6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　瞬时变化率与导数 1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（　　） A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.直线 2.如果质点A按照规律s（t）＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为（　　） A.6 B.18 C.54 D.81 3.已知函数f（x）在定义域内可导，且满足＝1，则f'（x0）＝（　　） A. B.－ C.3 D.－3 4.函数y＝f（x）的图象如图所示，下列不等关系正确的是（　　） A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2） B.0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3） C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2） D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3） 5.设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝（　　） A.2 B.－2 C.－3 D.3 6.如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为s（t）＝，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为（　　） A.米/秒 B.－米/秒 C.米/秒 D.－米/秒 7.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是　　　　米/秒. 8.若f'（2）＝3，则＝　　　　. 9.若某物体的运动规律是s＝t3－6t2＋5（t＞0），则在t＝　　　　时的瞬时速度为0. 10.车轮旋转的角度θ（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的关系为θ（t）＝t2，已知车轮旋转4圈所需时间为t0. （1）求0～t0时间段内车轮的平均角速度； （2）求t0时刻车轮的瞬时角速度. 11.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（　　） A.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 C.f＞ D.f＜ 12.若一物体的运动方程为s＝s（t）＝其中位移s的单位：m，时间t的单位：s，则物体在1 s时的瞬时速度为　　　　m/s. 13.甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②. （1）甲、乙两人谁跑得快？ （2）甲、乙两人百米赛跑，问：快到终点时，谁跑得较快？ 14.如图所示，水波的半径以1 m/s的速度向外扩张，当半径为5 m时，该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是　　　　m2/s. 15.某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f（x）＝. （1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ （2）求f'（27）并解释它的实际意义. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.2　导数及其几何意义 第一课时　瞬时变化率与导数 1.D　当f（x）＝b时，瞬时变化率＝＝0，所以f（x）的图象为一条直线. 2.B　∵s（t）＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3（Δt）2.∴＝18＋3Δt.∴＝（18＋3Δt）＝18.故选B. 3.C　f'（x0）＝＝3＝3.故选C. 4.C　f'（2）为函数y＝f（x）的图象在点B处的切线的斜率，f'（3）为函数y＝f（x）的图象在点A处的切线的斜率，f（3）－f（2）＝，其几何意义为割线AB的斜率，由题图可知，0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选C. 5.D　因为f'（x）＝ ＝＝a， 所以f'（1）＝a.又f'（1）＝3，所以a＝3. 6.D　＝＝＝－，所以＝［－］＝－.故选D. 7.5　解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3－32＝Δt2＋5Δt，∴＝5＋Δt，∴当t＝3时，瞬时速度是（5＋Δt）＝5 （米/秒）. 8.6　解析：＝ 2＝2f'（2）＝6. 9.4　解析：设t＝t0时，瞬时速度为0， ＝ ＝[（Δt）2＋（3t0－6）Δt＋3－12t0]＝3－12t0＝0，∴t0＝0或t0＝4.又t0＞0，∴t0＝4，∴t＝4时的瞬时速度为0. 10.解：（1）车轮旋转4圈的角度θ＝8π，故t0＝ s， 故0～t0时间段内车轮的平均角速度为＝5π rad/s. （2）t0时刻车轮的瞬时角速度为 ＝ ＝（10π＋Δt）＝10π rad/s. 11.AD　由题中图象可知，导函数f'（x）的图象在x轴下方，即f'（x）＜0，且其绝对值越来越小，因此过函数f（x）图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f（x）的大致图象如图所示.A选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）异号，即f（x）图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，即f（x）图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f＜，故C不正确，D正确.故选A、D. 12.－12　解析：物体在1 s附近某一时间段内的平均速度为 ＝＝3Δt－12，当Δt趋向于0时，3Δt－12趋向于－12，所以物体在1 s时的瞬时速度是－12 m/s. 13.解：（1）乙跑得快.因为在相同的时间内，甲跑的路程少于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小. （2）乙跑得较快.因为在终点附近的某一时刻甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度. 14.10π　解析：因为水波的半径以v＝1 m/s的速度向外扩张，则t s时的水波半径r＝vt＝t，水波面的圆面积S＝πr2＝πt2，于是得水波面的圆面积在t0时刻时的瞬时膨胀率为S'（t0）＝＝（2πt0＋πΔt）＝2πt0，当半径为5 m时，t＝5 s，S'（5）＝2π·5＝10π，所以该水波面的圆面积的瞬时膨胀率为10π m2/s. 15.解：（1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝（m3/min）， 表示时间从1 min到8 min的过程中，水流量平均以 m3/min的速度增加. （2）f'（27）＝ ＝＝ ＝ ＝ ＝（m3/min）. 其实际意义是第27 min时，水流量以 m3/min的速度增加.　 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $