6.2.4 组合数（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列与组合 6.2.4 组合数 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 两个计数原理 排列与组合 二项式定理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的综合运用 二项式定理 二项式系数的性质 排列 排列数 组合 组合数 两个计数原理的简单运用 学 习 目 标 1 2 3 理解组合数的定义，能利用组合数公式解决简单的组合问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养 理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明，提升数学运算的核心素养 能利用计数原理推导组合数公式，提升逻辑推理的核心素养 知识回顾 组合的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 并成一组 排列数的定义： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 排列的个数 定义新知 类比排列数，我们引进组合数概念： 组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 取出元素个数 元素总数 “组合”的首字母 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 符号 中的C是英文combination(组合) 的第一个字母.组合数还可以用符号 表示. 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 ; 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 . 新知探究 问题1 我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢? 前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系. ① 从 3 个不同元素a, b, c中取出 2 个元素 排列 组合 ab ac bc ab ba ac ca bc cb 新知探究 ② 从 4 个不同元素a, b, c, d中取出 3 个元素 排列 abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca 组合 abc abd acd bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 新知探究 问题2 你能类比“从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素排列数 ”描述“从n个元素中取出m个元素的排列数 ”？ 因此 定义新知 组合数公式： 这里m，n∈N* ；并且 m≤n . 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 典例分析 例6 计算： 解： 新知探究 问题3 观察例6的(1)与(2) , (3)与(4)的结果,你有什么发现？ (1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式,你对公式的选择有什么想法？ 猜想： 追问1 此关系是否具有一般性？ 证明： 性质1 新知探究 性质1 追问2 对于组合数的这个性质你能给出解释吗？ 该性质反映了组合数的对称性. 其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法). 因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样. 即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数 ，也就是 . 巩固练习 1. 计算： 解： 追问3 通过本组计算你有什么发现和猜想？ 此关系是否具有一般性？ 新知探究 性质2 追问4 对于组合数的这个性质你能给出解释吗？ 该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能. 如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法. 由分类加法计数原理，得 . 典例分析 例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 分析：(1)从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；(2)可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题； (3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题． 典例分析 例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 解：(1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 (2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 从2件次品中抽出1件的抽法数可以是 吗？ 典例分析 例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 (3)方法1(直接法)： 抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 方法2(间接法)： 典例分析 例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 变式：把(3)中的“至少”改为“至多”， 则抽法有多少种? “至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解 巩固练习 课本P25 解： 1. 计算： 巩固练习 课本P25 证明： 2. 求证： 巩固练习 课本P25 3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法? 解： 组合数的定义与组合数公式 题型一 题型探究 【例1】 计算： （1） ； [解析] . （2） ； [解析] . （3） . [解析] 原式 . （4） [解析] . （5） [解析] . 组合数的定义与组合数公式 题型一 题型探究 解题感悟 对于简单的组合数计算，直接利用组合数公式计算即可. 与组合数公式有关的求解与证明 题型二 题型探究 【例2】（1） 已知，则 的值为___. 4 [解析] 易知, .， 化简得，解得或 （舍去）. （2）若，则 ___. 4 [解析] 由题知所以,且 . 因为 ， 所以， 所以，所以 . 与组合数公式有关的求解与证明 题型二 题型探究 （3）求值： . [解析] 由组合数的定义知 所以 . 因为，所以或 . 当时， ； 当时， . （4）证明： . 证明： . 组合数的性质及其应用 题型三 题型探究 【例3】(1)(多选题) 若，， ，则下列关于排列、组合数的结论 正确的是( ) BC A. B. C. D. [解析] 对于A，由组合数的性质知， ，A错误； 对于B，由组合数的性质知， 成立，B正确； 对于C，由，可知 成立，C正确； 对于D，因为， ， 所以 ，D错误. 组合数的性质及其应用 题型三 题型探究 （2）证明： . 证明：左边 右边， 原式得证. 组合数的性质及其应用 题型三 题型探究 提分笔记 性质“ ”的意义及作用 反映组合数的对称性，即从n个不同对象中取m（mn）个对象的组合数与从n个不同对象中取n-m（mn）个对象的组合数相同 意义 作用 当m时,计算通常转化为计算 组合数的简单应用 题型四 题型探究 【例4】 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？ [解析] 4人中男生和女生各选2人，共有 （种）选法. （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ [解析] 除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择， 则男生中的甲和女生中的乙必须在内的选法共有 （种）. 组合数的简单应用 题型四 题型探究 （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ [解析] 解法一(直接法):男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,包含两种情况， 第一种情况：甲和乙都在内，有 （种）选法； 第二种情况：甲、乙只有1人在内，有 （种）选法， 则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法共有 （种）. 解法二(间接法):从9人中选出4人共有 种选法， 男生中的甲和女生中的乙都不在内的情况共有 种， 则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法共有 （种）. 组合数的简单应用 题型四 题型探究 （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ [解析] 解法一（直接法）：如果4人中必须既有男生又有女生，那么可以按含有女 生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女.则4人中既有男生又有女生的选法共 有 （种）. 解法二（间接法）：从9人中选出4人共有 种选法，只有男生和只有女生的情况分 别有和 种，故4人中既有男生又有女生的选法共有 （种）. 课堂达标 1.将6本相同的书分给8个同学，每人至多分一本，而且书必须分完，则不同的分法 种数是( ) B A. B. C. D. 课堂达标 2. 某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既 有男生又有女生，则不同的选法共有( ) D A. 140种 B. 120种 C. 35种 D. 34种 [解析] 从7人中选4人，共有 （种）选法，4人全是男生的选法有（种）. 故4人中既有男生又有女生的选法种数为 . 课堂达标 3.若，则 的值为( ) D A. 60 B. 70 C. 120 D. 140 [解析] 易知,且,由 ， 解得或 （舍去）， . 课堂达标 4.计算： _____. 128 [解析] . 课堂小结 1.组合数的定义和表示 把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示. 2.组合数的公式 3.组合数的性质 性质1 性质2 感谢聆听! $