理可得结论； （2）取的中点，连接，，则点为圆心，由折叠的性 质可得，，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，进而由勾股定理可求得，再由是的直径，得，最后，再根据面积的等积变换求解即可； （3）由，，再由的正切值，解直角三角形即可求出． 【小问1详解】 解：由折叠性质可得，， ∴ 一定经过正方形的中心， ∴为中间圆的直径， 由折叠的性质可得， ∵ ， ∴ ， ∴与圆相切； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，，则点为圆心， ∵ 是的切线， ∴，即， 由折叠的性质可得，， ∵ 四边形是正方形， ∴， ∴ 四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由(2)知 ，， ∴ ，即， ∴． 【点睛】熟练掌握圆的切线判定技巧、圆周角定理、折叠的性质、三角形面积的等积变换等相关知识是解题的关键． 22. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小明爸爸驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为50千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为___________． （2）求加速后与之间的函数关系式； （3）在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据平均速度总路程总时间计算即可得出结果； （2）先求出加速前的速度为千米/时，从而可得匀速行驶小时，所走的路程为千米，设加速后与之间的函数关系式，将，代入解析式计算即可得出结果； （3）由（2）可得在此区间测速路段内，该辆汽车加速后速度为千米/时，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时， ∴； 【小问2详解】 解：加速前的速度为：（千米/时）， ∴匀速行驶小时，所走的路程为（千米）， 设加速后与之间的函数关系式， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴加速后与之间的函数关系式； 【小问3详解】 解：没有超速，理由如下： 由（2）可得在此区间测速路段内，该辆汽车加速后速度为千米/时， ∵， ∴没有超速． 23. 如图，在平行四边形纸片中，点为边上一点（不与点重合），连接，作点关于的对称点，连接，． （1）当点恰好落在边上时， ①尺规作图：请在图中画出点和点的位置； ②直接写出四边形的形状； （2）当点恰好是边的中点时，连接，如图，若，，求线段的长． 【答案】（1）①画图见解析；②菱形 （2） 【解析】 【分析】（）①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再作的角平分线，交于点，则点和点即为所求；②根据菱形的判定即可求解； （）证明即可求解． 【小问1详解】 解：①如图所示，点和点即为所求； ②四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点和点关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由轴对称得，，， ∵点恰好是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，角平分线的画法，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，轴对称图形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． 24. 如图，抛物线（，为常数）经过点和点，已知点，，线段MN上方有两个台阶，每个台阶的高、宽都是1． （1）求抛物线的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标． （2）判断抛物线是否经过点M，并说明理由． （3）若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度的速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒． ①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值． ②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）解析式为；对称轴为直线；顶点坐标为 （2）抛物线不过点M；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）把点M坐标代入所求解析式中，即可验证； （3）①当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小；设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为，连接；易得点E的坐标，由勾股定理即可求得，从而求得最短时间； ②由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为；台阶向下平移时，抛物线最先经过点M，即点M与重合，从而求得此时t的值最小；抛物线经过点F时，此时t的值最大；分别求出t的最小与最大值，即可求得t的范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得：， ∴； ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线不过点M； 理由：当时，， ∴抛物线不过点M； 【小问3详解】 解：①如图，当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小； 设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为，连接； ∵， ∴， ∴t的最小值为． ②由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为， 而， ∴台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，抛物线最先经过点M，即M点与重合，此时运动时间最短；抛物线最后经过点F，此时运动时间最长； 由题意知，点F的坐标为； ∴当台阶竖直向下平移t秒时，点F的坐标为； 抛物线经过点M时，此时台阶向下平移了2个单位长度，即， 解得：； 把F点代入中，得， 解得：； ∴台阶从初始位置竖直向下平移过程中，当台阶与抛物线有公共点时，t的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，图形的平移等知识；熟练掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $