2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4.1 空间直线的方向向量 和平面的法向量 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量向量表示空间中的点、直线和平面. 几何中 点 线 面 向量中 ？ ？ ？ 问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 在空间中，我们取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 点的位置向量 空间中的点 一一对应 位置向量 O P 问题2 如何确定一条直线在空间的位置？ 如图，在直线 l 上任取两个不同的点A，B，则有向线段AB所代表的向量AB就表示直线的方向，称AB为直线 l 的方向向量．自然，BA也是直线 l 的方向向量． 一般地，如果非零向量 v 与直线 l 平行，就称 v 为 l 的方向向量． 空间任意直线的位置由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. ①直线的方向向量不唯一，一条直线有无穷多个方向向量,这些方向向量是相互平行的; ②直线的方向向量也是所有与平行的直线的方向向量. 如图： AB表示直线的方向， AB是直线 l 的方向向量． BA也是直线 l 的方向向量． 要点归纳 例1 如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB=2，AD=4，AA'=3.以点D为原点.分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA'； (2)BD'. 解：长方体顶点A，B，A'，D'的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A'(4，0，3)，D'(0，0，3). (1)因为向量=(0，0，3)，所以直线AA'的一个方向向量为vAA'=(0，0，3). (2)因为向量=(-4，-2，3)，所以直线BD'的一个方向向量为vBD'=(-4，-2，3). 6 1.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为 　　 　 . (1，1，1)(答案不唯一) 解：由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)， 所以=(1，1，1)， 即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). 7 2.已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过 A(0，y，3)和 B(-1，2，z)两点，则y-z等于 A.0 B.1 C. D.3 √ 解：∵A(0，y，3)，B(-1，2，z)， ∴=(-1，2-y，z-3)， ∵直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)，故设=km， ∴∴y-z=0. 与它的方向向量m有何数量关系？你能设未知数进行表示吗？ 若是直线l的方向向量， 则t(t∈R)也是直线l的方向向量. 8 通过一个点和一个向量是否就能确定平面的位置呢？ 问题3：直线上一点和直线的一个方向向量，就可以确定一条直线的位置，如何确定一个平面在空间的位置呢？ 如图，陀螺的轴的圆盘始终是垂直的，它们的位置关系是确定不变的． 我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向，也就是用与平面垂直的向量 n 来刻画圆盘平面的方向． 当n 确定时，圆盘平面的方向就是确定的. 平面法向量的定义: 如果非零向量 所在直线与平面垂直,则称为平面的法向量. 给定一点A和一个向量,那么,过点A,且以向量为法向量的平面是完全确定的. 想一想：知道了法向量的定义，我们如何求平面的法向量呢? 两条相交直线可以确定一个平面 若一个向量垂直于平面内的两条相交直线,就可以确定是平面的一个法向量. 想一想：知道了法向量的定义，我们如何求平面的法向量呢? 一个平面的法向量不唯一，有无穷多个，由于垂直于同一平面的直线是平行的，因而一个平面的所有法向量互相平行. 例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA1的一个法向量． 设法向量 找两向量 列方程组 赋非零值 下结论 定义法 待定系数法 方法归纳 3.已知平面内的两个向量a=(2，3，1)，b=(5，6，4)，则该平面的一个法向量为( ) A.(1，-1，1) B.(2，-1，1) C.(-2，1，1) D.(-1，1，-1) 解：显然a与b不平行，设平面的法向量为n=(x，y，z)， 则有 令z=1，得x=-2，y=1，∴n=(-2，1，1). √ 4.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°， SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ，试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量. 解:以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(,0,0)，S(0,0,1). (1)∵SA⊥平面ABCD，∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量. 针对以下问题，谈谈你的收获. 1.空间直线的方向向量定义； 2.平面的法向量定义； 3.如何求解平面的法向量； 4.空间直线的方向向量和平面的法向量的作用. 求平面法向量的步骤 1.建立恰当的空间直角坐标系； 2.设平面的法向量n＝(x，y，z)； 3.在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； 4.建立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·a＝a1x＋a2y＋a3z＝0，,n·b＝b1x＋b2y＋b3z＝0；)) 5.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． (3)在平面SCD中,=,=(1,1,-1). 设平面SCD的法向量是n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥,∴则∴ 令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1). (2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,SA∩AB=A,∴AD⊥平面SAB, ∴=是平面SAB的一个法向量. $