第02讲 基本初等函数的导数、求导法则（3个知识点+9类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第02讲 基本初等函数的导数、求导法则 课程标准 学习目标 1． 熟记基本初等函数的导数公式，并能运用公式求简单函数的导数． 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数 3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数． 1．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养． 2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养． 知识点01 基本初等函数的导函数 1．导函数的概念 一般地，如果函数在某定义内的每一个点都可导，则称可导。此时，对定义域内的每一个值，都对应一个确定的导数。于是，在的定义域内，是一个函数，这个函数通常称为的导函数，记作（或，），即. 【解读】f′(x0)与f′(x)是不同的，f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值． 2．几个常用函数的导数 原函数 导函数 其中为常数 3．基本初等函数的导数公式 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的求导法则即可求解. 【详解】． 故选：D 知识点02 　导数的运算法则 1．导数的四则运算法则 （1）加减法： （2）乘法： （3）除法： 2．公式推广与结构特征 （1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到个函数 设，，…，在处可导，则 （2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减号”。 【即学即练2】 1.（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 由导数的除法公式可得出A错误，D错误；由导数的加法公式可得出B正确；由导数的乘法公式可得出C正确/ 【详解】 由导数的除法公式可得， 由导数的加法公式可得， 由导数的乘法公式可得， 由导数的除法公式可得， 所以A，D错误；B，C正确. 故选：BC． 2.（24-25高三上·上海闵行·期中）函数在处的导数是 . 【答案】 【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案. 【详解】由，则，当时，. 故答案为：. 知识点03 复合函数的导数 1． 复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． 2． 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′uu′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【解读】 求复合函数的导数的步骤 (1)适当选定中间变量，正确分清复合关系； (2)分步求导； (3)把中间变量代回原自变量的函数，整个过程可简记为“分解——求导——回代” 【即学即练3】（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数求导法则计算即可. 【详解】由可得. 故选：B 题型01 基本初等函数的导数 【典例1】（24-25高二下·北京通州·期中）下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误；     对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；     对于D，，故D正确. 故选：A. 【变式1】（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确.故选：D 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求导公式和求导法则即可求解. 【详解】由可得． 故选：D 【变式3】（24-25高三上·山东滨州·开学考试）(多选)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据导数运算公式运算即可得解. 【详解】对于A，因为是常数函数，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，对任意的正整数，定义函数列，且．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，可得是以4为周期的周期数列，即可求解. 【详解】由定义可得，，，， 因此是以4为周期的周期数列，故． 故选：C 题型02 利用四则运算求导数 【典例2】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则可得选项A，B，C正确，选项D错误. 【详解】A. ，选项A正确. B.，选项B正确. C.为常数，选项C正确. D. ，选项D错误. 故选：ABC. 【变式1】（23-24高二下·天津北辰·期中）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求导运算法则判断各选项. 【详解】对于A选项，，故A选项错误； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项错误； 对于D选项，，D正确. 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据导数的定义即可求解. 【详解】由导函数的定义得 ． 故选：D. 【变式4】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，计算得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B 【变式5】（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则 . 【答案】2023！ 【分析】设，则，求出可得答案. 【详解】设， 则， ， . 故答案为： 题型03 求复合函数的导数 【典例3】（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用初等函数的导数公式以及复合函数求导法则、导数的运算法则，可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：CD. 【变式1】（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据常见函数的导数及复合函数的导数判断即可. 【详解】对于A，常数的导数为0，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 【变式2】（23-24高二下·海南·期中）下列函数求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据基本函数的求导公式即可求解BD，根据求导法则以及复合函数的求导法则即可求解AC. 【详解】对于A, 若，则,A正确， 对于B，若，则，B正确， 对于C，若，则，C错误， 对于D，若，则，D错误， 故选：AB 【变式3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数公式及运算律计算判断即可. 【详解】对于A:，A选项正确； 对于B:，B选项错误； 对于C:，C选项正确； 对于D:，D选项正确. 故选：B. 题型04 求某点处的导数值 【典例4】（24-25高三上·山西·期中）若函数满足，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得. 【详解】由，得， 则，解得， 故选：C. 【变式1】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数，为的导函数，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求导可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则. 故答案为： 【变式2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】借助导数公式计算即可得. 【详解】，则，解得. 故选：D. 【变式3】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，则 ． 【答案】4 【分析】运用导数的运算法则求导，再代入数值即可. 【详解】， ， ， 故答案为：4 【变式4】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】在等式两边求导，再令，即可得出的值. 【详解】因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 【变式5】（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求导可得，然后令代入计算，即可得到结果. 【详解】对函数求导得，； 令，得，整理得. 因此，，故. 故答案为： 题型05 在某点的切线问题 【典例5】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积. 【详解】因为，则，可得， 即切点坐标为，切线斜率为2， 则切线方程为，其与x轴交点为， 所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为. 故选：B. 【变式1】（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线的斜率为， 当时，，所以切点为， 所以切线方程为，即. 故选：. 【变式2】（2024·河南新乡·一模）函数的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】首先对函数求导，然后表示出在点的切线方程，最后根据切线过原点求出实数. 【详解】因为，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为, 又该切线过坐标原点，所以，即， 解得:． 故答案为：. 【变式4】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据导数的几何意义求出切线l的方程，进而求解即可. 【详解】由，， 而，则， 所以切线l的方程为， 令，得， 即l与轴交点的坐标为. 故答案为：. 题型06 过某点的切线问题 【典例6】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 【详解】由，得，设切点为，则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点，则，整理可得， 解得或或，则切线斜率为或或， 故选：D． 【变式1】（24-25高二·阶段性训练）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 【答案】/ 【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案. 【详解】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 故答案为： 【变式3】（24-25高三上·四川·期中）已知函数的图象在点处的切线过点，则 ． 【答案】5 【分析】根据导数的几何意义求在该点处的切线方程，代入即可求出的值. 【详解】，，． 的图象在点处的切线方程为． 因为该切线过点，所以，解得． 故答案为： 【变式4】（24-25高三·全国·专题练习）已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】设切点为，利用导数的几何意义，得到切线方程得，结合条件得到，即可求解. 【详解】设切点为，因为，则， 则切线方程为， 将点代入，得， 化简得，即， 令，则恒成立， 所以在区间上单调递增，又时，， 所以的解为，所以切线的斜率为. 故答案为：. 题型07 切线的平行垂直问题 【典例7】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据导数求出曲线在点处的切线斜率，再根据两条互相垂直的直线斜率之积等于算出即可. 【详解】，则， 则，曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：C 【变式1】（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则 【答案】1 【分析】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值. 【详解】直线的斜率， ∵切线与直线垂直，∴切线的斜率， ，当时，，∴， 故答案为：1. 【变式2】（24-25高三上·湖北宜昌·阶段练习）函数在点处的切线与直线相互垂直，则实数 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求得斜率，再根据直线垂直的斜率关系列方程，从而求得的值. 【详解】， 直线的斜率为， 由于在点处的切线与直线相互垂直， 所以切线的斜率为，即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·甘肃白银·阶段练习）求曲线与直线垂直的切线的方程． 【答案】或 【分析】求导，设切点为，利用导数的几何意义可得，解得，进而可得切线方程． 【详解】，则， 设切点为，则， 由题意切线斜率，则，解得，即或， 当切点为时，切线方程为，即． 当切点为时，切线方程为，即 综上所述：切线方程为或 题型08 公切线问题 【典例8】（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先分别求出两条曲线的导数，设出切点坐标，根据公切线的斜率相等以及在切点处的函数值相等列得方程组，即可求得结果. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即，所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 【变式1】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．2 B．0或 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线的距离关系列式求解即可. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，则， 则，即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切，则有，解得或． 故选：B 【变式2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，计算曲线在点处的切线方程，利用切线与曲线相切可得结果. 【详解】解法1：由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 由得，， 所以，解得， 故选：D. 解法2：由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 因为，所以， 令，得， 所以与曲线的切点为， 由切点在切线得，解得， 故选：D. 【变式3】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为 ． 【答案】 【分析】先设直线与两曲线切点分别为和，再结合导数几何意义和切点既在切线上又在曲线上即可依次列出关于切点和参量的方程组计算求解. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对求导得，所以，即切点， 所以； 对求导得， 所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. 题型09 与切线有关的最值问题 【典例9】（24-25·四川高二·阶段训练）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出曲线（）和直线的图象，将所求距离问题转化为两平行线距离最小，从而结合两直线平行，利用导数的几何意义列方程即可求得切点的横坐标. 【详解】画出曲线（）和直线的图象，如下图所示    若使得取最小值， 则曲线在点处的切线与直线平行， 对函数求导得，令，可得， 又，解得． 故选：C 【变式1】（24-25高三上·辽宁·期中）若曲线的一条切线为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设切点，由题意得，从而构造函数，利用导数求最值即可得解. 【详解】设切点，因为，所以，切线方程为， 整理得，所以， 设得， 又因为时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）点分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】用待定系数法求出曲线与直线平行的切线，求出两直线间的距离，即是本题中的最小值. 【详解】设直线是曲线的切线，切点为， 则，解得，则， 则的最小值即为两平行线与间的距离， 即． 故答案为：. 【变式3】（24-25高三·全国·专题练习）已知直线与函数，若直线与直线、曲线分别交于点，则当取最小值时， ． 【答案】 【分析】注意到直线与直线相互垂直；把直线平行移动到与曲线相切，最小，即可根据导数求解斜率得，代入直线即可求解. 【详解】易知直线与直线垂直， 所以当与直线平行的直线与曲线相切于点时，取最小值， 由，得， 设，则，解得， 则，所以， 又切点在直线上，所以，则. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘法的导数以及复合函数的导数等知识来求得正确答案. 【详解】因为， 所以 . 故选：D 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案． 【详解】因为，所以时，， 即质点A在时的瞬时速度为. 故选：C 3．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习），若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】求函数的导函数，由条件列方程求. 【详解】由题意可得：， 若，即， 则，解得． 故选：B． 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，再计算导函数值得出切线斜率，最后应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由，得， 当时，， 故曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 5．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求切线斜率. 【详解】由，则曲线在点处的切线斜率为. 故选：B 6．（2024·四川成都·二模）直线与函数和的图象都相切，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义即切点的坐标，可求的值. 【详解】设直线与函数的切点为，则. 设直线与函数的切点为，则. 由； 由，； 由. 由，所以. 故选：D 7．（24-25高三上·山西·阶段练习）曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义分别求的切线，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 由题意可得：，解得， 所以公切线的斜率为. 故选：A. 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若函数及其导函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可得，结合已知即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，解得， 所以，令，可得，解得. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江宁波·期中）下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】对于ABC，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D，由复合函数的求导法则即可求出函数的导函数，从而得解. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，故D错误. 故选：ABC. 10．（2024高三·全国·专题练习）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案. 【详解】直线的斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由的导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 11．（2024·全国·模拟预测）设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用导数的几何意义判断A,结合数列的基础运算判断B,C,D． 【详解】由于，所以，切线方程为，从而，． ，A错误； ，B正确； ，C正确； ，，D错误． 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高三上·青海·期中）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求导，将代入导函数求得斜率，写出切线方程即可. 【详解】由，得，当时，， 则曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）若函数，则 . 【答案】 【分析】利用导数列方程，先求得，进而求得. 【详解】对求导，得， 所以，解得， 所以，将代入，可得. 故答案为： 14．（2024高三·全国·专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义求出切线方程，代入原点坐标，根据关于的方程有两不等根由可解. 【详解】，. 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为. 切线过原点，， 整理得. 切线有两条，，解得或， 的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·四川凉山·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)（为常数）； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数加法法则和复合函数求导即可； （2）根据导数除法和导数减法法则即可； （3）根据导数乘法法则即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 16．（24-25高二下·广东汕头·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）利用初等函数的导数公式和运算法则求导. （4）利用复合函数求导法则求导. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 17．（24-25高二下·重庆永川·阶段练习）已知函数. (1)求的导数； (2)求函数的图象在处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得； （2）求出，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】（1）因为函数， 所以； （2）因为， 所以函数在处的切线方程为，即. 18．（24-25高二上·广西桂林·期中）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求曲线在处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案； （2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程. 【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为. （2）由（1）可知，； 又，所以曲线在处的切线方程为，即. 19．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知函数． (1)求的导数； (2)求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积． 【答案】(1)， (2)；面积为 【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可； （2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解，求得截距，利用三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， （2）由（1）得，，则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为． 当时，；当时，.故切线与坐标轴所围三角形的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 基本初等函数的导数、求导法则 课程标准 学习目标 1． 熟记基本初等函数的导数公式，并能运用公式求简单函数的导数． 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数 3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数． 1．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养． 2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养． 知识点01 基本初等函数的导函数 1．导函数的概念 一般地，如果函数在某定义内的每一个点都可导，则称可导。此时，对定义域内的每一个值，都对应一个确定的导数。于是，在的定义域内，是一个函数，这个函数通常称为的导函数，记作（或，），即. 【解读】f′(x0)与f′(x)是不同的，f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值． 2．几个常用函数的导数 原函数 导函数 其中为常数 3．基本初等函数的导数公式 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 　导数的运算法则 1．导数的四则运算法则 （1）加减法： （2）乘法： （3）除法： 2．公式推广与结构特征 （1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到个函数 设，，…，在处可导，则 （2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减号”。 【即学即练2】 1.（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·上海闵行·期中）函数在处的导数是 . 知识点03 复合函数的导数 1． 复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． 2． 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′uu′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【解读】 求复合函数的导数的步骤 (1)适当选定中间变量，正确分清复合关系； (2)分步求导； (3)把中间变量代回原自变量的函数，整个过程可简记为“分解——求导——回代” 【即学即练3】（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 题型01 基本初等函数的导数 【典例1】（24-25高二下·北京通州·期中）下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·山东滨州·开学考试）(多选)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，对任意的正整数，定义函数列，且．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型02 利用四则运算求导数 【典例2】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·天津北辰·期中）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式5】（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则 . 题型03 求复合函数的导数 【典例3】（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·海南·期中）下列函数求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 题型04 求某点处的导数值 【典例4】（24-25高三上·山西·期中）若函数满足，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数，为的导函数，则的值为 . 【变式2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，则 ． 【变式4】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 . 【变式5】（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 题型05 在某点的切线问题 【典例5】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【变式1】（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河南新乡·一模）函数的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 【变式4】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ． 题型06 过某点的切线问题 【典例6】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二·阶段性训练）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 【变式3】（24-25高三上·四川·期中）已知函数的图象在点处的切线过点，则 ． 【变式4】（24-25高三·全国·专题练习）已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为 ． 题型07 切线的平行垂直问题 【典例7】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式1】（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则 【变式2】（24-25高三上·湖北宜昌·阶段练习）函数在点处的切线与直线相互垂直，则实数 【变式3】（23-24高二下·甘肃白银·阶段练习）求曲线与直线垂直的切线的方程． 题型08 公切线问题 【典例8】（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．2 B．0或 C．0或2 D． 【变式2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为 ． 题型09 与切线有关的最值问题 【典例9】（24-25·四川高二·阶段训练）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·辽宁·期中）若曲线的一条切线为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）点分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为 ． 【变式3】（24-25高三·全国·专题练习）已知直线与函数，若直线与直线、曲线分别交于点，则当取最小值时， ． 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习），若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·二模）直线与函数和的图象都相切，则（   ） A．2 B． C． D． 7．（24-25高三上·山西·阶段练习）曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若函数及其导函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江宁波·期中）下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（2024高三·全国·专题练习）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·全国·模拟预测）设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高三上·青海·期中）曲线在点处的切线方程为 . 13．（2024高三·全国·专题练习）若函数，则 . 14．（2024高三·全国·专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高二下·四川凉山·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)（为常数）； (3)． 16．（24-25高二下·广东汕头·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； 17．（24-25高二下·重庆永川·阶段练习）已知函数. (1)求的导数； (2)求函数的图象在处的切线方程. 18．（24-25高二上·广西桂林·期中）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求曲线在处的切线方程. 19．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知函数． (1)求的导数； (2)求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $