专题18.1等腰三角形的性质 优等生讲义 (12大考点精讲+压轴题+课后巩固)2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

本讲义聚焦等腰三角形性质这一核心知识点，系统梳理定义、性质（等边对等角、三线合一）、判定（等角对等边）、大边对大角定理及分类讨论（边、角、中线分周长），构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料以思维导图总览知识脉络，6大考点分层精讲，融入分类讨论、数形结合思想，创新压轴题结合旋转、翻折培养几何直观与推理意识。课中辅助教师精准教学，课后通过针对性练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题18.1 等腰三角形的性质 优等生讲义 (6大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 等腰三角形的定义，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。 · 掌握 等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一，并能熟练运用进行角度计算和线段证明。 · 掌握 等腰三角形的判定方法：等角对等边、三线合一逆定理等。 · 理解并运用 大边对大角、大角对大边定理，能进行边角大小关系的推理。 · 能解决 等腰三角形中的分类讨论问题（腰与底边的区分、中线分周长问题等）。 · 熟练运用 等腰三角形的性质解决几何综合题、旋转、翻折、构造全等等问题。 ✨ 核心思想：分类讨论 · 数形结合 · 转化思想 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 等腰三角形的定义 · 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 · 注意：等腰三角形中，腰长必须大于底边的一半，且两边之和大于第三边。 ☆ 等腰三角形的性质 · 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。即：若 AB = AC，则 ∠B = ∠C。 · 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 · 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、高）所在的直线。 ☆ 等腰三角形的判定 · 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 · 三线合一逆定理：如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形（本质都是两腰相等）。 ☆ 大边对大角定理 · 在三角形中，较大的边所对的角也较大，反之，较大的角所对的边也较大。 · 即：若 AB > AC，则 ∠C > ∠B；若 ∠C > ∠B，则 AB > AC。 ☆ 等腰三角形中的分类讨论 · 边的分类：已知两边求周长时，需判断哪条边是腰、哪条是底边，并验证三角形存在性（两边之和大于第三边）。 · 角的分类：已知一个角求其它角时，需分这个角是顶角还是底角，并注意三角形内角和为180°。 · 中线分周长问题：等腰三角形一腰上的中线将周长分成两部分，需分两种情况讨论（腰长与底边长的差值关系）。 ❀ 等腰三角形核心知识速查表 类别 内容 应用要点 定义 两边相等的三角形 腰、底边、顶角、底角 性质1 等边对等角 由边相等得角相等，用于角度计算 性质2 三线合一 顶角平分线、底边中线、底边高线重合，用于证明垂直、中点、角平分 判定 等角对等边 由角相等得边相等，用于证明等腰三角形 边角关系 大边对大角 比较边角大小 分类讨论 腰与底、顶角与底角 注意三角形存在性（两边和大于第三边，内角和180°） 核心考点 ·6类题型精讲 【考点1】等腰三角形的定义（1-8题） ❤ 方法总结 · 熟练掌握等腰三角形的定义，能准确找出腰和底边。 · 分类讨论：已知两边长求周长或第三边长时，需分两种情况（腰长 = 已知边或底边 = 已知边），并验证三角形存在性（两边之和大于第三边）。 · 中线分周长问题：注意“一腰上的中线”将三角形周长分成两部分，需分两部分之差是哪两条线段之差，分别求解。 1．（25-26八年级上·上海普陀·期中）关于等腰三角形的描述，下列说法错误的是（     ） A．等腰三角形是轴对称图形 B．等腰三角形的两个底角相等 C．等腰三角形的对称轴是它的高 D．等腰三角形顶角的平分线垂直于底边 2．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 3．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 4．（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形中，若，，则___________ 5．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 6．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 7．（24-25六年级下·上海·期中）如图，已知：是圆的直径，三角形、三角形和三角形都是等腰直角三角形，图中左侧阴影部分面积为，右侧阴影部分面积为，圆的面积是，圆的半径是，请解答以下问题：（本题中取3） (1)用含的式子表示； (2)和的数量关系： ； (3)求的值． 8．（24-25七年级下·上海·月考）等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长． 【考点2】找出图中的等腰三角形（9-11题） ❤ 方法总结 · 根据已知条件（如等边三角形、线段相等、角相等）寻找图中所有的等腰三角形。 · 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 · 可通过计算角度（等角对等边）来发现隐藏的等腰三角形。 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 10．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【考点3】等边对等角（12-17题） ❤ 方法总结 · 等腰三角形中，两底角相等是角度计算的核心依据。 · 常与三角形内角和定理、外角性质、旋转、翻折结合，通过设未知数列方程求解角度。 · 注意：等边对等角不仅用于已知边相等求角，也用于证明两角相等。 12．（24-25七年级上·上海·月考）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是_____． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 14．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为________根． 15．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 16．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 17．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，点D，E在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【考点4】三线合一（18-26题） ❤ 方法总结 · 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线相互重合，知其一可推其二。 · 常用于证明线段相等、垂直、角相等、面积等分。 · 在几何证明中，若出现等腰三角形+中线/高/角平分线，常构造全等三角形或直接使用三线合一性质简化推理。 18．（2025七年级上·上海·专题练习）下列语句中，正确的是（    ） A．中心对称图形是一个图形绕着一个定点旋转后能与另一个图形重合； B．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高； C．平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； D．经过翻折，对称轴被对称点的连线垂直平分． 19．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 20．（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知：在中，，平分，若，则________，与的位置关系是________． 22．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为______． 23．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 24．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，平分，，延长交于点E．若，求的度数． 25．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 26．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【考点5】大(小)边对大(小)角定理（27-30题） ❤ 方法总结 · 在任意三角形中，大边对大角，大角对大边。 · 用于比较线段或角的大小，或由大小关系推断边角不等关系。 · 常与三角形边角关系、外角定理结合证明不等关系。 27．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 28．（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 30．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【考点6】创新及压轴题（1-5题） ❤ 方法总结 · 综合运用等腰三角形的性质与判定，结合全等三角形、旋转、翻折、构造辅助线等。 · 常见模型：等腰直角三角形中的一线三直角（K型全等）、手拉手模型、等腰三角形中的折叠问题。 · 探究性问题常需猜想结论、证明，或通过设未知数求解。 · 对于动点或动态几何，需分类讨论不同情况。 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 2．（25-26八年级上·广东韶关·月考）小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是： 性质：∵， ∴， 判定：∵， ∴． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即： （1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线： （3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； 由此3个真命题，小明得到三个新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅲ． ． （1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题： ； （2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证： 命题Ⅰ：中，D是边上的中点，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅲ： ； ①请你写出命题Ⅲ的几何语言； ②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，，点D在边上（点D不与点A重合）． (1)如图1，若点D在边时，延长至点G，，过点D作，交于点E，过G作交延长线于点H．求证：． (2)如图2，过点A作，垂足为F，射线交于点N，点Q在射线上，且，求证：． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 5．（25-26八年级上·山东济宁·期中）中，． (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1  等腰三角形角度计算（分类讨论，由角求未知数）。 · 练习2  旋转与等腰三角形：旋转后得到等腰三角形，求旋转角。 · 练习3  等腰三角形与角平分线、线段和差构造全等求角度。 · 练习4  等腰三角形中高线交点与全等求角度（一线三直角模型）。 · 练习5  旋转与平行线：等腰三角形旋转后平行，求旋转角。 1．（25-26八年级下·陕西榆林·月考）已知一个等腰三角形的两角分别为，，则_______． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，平分，点E在的延长线上，，若，则的度数为_________． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，H是高、的交点，且，则________． 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则___________． 课后巩固 · 针对性练习 · 题1  等腰三角形中线分周长问题（分类讨论）。 · 题2  全等直角三角形拼成等腰三角形（周长分类）。 · 题3  等腰三角形两边长分类求周长。 · 题4  等腰三角形周长与一边长求底边长（分类讨论）。 · 题5  等腰三角形一腰上的中线分周长问题（两种情形）。 · 题6  等腰三角形角度计算（等边对等角、三角形内角和）。 · 题7  等腰三角形中等边对等角与等角对等边的综合证明（BD=CE）。 · 题8  等腰三角形与全等（AF=CF，构造全等证角相等）。 · 题9  等腰直角三角形与旋转（SAS证全等，求角度）。 · 题10  等腰三角形中的轴对称与全等（求角度，证中点）。 · 题11  一线三直角模型（K型全等）在等腰三角形中的应用，探究线段关系及面积比。 · 题12  等腰三角形与全等（SAS证全等，求角度）。 · 题13  等腰直角三角形手拉手模型（证全等、证垂直）。 ※ 复习建议 本专题是几何证明的基础与重点。建议熟练掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边），注意分类讨论思想的应用。对于综合题，要学会识别基本模型（如K型全等、手拉手），并灵活添加辅助线（如作高、中线、构造全等）来转化问题 1．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 3．（24-25七年级下·上海松江·月考）等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（   ） A．13 B．17 C．20 D．13或17 4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于______． 5．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 6．（24-25八年级下·广东梅州·月考）如图，在中，，点D 在边上，，则_____．    7．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是的边上一点，连接，，分别延长至点，延长至点，使得，，求证：． 9．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图， (1)证明：； (2)若点共线且满足，求的度数． 10．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，，是边上的中线，和关于直线对称，连接，，． (1)求的度数； (2)若，求证：直线经过的中点． 11．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，证明：； 【类比迁移】 （2）如图2，当是钝角，且时，探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，，请直接写出的值______．（用含s，t的代数式表示） 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点E在的边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，以的边为直角边，分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，连接和交于点． (1)求证：； (2)求证：． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.1 等腰三角形的性质 优等生讲义 (6大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 等腰三角形的定义，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。 · 掌握 等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一，并能熟练运用进行角度计算和线段证明。 · 掌握 等腰三角形的判定方法：等角对等边、三线合一逆定理等。 · 理解并运用 大边对大角、大角对大边定理，能进行边角大小关系的推理。 · 能解决 等腰三角形中的分类讨论问题（腰与底边的区分、中线分周长问题等）。 · 熟练运用 等腰三角形的性质解决几何综合题、旋转、翻折、构造全等等问题。 ✨ 核心思想：分类讨论 · 数形结合 · 转化思想 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 等腰三角形的定义 · 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 · 注意：等腰三角形中，腰长必须大于底边的一半，且两边之和大于第三边。 ☆ 等腰三角形的性质 · 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。即：若 AB = AC，则 ∠B = ∠C。 · 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 · 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、高）所在的直线。 ☆ 等腰三角形的判定 · 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 · 三线合一逆定理：如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形（本质都是两腰相等）。 ☆ 大边对大角定理 · 在三角形中，较大的边所对的角也较大，反之，较大的角所对的边也较大。 · 即：若 AB > AC，则 ∠C > ∠B；若 ∠C > ∠B，则 AB > AC。 ☆ 等腰三角形中的分类讨论 · 边的分类：已知两边求周长时，需判断哪条边是腰、哪条是底边，并验证三角形存在性（两边之和大于第三边）。 · 角的分类：已知一个角求其它角时，需分这个角是顶角还是底角，并注意三角形内角和为180°。 · 中线分周长问题：等腰三角形一腰上的中线将周长分成两部分，需分两种情况讨论（腰长与底边长的差值关系）。 ❀ 等腰三角形核心知识速查表 类别 内容 应用要点 定义 两边相等的三角形 腰、底边、顶角、底角 性质1 等边对等角 由边相等得角相等，用于角度计算 性质2 三线合一 顶角平分线、底边中线、底边高线重合，用于证明垂直、中点、角平分 判定 等角对等边 由角相等得边相等，用于证明等腰三角形 边角关系 大边对大角 比较边角大小 分类讨论 腰与底、顶角与底角 注意三角形存在性（两边和大于第三边，内角和180°） 核心考点 ·6类题型精讲 【考点1】等腰三角形的定义（1-8题） ❤ 方法总结 · 熟练掌握等腰三角形的定义，能准确找出腰和底边。 · 分类讨论：已知两边长求周长或第三边长时，需分两种情况（腰长 = 已知边或底边 = 已知边），并验证三角形存在性（两边之和大于第三边）。 · 中线分周长问题：注意“一腰上的中线”将三角形周长分成两部分，需分两部分之差是哪两条线段之差，分别求解。 1．（25-26八年级上·上海普陀·期中）关于等腰三角形的描述，下列说法错误的是（     ） A．等腰三角形是轴对称图形 B．等腰三角形的两个底角相等 C．等腰三角形的对称轴是它的高 D．等腰三角形顶角的平分线垂直于底边 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三线合一、轴对称图形的识别、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，包括轴对称性、底角相等、对称轴的位置以及顶角平分线的性质，根据等腰三角形的性质逐项分析即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意； B、等腰三角形的两个底角相等，故原说法正确，不符合题意； C、等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，故原说法错误，符合题意； D、等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，故原说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】构成三角形的条件、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形中线的定义，构成三角形的条件，设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，分别表示出分成的两个三角形的周长，根据周长之差为2厘米，从而得方程，即可求得x． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：厘米，另一个三角形的周长为：厘米， 由题意得 即 ∴或 解得或， 当时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 当时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米， 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形中，若，，则___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识，根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系分情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， ∵， ∴能组成三角形， 综上所述，， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【答案】/22厘米 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为或当腰长为，根据三角形三边关系进行判断能否组成三角形，再求解三角形周长． 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、运用完全平方公式进行运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 7．（24-25六年级下·上海·期中）如图，已知：是圆的直径，三角形、三角形和三角形都是等腰直角三角形，图中左侧阴影部分面积为，右侧阴影部分面积为，圆的面积是，圆的半径是，请解答以下问题：（本题中取3） (1)用含的式子表示； (2)和的数量关系： ； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【难度】0.66 【知识点】等腰三角形的定义、面积及等积变换、 圆的面积 【分析】（1）根据都是等腰直角三角形得到，利用面积公式列等式得出，代入圆的面积公式； （2）由（1）直接写出关系； （3）和两个阴影相加就是半圆，据此列等式得，代入得出结论． 【详解】（1）解：都是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形，是圆的直径， ，， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）可知，． （3）解：， ， 解得：， ． 8．（24-25七年级下·上海·月考）等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查三角形三边关系定理，合理进行分类讨论并检验结果是否符合三角形三边关系定理是解题关键．分为两类：或，求出三边后验证是否符合三角形三边关系定理即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴设，则 ∵边上的中线把的周长分成和两部分， 或， 当AB+AD=15cm时， ， ， ，， 此时， , 检验满足三角形两边之和大于第三边， ； 当时， ， ，， 此时， , ，所以舍去； 综上所述，． 【考点2】找出图中的等腰三角形（9-11题） ❤ 方法总结 · 根据已知条件（如等边三角形、线段相等、角相等）寻找图中所有的等腰三角形。 · 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 · 可通过计算角度（等角对等边）来发现隐藏的等腰三角形。 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】找出图中的等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 10．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【难度】0.85 【知识点】三角形的识别与有关概念、找出图中的等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【考点3】等边对等角（12-17题） ❤ 方法总结 · 等腰三角形中，两底角相等是角度计算的核心依据。 · 常与三角形内角和定理、外角性质、旋转、翻折结合，通过设未知数列方程求解角度。 · 注意：等边对等角不仅用于已知边相等求角，也用于证明两角相等。 12．（24-25七年级上·上海·月考）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是_____． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在上方时，延长交于点D， ∵直线直线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点在下方时， 同理可得 ∴ 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 【答案】40 【难度】0.85 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查旋转的性质与等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等． 根据旋转的性质可得出，然后根据，，可得出的度数，进而根据等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即旋转角度为， ∴， 故答案为40． 14．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为________根． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出第一个等腰三角形底角的度数，再依次求出，并根据底角度数不能超过直角判断即可． 【详解】解：根据题意，得 ∵， ∴． ∵是的外角， ∴, 则是第二个等腰三角形，且， 同理是第三个等腰三角形，， 第四个等腰三角形的底角为； 第五个是；第六个是；第七个是，这样就不存在了． 所以一共有6根钢管． 15．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 16．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 【答案】， 【难度】0.7 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ． 17．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，点D，E在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)6 【难度】0.66 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质． （1）利用等腰三角形三线合一的性质进行证明即可； （2）通过构造辅助线，利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质进行线段的等量代换和计算． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作于点H， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【考点4】三线合一（18-26题） ❤ 方法总结 · 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线相互重合，知其一可推其二。 · 常用于证明线段相等、垂直、角相等、面积等分。 · 在几何证明中，若出现等腰三角形+中线/高/角平分线，常构造全等三角形或直接使用三线合一性质简化推理。 18．（2025七年级上·上海·专题练习）下列语句中，正确的是（    ） A．中心对称图形是一个图形绕着一个定点旋转后能与另一个图形重合； B．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高； C．平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； D．经过翻折，对称轴被对称点的连线垂直平分． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三线合一、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义及性质，根据中心对称图形和轴对称图形的定义及性质逐一判断即可． 【详解】A、中心对称图形是绕一个定点旋转后与自身重合，而非与另一个图形重合，说法错误，该选项不符合题意； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身（高是线段），说法错误，该选项不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，旋转后与自身重合，说法正确，该选项符合题意； D、 轴对称变换中，对称点的连线被对称轴垂直平分，而非对称轴被对称点的连线垂直平分，说法错误，该选项不符合题意． 故选：Ｃ 19．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三线合一 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 20．（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 21．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知：在中，，平分，若，则________，与的位置关系是________． 【答案】 4 垂直 【难度】0.85 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线三线互相重合性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，∵，平分， ∴是底边的中线和高， 即，且． ∵， ∴． 故答案为：4；垂直． 22．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为______． 【答案】15 【难度】0.85 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据三角形面积公式求解即可． 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， ， 即的面积为， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【难度】0.85 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 24．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，平分，，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质“三线合一”，可得，平分，从而可得，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F． ，平分， ， ，， 平分， ， ， ． 25．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形及其性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； （1）根据边相等得出角相等，根据垂直得到角度，则可求得的度数； （2）由（1）得角相等，再根据平行进而推出角相等． 【详解】（1）解：∵，， ，． 又∵， ． （2）解：由（1），得． ， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化，解题的关键是连接，利用等腰直角三角形三线合一的性质构造全等三角形，将四边形面积转化为三角形面积求解． （1）连接，利用等腰直角三角形性质得到，，再通过同角的余角相等证明，从而用证明，得到． （2）由得，将四边形的面积转化为，再利用计算． 【详解】（1）证明：连接． ∵ ，，点是的中点， ∴ ，，，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ （）， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， 点是中点， ∴ ． ∴ 四边形的面积为． 答：四边形的面积为． 【考点5】大(小)边对大(小)角定理（27-30题） ❤ 方法总结 · 在任意三角形中，大边对大角，大角对大边。 · 用于比较线段或角的大小，或由大小关系推断边角不等关系。 · 常与三角形边角关系、外角定理结合证明不等关系。 27．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 28．（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 29．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【难度】0.94 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【难度】0.85 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、不等式的性质 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 【考点6】创新及压轴题（1-5题） ❤ 方法总结 · 综合运用等腰三角形的性质与判定，结合全等三角形、旋转、翻折、构造辅助线等。 · 常见模型：等腰直角三角形中的一线三直角（K型全等）、手拉手模型、等腰三角形中的折叠问题。 · 探究性问题常需猜想结论、证明，或通过设未知数求解。 · 对于动点或动态几何，需分类讨论不同情况。 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【难度】0.74 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 2．（25-26八年级上·广东韶关·月考）小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是： 性质：∵， ∴， 判定：∵， ∴． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即： （1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线： （3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； 由此3个真命题，小明得到三个新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅲ． ． （1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题： ； （2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证： 命题Ⅰ：中，D是边上的中点，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅲ： ； ①请你写出命题Ⅲ的几何语言； ②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 【答案】Ⅲ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；（1）如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；（2）中，平分，D是边上的中点，求证：是等腰三角形；①见解析；②小明猜想的三个命题都是真命题，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、写出命题的逆命题、等边对等角、等腰三角形的定义 【详解】解：（1）根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）①在中，平分，D是边上的中点，求证：是等腰三角形； ②小明猜想的三个命题都是真命题，证明如下： 命题Ⅰ、证明:∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 命题Ⅱ、证明:∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 命题Ⅲ、证明:过点D作于点E，于点F， ∵平分，， ∴， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，，点D在边上（点D不与点A重合）． (1)如图1，若点D在边时，延长至点G，，过点D作，交于点E，过G作交延长线于点H．求证：． (2)如图2，过点A作，垂足为F，射线交于点N，点Q在射线上，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.51 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）利用证明即可得结论； （2）过C作交延长线于点E，先利用证明，可得，再证明，可得，进而根据线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，过C作交延长线于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的定义 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 5．（25-26八年级上·山东济宁·期中）中，． (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或 【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、折叠问题 【分析】（）由“”证明，可得，，进而即可求解； （）由“”证明，可得，，进而即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 同理（）可证， ∴，， ∴， 即； （3）解：当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∵， ∴该种情况不存在； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴; 综上所述，的度数为或或． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1  等腰三角形角度计算（分类讨论，由角求未知数）。 · 练习2  旋转与等腰三角形：旋转后得到等腰三角形，求旋转角。 · 练习3  等腰三角形与角平分线、线段和差构造全等求角度。 · 练习4  等腰三角形中高线交点与全等求角度（一线三直角模型）。 · 练习5  旋转与平行线：等腰三角形旋转后平行，求旋转角。 1．（25-26八年级下·陕西榆林·月考）已知一个等腰三角形的两角分别为，，则_______． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形内角和定理的应用 【分析】分三种情况讨论：两个角均为底角，第一个角为顶角，第二个角为顶角，再根据三角形内角和定理列方程求解，分类讨论是解决本题的关键． 【详解】解：①当和均为底角时， 由等腰三角形两底角相等得：， 解得，此时三个角为，，，符合三角形的定义； ②当为顶角时， 由三角形内角和为得：， 解得，此时三个角为，，，符合三角形的定义； ③当为顶角时， 由三角形内角和为得：， 解得，此时三个角为，，，符合三角形的定义； 综上所述，的值为或或． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________． 【答案】28 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据旋转的性质得到、，进而得到，最后利用三角形内角和定理求出旋转角的度数即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 、， ， ， 旋转角为． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，平分，点E在的延长线上，，若，则的度数为_________． 【答案】/52度 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先延长至F，使，连接，再说明，并根据“边角边”证明，可得，然后根据等边对等角得，接下来根据三角形外角的性质得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：延长至F，使，连接， ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． 在中，， ∴， 解得． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，H是高、的交点，且，则________． 【答案】/45度 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据三角形高的定义，利用“”先证得，根据全等三角形的对应边相等、等边对等角和三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵、是的高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则___________． 【答案】 【难度】0.74 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求即可． 【详解】解：， ， 绕点旋转得到， ， ． 课后巩固 · 针对性练习 · 题1  等腰三角形中线分周长问题（分类讨论）。 · 题2  全等直角三角形拼成等腰三角形（周长分类）。 · 题3  等腰三角形两边长分类求周长。 · 题4  等腰三角形周长与一边长求底边长（分类讨论）。 · 题5  等腰三角形一腰上的中线分周长问题（两种情形）。 · 题6  等腰三角形角度计算（等边对等角、三角形内角和）。 · 题7  等腰三角形中等边对等角与等角对等边的综合证明（BD=CE）。 · 题8  等腰三角形与全等（AF=CF，构造全等证角相等）。 · 题9  等腰直角三角形与旋转（SAS证全等，求角度）。 · 题10  等腰三角形中的轴对称与全等（求角度，证中点）。 · 题11  一线三直角模型（K型全等）在等腰三角形中的应用，探究线段关系及面积比。 · 题12  等腰三角形与全等（SAS证全等，求角度）。 · 题13  等腰直角三角形手拉手模型（证全等、证垂直）。 ※ 复习建议 本专题是几何证明的基础与重点。建议熟练掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边），注意分类讨论思想的应用。对于综合题，要学会识别基本模型（如K型全等、手拉手），并灵活添加辅助线（如作高、中线、构造全等）来转化问题 1．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可． 【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形． 综上，等腰三角形的周长为或， 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海松江·月考）等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（   ） A．13 B．17 C．20 D．13或17 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去． 【详解】解：当3是腰时，则，不能组成三角形，应舍去； 当7是腰时，则三角形的周长是． 故选：B． 4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于______． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；由于长为7的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论求出底边长即可． 【详解】解：当腰为7时，另一腰也为7，则底为， ∵，符合题意， 当底为7时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为或． 故答案为：或． 5．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为 ，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·广东梅州·月考）如图，在中，，点D 在边上，，则_____．    【答案】/27度 【难度】0.85 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 7．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识，过作垂直于于点，由，利用三线合一得到为中点，同理得到为中点，利用等式的性质变换后可得证，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 【详解】过点作，垂足为点， ，， ， ∵，， ∴， ， ． 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是的边上一点，连接，，分别延长至点，延长至点，使得，，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.76 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】已知，可得，根据条件，，利用边角边证明即可得证． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 9．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图， (1)证明：； (2)若点共线且满足，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先利用角度的和差得到，然后根据“”可证，根据全等三角形对应边相等即可证得结论； （2）先根据全等三角形对应角相等可得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而求得的度数，再由平角可得的度数，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， 又∵点共线且满足， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，，是边上的中线，和关于直线对称，连接，，． (1)求的度数； (2)若，求证：直线经过的中点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边对等角 【分析】（1）通过中线性质和轴对称性质得到线段相等关系，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数； （2）通过设角，利用等腰三角形内角和以及轴对称性质求出相关角的度数，进而证明直线经过的中点． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点F， ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 即直线经过的中点． 11．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，证明：； 【类比迁移】 （2）如图2，当是钝角，且时，探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，，请直接写出的值______．（用含s，t的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【难度】0.51 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等边对等角 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理． （1）证明，得到，根据，即可得出结论； （2）在上截取，易得，证明，得到，根据，即可得出结论； （3）证明，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，推出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， 则：，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：同（2）可得：， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点E在的边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及全等三角形的判定即可解答； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 13．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，以的边为直角边，分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，连接和交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些知识得出相关结论是解题的关键． （）由等腰三角形性质可得，，，则有，然后通过“”证明即可； （）由全等三角形的性质可得，然后通过三角形的内角和定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $