专题8.1.3 向量数量积的坐标运算（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

专题8.1.3 向量数量积的坐标运算 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标计算公式，能熟练进行坐标形式的数量积运算； 2．理解向量垂直的坐标表示，会用坐标判定两向量是否垂直，求解相关参数； 3．熟记向量模、夹角的坐标公式，能计算向量模长、两点间距离和向量夹角； 4．能运用坐标公式解决简单的向量坐标运算问题，夯实坐标法解题基础 教学重难点 重点：平面向量数量积、模、夹角及垂直的坐标表示公式的理解与记忆 灵活运用坐标公式进行数量积、模长计算和垂直、夹角的判定 难点：结合向量坐标公式，解决含参数的向量垂直、夹角相关问题 准确区分向量夹角与几何角，规范利用夹角公式判定夹角范围 知识点01 数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 【即学即练】 1．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以. 2．已知向量，，且，则______. 【答案】 【详解】由题意，， 由可得，解得. 知识点02 模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 【即学即练】 3．已知，，则______. 【答案】 【详解】由题意有：，， 所以，又， 所以. 故答案为：. 4．已知向量，，则________. 【答案】 【详解】由，，得， 则. 题型01 平面向量数量积的坐标运算 【例1】已知，，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【详解】由与共线，可得：，解得：, 所以，则. 【例2】已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，解得， 故选：B 【变式1-1】已知向量，且，则________________. 【答案】7 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故答案为：7. 【变式1-2】已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为与的夹角为锐角，则且，与不共线， 所以，解得，即. 故答案为： 【变式1-3】已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【详解】向量， 则， 当时，取最小值. 题型02 利用坐标研究向量垂直问题 【例3】已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由得， 解得或， 所以当时，不一定成立， 而当时，一定成立， 所以是的必要不充分条件. 【例4】已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量， 由可得：， 整理得， 所以. 【变式2-1】已知向量，．若向量满足，，则_____________，_____________． 【答案】 【详解】，则， 又，①， 又，，②， 由①②解得，． 故答案为：； 【变式2-2】已知向量，，且，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以． 故选：D 【变式2-3】（多选）已知向量与向量垂直，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意，设，则，， 解得或，则或． 故选：CD. 题型03 利用坐标研究平面向量的模 【例5】平面内三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，；因为A，B，C三点共线，所以和共线， 所以，解得.所以，故. 【例6】已知向量，，若，则|（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 【变式3-1】已知不共线的向量满足.若，则的一个坐标为__________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】设，已知， 所以，化简为， 取，代入方程得，解得或， 因为与不共线，当时，与共线，舍去； 当时，，与不共线，符合条件. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式3-2】已知向量，，若，且，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以，即，解得或. 当时，，，此时，，满足； 当时，，，此时，，不满足，舍去； 因此，，， 所以． 故答案为：. 【变式3-3】已知向量，，，，均为实数，且，，则（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【详解】因为，，所以，，得，， 所以， 故. 题型04 利用坐标研究平面向量的夹角 【例7】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 【例8】已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 【答案】 【详解】由题意可得，又，， 所以， 所以，所以，又， 所以. 故答案为：. 【变式4-1】已知向量 则向量在向量上的投影向量为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在向量上的投影向量为 【变式4-2】已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 【答案】58 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，所以， 故答案为：58 【变式4-3】已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】. 【详解】因为，为单位向量， 则，，所以，, 因为， 则 可得， 所以，向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 题型05 利用坐标研究平面向量的投影向量 【例9】已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知向量，显然， 所以. 【例10】（多选）（多选题）角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】又点P在的终边上，且，可设，所以， 又由，可得，则， 可得， 当时，；当时，. 故选：AC 【变式5-1】记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意得， 充分性：若与的夹角为锐角，则，且， 即且，解得，且，故充分性成立． 必要性：当时，与共线，故必要性不成立，故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A． 【变式5-2】已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，则，解得， 则，， 则与的夹角的余弦值为. 【变式5-3】已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故答案为： 题型06 利用坐标研究平面几何 【例11】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，向量，，若点构成的四边形能够形成一个正方形，则__________. 【答案】1或3 【详解】由，， 可得，， 则，， 因为，所以，即， 因为，所以， 因为点构成的四边形能够形成一个正方形， 结合图形观察可得：正方形的对角线只能是， 则，即，解得或3， 当时，，， 此时线段互相垂直且平分，， 所以四边形时正方形； 当时，，， 此时线段互相垂直且平分，， 所以四边形时正方形， 所以或3. 故答案为：或. 【例12】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 【答案】C 【详解】解：由题知，，， 所以 故选：C 【变式6-1】如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【答案】/ 【详解】因为， 所以，即， 如图，建立平面直角坐标系， 又为等边三角形，所以， 则， 所以， 则. 【变式6-2】在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系， ，，，， ，， 所以. 【变式6-3】如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得. （2）解法一：由（1）得 ， 因为为的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为. 题型07 利用坐标研究平面几何的最值范围 【例13】如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】由题意，， ， ； 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设，， 则，，， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：；. 【例14】如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 【变式7-1】在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， ，， ，设， ∴， ∴， ∴当时，·取得最小值. 故选；B. 【变式7-2】在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，设， 所以，， 所以，因为，所以， 所以的取值范围为. 故选：A    【变式7-3】在等腰梯形中，，，，为线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1：如图以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 过点作垂足为，过点作垂足为， 在等腰梯形中，，，，所以，， 则，，设，其中， 所以，， 所以，即的取值范围是. 解法2：设在上的投影长为，则，所以. 故选：C. ①建系设参：将动点坐标设为，根据条件写约束关系； ②转化表达式：把向量模/数量积表示为的函数（一次、二次、分式等）； ③求最值：结合二次函数配方法、基本不等式、数形结合（如圆的范围）求解，注意参数取值范围。 一、单选题 1．已知向量，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以. 2．已知向量，若向量满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由题意得：， 解得，所以. 3．已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 【答案】A 【详解】由题意得，即， 整理得，所以，解得. 4．在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 5．已知平面向量，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即， 解得. 故选：A. 6．已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为. 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过. 7．已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【答案】C 【详解】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以． 故选：C 二、多选题 8．已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 9．菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由图可知，，A错误. 连接，，B正确. 分别取的中点，以正六边形的中心为坐标原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设，则. 则， 则 C错误，D正确. 故选：BD 三、填空题 10．已知向量，，若，则_____. 【答案】 【详解】向量，，所以， 若，则， 解得. 11．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题 12．已知平面向量，． (1)求及其模的大小； (2)若，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以， ． （2）因为，， 则， 所以， 所以． 13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设顶点D的坐标为； ， ， 又，所以， 即，解得； 所以顶点的坐标为； （2）由， 所以， 所以； （3）， 所以， 所以， 所以. 14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得． 因为四边形是平行四边形， 所以 因为，所以． （2）设，其中，则． ， 故的取值范围是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1.3 向量数量积的坐标运算 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标计算公式，能熟练进行坐标形式的数量积运算； 2．理解向量垂直的坐标表示，会用坐标判定两向量是否垂直，求解相关参数； 3．熟记向量模、夹角的坐标公式，能计算向量模长、两点间距离和向量夹角； 4．能运用坐标公式解决简单的向量坐标运算问题，夯实坐标法解题基础 教学重难点 重点：平面向量数量积、模、夹角及垂直的坐标表示公式的理解与记忆 灵活运用坐标公式进行数量积、模长计算和垂直、夹角的判定 难点：结合向量坐标公式，解决含参数的向量垂直、夹角相关问题 准确区分向量夹角与几何角，规范利用夹角公式判定夹角范围 知识点01 数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即________ （2）向量垂直: ________ 【即学即练】 1．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 2．已知向量，，且，则______. 知识点02 模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则________ （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则_______ 【即学即练】 3．已知，，则______. 4．已知向量，，则________. 题型01 平面向量数量积的坐标运算 【例1】已知，，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．5 【例2】已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-1】已知向量，且，则________________. 【变式1-2】已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为________. 【变式1-3】已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 题型02 利用坐标研究向量垂直问题 【例3】已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知向量，．若向量满足，，则_____________，_____________． 【变式2-2】已知向量，，且，则（   ） A．8 B． C． D． 【变式2-3】（多选）已知向量与向量垂直，且，则（   ） A． B． C． D． 题型03 利用坐标研究平面向量的模 【例5】平面内三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知向量，，若，则|（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式3-1】已知不共线的向量满足.若，则的一个坐标为__________. 【变式3-2】已知向量，，若，且，则__________． 【变式3-3】已知向量，，，，均为实数，且，，则（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 题型04 利用坐标研究平面向量的夹角 【例7】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 【变式4-1】已知向量 则向量在向量上的投影向量为 （    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 【变式4-3】已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量为______． 题型05 利用坐标研究平面向量的投影向量 【例9】已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例10】（多选）（多选题）角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 题型06 利用坐标研究平面几何 【例11】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，向量，，若点构成的四边形能够形成一个正方形，则__________. 【例12】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 【变式6-1】如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【变式6-2】在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【变式6-3】如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 题型07 利用坐标研究平面几何的最值范围 【例13】如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 【例14】如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】在等腰梯形中，，，，为线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ①建系设参：将动点坐标设为，根据条件写约束关系； ②转化表达式：把向量模/数量积表示为的函数（一次、二次、分式等）； ③求最值：结合二次函数配方法、基本不等式、数形结合（如圆的范围）求解，注意参数取值范围。 一、单选题 1．已知向量，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 2．已知向量，若向量满足，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 4．在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 5．已知平面向量，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 6．已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 7．已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 二、多选题 8．已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 9．菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知向量，，若，则_____. 11．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题 12．已知平面向量，． (1)求及其模的大小； (2)若，求． 13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $