2026年中考数学第二轮专题复习之选择题 —12：《二次函数及应用》讲义

2026 年中考第二轮复习 选择题专题 12.二次函数及应用 本课时是中考数学选择题的核心压轴板块，分值占比高、综合难度大，覆盖二次函数的概念、解析式、图象性质、与方程 / 不等式的关联、几何综合及实际应用等核心考点，集中考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，是衔接基础题型与难题的关键载体，也是二轮复习中 “提分稳分” 的重点内容。其考查形式既注重基础概念的精准辨析，又强调知识的灵活迁移，熟练掌握本课时内容能有效提升学生的函数综合应用能力与逻辑推理能力，为中考数学高分筑牢根基。 一、题型特点 考点密集，综合度高：核心考查解析式判定、图象与系数关系、对称轴与顶点、增减性、最值、与方程 / 不等式的综合、几何图形结合，单个题目常融合 2-3 个知识点。 数形结合突出：超 80% 题目需结合函数图象分析，通过开口方向、对称轴、交点位置推导系数符号或函数值变化，图象解读能力是解题关键。 陷阱隐蔽，细节主导：高频陷阱集中在 “增减性需限定对称轴同侧”“a 的符号影响开口与最值”“对称轴计算错误”“顶点式平移规律混淆”，易因概念模糊失分。 难度分层清晰：基础题聚焦概念辨析与简单计算，中档题侧重图象分析与综合推理，少量压轴题结合几何图形或实际情境求最值。 二、答题要点 熟用解析式形式：根据题意选择一般式:y=ax²+bx+c、顶点式:y=a (x-h)²+k、交点式:y=a (x-x₁)(x-x₂)，顶点式可快速求对称轴与最值。 精准掌握图象性质：a>0 开口向上（有最小值），a<0 开口向下（有最大值）；对称轴 x=，顶点坐标为 (，)；与 y 轴交点为 (0,c)，与 x 轴交点由判别式 Δ=b²-4ac 判断。 巧用对称与增减性：两点关于对称轴对称则函数值相等，比较函数值需先判断两点是否在对称轴同侧；同侧时根据 a 的符号判断增减性，异侧时转化到同侧再比较。 综合问题突破技巧：与方程结合时，Δ 决定根的个数；与几何结合时，利用坐标转化线段长度；实际应用中，根据自变量取值范围求最值。 三、避坑指南 忽略 a 的符号影响：误将 a<0 的函数当作递增函数，或混淆最值类型（最大值 / 最小值）。 增减性应用无前提：未限定 “在对称轴同侧”，直接跨侧比较函数值。 对称轴计算错误：记错公式 x=，或代入系数时符号失误。 顶点式平移混淆：遵循 “左加右减自变量，上加下减常数项”，易将左右平移与自变量符号弄反。 实际应用遗漏范围：未根据题意限定自变量（如长度、数量为正整数），导致最值求解错误。 本课时复习的核心是 “抓图象、熟性质、善转化、避细节”，需通过典型例题强化图象解读能力，熟练掌握解析式三种形式的灵活运用，针对高频易错点专项突破，同时注重数学思想的渗透，让学生在解题中形成 “先看图象定方向，再用性质推结论，最后结合条件验细节” 的固定思路，确保基础题不失分、中档题稳得分、压轴题争得分，全面提升二次函数板块的解题能力。 四、真题练习 1.（24-25·云南模拟）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 令，求出两个函数图象在轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【解答】 ．  2.（24-25·广东模拟）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B.当时，的值随值的增大而增大 C.点的坐标为 D. 【答案】 D 【解析】 由抛物线开口方向可判断，根据抛物线对称轴可判断，由抛物线的轴对称性可得点的坐标，从而判断，由所在象限可判断． 【解答】 解：、由图可知：抛物线开口向下，，故选项错误，不符合题意； 、抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时随的增大而减小，时随的增大而增大，故选项错误，不符合题意； 、由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项错误，不符合题意； 、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为的点在第一象限， ，故选项正确，符合题意； 故选：． 3.（23-24·新疆模拟）已知二次函数为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.②③ C.② D.③④ 【答案】 B 【解析】 由的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【解答】 解：时，抛物线开口向上， 对称轴为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限． 故选：． 4.（24-25·山东模拟）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴是直线，则下列结论正确的是（      ） A. B. C. D.点在函数图象上 【答案】 B 【解析】 利用二次函数的图象与系数的关系可得出，，，的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与的关系；由抛物线与轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标． 【解答】 、由二次函数的图形可知：，所以，故本选项不符合题意；、因为二次函数的对称轴是直线，则，即，故本选项符合题意； 、因为抛物线与轴有两个交点，所以，即，故本选项不符合题意； 、因为抛物线与轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与轴的另一个交点的坐标为，故本选项不符合题意.故选． 5.（24-25·广东模拟）已知二次函数（是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为（      ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用二次函数的性质得，抛物线与轴有个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【解答】 解：二次函数图象经过第一、二、四象限，且解得． 故此题答案为． 6.（24-25·广西中考）如图，抛物线的图象交轴于点、交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时；④当时，在内有一动点，若则的最小值为．其中正确结论有（      ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 根据抛物线图象经过点可得当时据此可判断①；根据对称轴计算公式求出进而推出则再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线则求出再分当时， 当时，两种情况求出对应的的值即可判断③；当时则取点连接则可证明由相似三角形的性质可得则故当点在线段上时的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【解答】 解：抛物线的图象经过点当时故①正确； 抛物线的图象交轴于点、 抛物线对称轴为直线 即 故②正确； 对称轴为直线 ； 、 ； 在中，当时 当时，则由勾股定理得 或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时或故③错误； 当时则 如图所示，取点连接则 又 当点在线段上时的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得故④正确， 正确的有个， 故此题答案为． 7.（25-26·安徽模拟）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表， … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（      ） A.图象的开口向上 B.当时，的值随的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 【答案】 D 【解析】 先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【解答】 解：由题意得，解得，二次函数的解析式为， ， 图象的开口向下，故选项不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项符合题意； 当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，故选项不符合题意； 顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， 图象经过第一、三、四象限，故选项不符合题意. 故此题答案为． 8.（24-25·宁夏中考）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为（ ） ①． ②． ③当线段长取最小值时，则的面积为． ④若点，则． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解． 【解答】 解：由题意，联列方程组 可得得，满足方程；，满足方程． 依据根与系数的关系得，，，，， ①、②正确． 由两点间距离公式得，． 当时，最小值为． ． ③正确． 由题意，，， ． 当时，；当是，与不垂直． ④错误． 故选：．  9.（23-24·四川中考）如图，二次函数为常数的图象与轴交于点对称轴是直线有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（      ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， 故①错误； 对称轴是直线点和点都在抛物线上， 而 故②错误； 当时 当时，函数取最大值 对于任意实数有 故③正确； 当时 即 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故此题答案为 10.（22-23·黑龙江中考）如图，二次函数图像的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③； ④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（      ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据抛物线的对称轴、开口方向、与轴的交点确定、、的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合、的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤． 【解答】 解：抛物线开口向上，与轴交于负半轴，， 抛物线的对称轴为直线， ，即，即②错误； ，即①正确， 二次函数图像的一部分与轴的一个交点坐标为 ，即，故③正确； 关于的一元二次方程，，， ，， 无法判断的正负，即无法确定关于的一元二次方程的根的情况，故④错误； 点，关于直线对称 点，均在该二次函数图像上， ，即⑤正确； 综上，正确的为①③⑤，共个 故选：． 11.（24-25·新疆中考）如图，抛物线（，，为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知，，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由时，，得出，由得出即可判断⑤． 【解答】 解：抛物线（，，为常数）关于直线对称， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 时，，对称轴为直线， 时，， ， 故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，即， 故④错误； 时，， ， ， ． 故⑤正确． 故选：． 12.（24-25·江苏模拟）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【解答】 解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：． 13.（23-24·湖北模拟）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【解答】 解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在轴的右侧，函数的对称轴也在轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在轴的右侧，故选项不符合题意； 函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与轴的负半轴相交，故选项不符合题意，选项符合题意． 故选：． 14.（25-26·贵州模拟）在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（  ） A. B. C.或 D.或 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得抛物线与轴的交点的横坐标分别为，从而得到抛物线的对称轴，进而得到点关于对称轴的对称点为与点不重合，即可求解． 【解答】 解：， 抛物线与轴的交点的横坐标分别为， 抛物线的对称轴为直线为， 对于，都有， 点关于对称轴的对称点为与点不重合， ， ， ， 或， 解得：或． 故选：  15.（24-25·四川模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，为抛物线上一点，其横坐标为，为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【解答】 解：当时，则有， ， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， 当、、三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，则有， ，即， ， ； 故选． 16.（25-26·辽宁模拟）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ） A.当时，随的增大而减小 B.当时，有最大值 C.当时， D.当时， 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定选项；根据函数图象可判定选项；根据二次函数的对称性可判定选项． 【解答】 解：．当时，随的增大先增大、后减小，即选项错误，不符合题意； ．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则选项正确，符合题意； ．由函数图象可知：当时，，即选项错误，不符合题意； ．当时，由图象知，对应的值有两个，即选项错误，不符合题意． 故选． 17.（25-26·河北模拟）如图，直线从左至右交抛物线，于点，，，，且两条抛物线的顶点，都在直线上，已知，，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了二次函数的对称性，根据点到点和到的水平距离相等，点到点和到的水平距离相等，由求解． 【解答】 解：根据题意：点到点和到的水平距离相等，点到点和到的水平距离相等， 则， ，，， ，， ， 故选：． 18.（25-26·四川模拟）如图，已知抛物线与直线交于和两点，现有以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，，其中正确的序号是（    ） A.①②⑤ B.①③④ C.②③④ D.②③⑤ 【答案】 C 【解析】 根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴大于，得出，即可判断①；由抛物线与轴无交点，可得，判断②；当时，，即可判断③；当时，二次函数值小于一次函数值，可得来求解④；把和两点代入求出抛物线解析式，进而求出抛物线与双曲线的交点坐标，分第一象限内和第三象限内来求解⑤． 【解答】 解：抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴大于，得出， ， 故①不正确； 抛物线与轴无交点， ，故②正确； 当时，， 即，故③正确； 当时，二次函数值小于一次函数值， ， ，故④正确； 把和两点代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为 ， 当时，，， 抛物线和双曲线的交点坐标为， 当时，或，故⑤不正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：．  19.（25-26·新疆模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点、两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【考点】 二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 根据二次函数的图象判断式子符号 利用不等式求自变量或函数值的范围 【解析】 本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断；②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断；③运用三角形面积公式计算即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【解答】 解：①直线与抛物线相交于点，， 由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ，即①正确； ②由图象可知：抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根． 是方程的一个解，即②正确； ③   ，即③错误； ④由③可得抛物线的解析式为：， 当时，有最小值， 由函数图象可知：当时，有最大值， 当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有个． 故选：． 20.（25-26·福建模拟）在平面直角坐标系中，把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的为(         ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【解答】 解：， 把抛物线，向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式是，即. 故选. 21.（24-25·福建模拟）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的函数解析式为（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 D 22.（24-25·山东模拟）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（      ） A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④ 【答案】 B 【解析】 将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与轴的交点的位置可判断④． 【解答】 解：将代入，可得，故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为，，， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， ， 图象开口向下， 当时，取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若为任意实数，则, 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 与轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确. 综上可知，正确的有①③④. 故选．  23.（24-25·四川中考）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（      ） A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】 D 【解析】 根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【解答】 解：二次函数开口向下，则，二次函数对称轴为，则，，， ，故①正确； 过点， 由对称性可得二次函数与轴的另一交点为， 由函数图象可得时， ，故②正确； 时， ， 代入得：，故③错误； 对称轴是直线， 若，即时，， 当时， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 二次函数开口向下， ，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④， 故选． 24.（23-24·江苏中考）如图，在中，，点在上，，动点在的边上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为．当点由点运动到点时，如图，是关于的二次函数．在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列个结论：①当时，；②点在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】 先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，据此可判断①；当点在上时，由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【解答】 解：由图可知当点运动到点时，， 在中，由勾股定理得， ， 或（舍去）； 动点在的边上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动， 当时，点的运动路程为，即此时点在上， 此时， 在中，由勾股定理得， ， 当时，，故①正确； 当点在上时，由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， 可设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， 关于的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ， 在中，由勾股定理得， ，故③错误； 动点以每秒个单位的速度从点出发，在匀速运动， ， ，， ， ； 点在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ， ， 存在个时刻对应的正方形的面积均相等． 可以看作， ，故④正确； 综上所述，正确的有个， 故选：．  25.（25-26·甘肃模拟）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【解答】 解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即米， 故选：． 26.（25-26·湖南模拟）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 A 【解析】 本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【解答】 解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， 对称轴直线为，， ， 当时，， ，即， ， ，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， 当时，函数有最小值，最小值轴的下方， 抛物线与直线两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故②错误； 二次函数与轴交于点，其中， 当，， ， ， ， ， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， 错误的有个， 故选： ． 27.（23-24达州模拟）如图，二次函数，，为常数，的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：①；②；③关于的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【解答】 解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交轴于正半轴， ， 又抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； 二次函数的图象交轴于，两点，点，点， 关于的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有个， 故选：  28.（24-25·四川中考）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与轴交于点，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或，进而求解即可． 【解答】 抛物线开口向上 对称轴为直线 抛物线与轴交于负半轴 ，故①错误； 对称轴为直线 在抛物线上 ，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与轴交于点， 将代入 将，代入得， 对称轴为直线， 是钝角三角形，故③正确； 当时，， 方程转化为 解得； 当时，， 方程转化为 解得或； 方程的两根为、 ，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有个． 故选：． 29.（24-25·四川中考）已知抛物线，，是常数，过点，且，该抛物线与直线，是常数，相交于两点（点在点左侧）．下列说法：①；②；③点是点关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 题目主要考查二次函数的性质，与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据抛物线与轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可． 【解答】 解：抛物线过点和， 设抛物线为， ， ，， 且， ，， ，结论①正确； ， ， ， ， ，结论②错误； 抛物线与直线的交点满足， 解得或， 若点为，对称点的横坐标为为对称轴， ， ， ； 但若点为另一交点，其横坐标可能远离对称轴，导致超出范围，结论③不一定成立，错误； 当时，方程的根为和， 即， ， 不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共个， 故选：． 30.（25-26·湖南模拟）如图，已知抛物线为常数，且的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【解答】 解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ， 又抛物线与轴交点坐标是，即， ，即， ，故①正确； 抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， 另一个交点坐标为， 当时，，故②错误； ，在抛物线的图象上， ， 又， ， 即， ，即， ， 即， 当时，取得最大值，最大值为， ， ，故③正确； ，，， 即， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而增大， 又， ， 当时，， 当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； 若点在抛物线上，且， ，， 存在， ，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共个． 故选：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 选择题专题 12.二次函数及应用 本课时是中考数学选择题的核心压轴板块，分值占比高、综合难度大，覆盖二次函数的概念、解析式、图象性质、与方程 / 不等式的关联、几何综合及实际应用等核心考点，集中考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，是衔接基础题型与难题的关键载体，也是二轮复习中 “提分稳分” 的重点内容。其考查形式既注重基础概念的精准辨析，又强调知识的灵活迁移，熟练掌握本课时内容能有效提升学生的函数综合应用能力与逻辑推理能力，为中考数学高分筑牢根基。 一、题型特点 考点密集，综合度高：核心考查解析式判定、图象与系数关系、对称轴与顶点、增减性、最值、与方程 / 不等式的综合、几何图形结合，单个题目常融合 2-3 个知识点。 数形结合突出：超 80% 题目需结合函数图象分析，通过开口方向、对称轴、交点位置推导系数符号或函数值变化，图象解读能力是解题关键。 陷阱隐蔽，细节主导：高频陷阱集中在 “增减性需限定对称轴同侧”“a 的符号影响开口与最值”“对称轴计算错误”“顶点式平移规律混淆”，易因概念模糊失分。 难度分层清晰：基础题聚焦概念辨析与简单计算，中档题侧重图象分析与综合推理，少量压轴题结合几何图形或实际情境求最值。 二、答题要点 熟用解析式形式：根据题意选择一般式:y=ax²+bx+c、顶点式:y=a (x-h)²+k、交点式:y=a (x-x₁)(x-x₂)，顶点式可快速求对称轴与最值。 精准掌握图象性质：a>0 开口向上（有最小值），a<0 开口向下（有最大值）；对称轴 x=，顶点坐标为 (，)；与 y 轴交点为 (0,c)，与 x 轴交点由判别式 Δ=b²-4ac 判断。 巧用对称与增减性：两点关于对称轴对称则函数值相等，比较函数值需先判断两点是否在对称轴同侧；同侧时根据 a 的符号判断增减性，异侧时转化到同侧再比较。 综合问题突破技巧：与方程结合时，Δ 决定根的个数；与几何结合时，利用坐标转化线段长度；实际应用中，根据自变量取值范围求最值。 三、避坑指南 忽略 a 的符号影响：误将 a<0 的函数当作递增函数，或混淆最值类型（最大值 / 最小值）。 增减性应用无前提：未限定 “在对称轴同侧”，直接跨侧比较函数值。 对称轴计算错误：记错公式 x=，或代入系数时符号失误。 顶点式平移混淆：遵循 “左加右减自变量，上加下减常数项”，易将左右平移与自变量符号弄反。 实际应用遗漏范围：未根据题意限定自变量（如长度、数量为正整数），导致最值求解错误。 本课时复习的核心是 “抓图象、熟性质、善转化、避细节”，需通过典型例题强化图象解读能力，熟练掌握解析式三种形式的灵活运用，针对高频易错点专项突破，同时注重数学思想的渗透，让学生在解题中形成 “先看图象定方向，再用性质推结论，最后结合条件验细节” 的固定思路，确保基础题不失分、中档题稳得分、压轴题争得分，全面提升二次函数板块的解题能力。 四、真题练习 1.（24-25·云南模拟）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2.（24-25·广东模拟）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B.当时，的值随值的增大而增大 C.点的坐标为 D. 3.（23-24·新疆模拟）已知二次函数为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.②③ C.② D.③④ 4.（24-25·山东模拟）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴是直线，则下列结论正确的是（      ） A. B. C. D.点在函数图象上 5.（24-25·广东模拟）已知二次函数（是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为（      ） A. B. C. D. 6.（24-25·广西中考）如图，抛物线的图象交轴于点、交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时；④当时，在内有一动点，若则的最小值为．其中正确结论有（      ） A.个 B.个 C.个 D.个 7.（25-26·安徽模拟）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表， … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（      ） A.图象的开口向上 B.当时，的值随的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 8.（24-25·宁夏中考）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为（ ） ①． ②． ③当线段长取最小值时，则的面积为． ④若点，则． A. B. C. D. 9.（23-24·四川中考）如图，二次函数为常数的图象与轴交于点对称轴是直线有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（      ） A.个 B.个 C.个 D.个 10.（22-23·黑龙江中考）如图，二次函数图像的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③； ④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（      ） A. B. C. D. 11.（24-25·新疆中考）如图，抛物线（，，为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A.个 B.个 C.个 D.个 12.（24-25·江苏模拟）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A. B. C. D. 13.（23-24·湖北模拟）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 14.（25-26·贵州模拟）在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（  ） A. B. C.或 D.或 15.（24-25·四川模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，为抛物线上一点，其横坐标为，为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A. B. C. D. 16.（25-26·辽宁模拟）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ） A.当时，随的增大而减小 B.当时，有最大值 C.当时， D.当时， 17.（25-26·河北模拟）如图，直线从左至右交抛物线，于点，，，，且两条抛物线的顶点，都在直线上，已知，，，则（   ） A. B. C. D. 18.（25-26·四川模拟）如图，已知抛物线与直线交于和两点，现有以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，，其中正确的序号是（    ） A.①②⑤ B.①③④ C.②③④ D.②③⑤ 19.（25-26·新疆模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点、两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 20.（25-26·福建模拟）在平面直角坐标系中，把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的为(         ) A. B. C. D. 21.（24-25·福建模拟）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的函数解析式为（        ） A. B. C. D. 22.（24-25·山东模拟）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（      ） A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④ 23.（24-25·四川中考）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（      ） A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 24.（23-24·江苏中考）如图，在中，，点在上，，动点在的边上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为．当点由点运动到点时，如图，是关于的二次函数．在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列个结论：①当时，；②点在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 25.（25-26·甘肃模拟）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A. B. C. D. 26.（25-26·湖南模拟）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 27.（23-24达州模拟）如图，二次函数，，为常数，的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：①；②；③关于的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 28.（24-25·四川中考）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 29.（24-25·四川中考）已知抛物线，，是常数，过点，且，该抛物线与直线，是常数，相交于两点（点在点左侧）．下列说法：①；②；③点是点关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A. B. C. D. 30.（25-26·湖南模拟）如图，已知抛物线为常数，且的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $